GeometryBookSách 7.4 Arcs and ChordsCung và dây cung 7.3 7.5

7.4 Arcs and Chords Cung và dây cung

Click a card or press Space to turn it over. Arrow keys move between cards.Bấm vào thẻ hoặc nhấn Space để lật thẻ. Phím mũi tên để chuyển thẻ.

1Chords and their arcs

Dây cung và cung

Definitions · Arc of a chordĐịnh nghĩa · Cung của dây

A chord $\overline{RS}$ cuts off two arcs, $\overset{\frown}{RS}$ and $\overset{\frown}{RVS}$ . The minor arc $\overset{\frown}{RS}$ is called the arc of chord $\overline{RS}$ .Dây $\overline{RS}$ chia đường tròn thành hai cung, $\overset{\frown}{RS}$ và $\overset{\frown}{RVS}$ . Cung nhỏ $\overset{\frown}{RS}$ gọi là cung của dây $\overline{RS}$ .

$M$ is the midpoint of $\overset{\frown}{JMK}$ if $\overset{\frown}{JM} = \overset{\frown}{MK}$ . Any line, segment or ray that contains $M$ bisects $\overset{\frown}{JMK}$ . $M$ là điểm chính giữa của $\overset{\frown}{JMK}$ nếu $\overset{\frown}{JM} = \overset{\frown}{MK}$ . Mọi đường thẳng, đoạn thẳng hay tia chứa $M$ đều chia đôi $\overset{\frown}{JMK}$ .

How to use itCách áp dụng

In the figure the arc of chord $\overline{RS}$ is the minor arc $\overset{\frown}{RS}$ , not $\overset{\frown}{RVS}$ .Trong hình, cung của dây $\overline{RS}$ là cung nhỏ $\overset{\frown}{RS}$ , không phải $\overset{\frown}{RVS}$ .

Every theorem below about "a chord and its arc" means this minor arc.Mọi định lí dưới đây nói về "dây và cung của nó" đều hiểu là cung nhỏ này.

To show that $M$ is the midpoint of an arc, show $\overset{\frown}{JM} = \overset{\frown}{MK}$ , for example with equal central angles.Để chứng tỏ $M$ là điểm chính giữa của một cung, ta chứng minh $\overset{\frown}{JM} = \overset{\frown}{MK}$ , chẳng hạn bằng hai góc ở tâm bằng nhau.

Theorem 7-3 · Equal chords, equal arcsĐịnh lí 7-3 · Dây bằng nhau, cung bằng nhau

In the same circle or in equal circles, (1) equal chords have equal arcs; (2) equal arcs have equal chords.Trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau, (1) hai dây bằng nhau thì có hai cung bằng nhau; (2) hai cung bằng nhau thì có hai dây bằng nhau.

\begin{gathered} AB = CD \;\Rightarrow\; \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD} \\ \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD} \;\Rightarrow\; AB = CD \end{gathered}

ProofChứng minh

Part (1) for equal circles $O$ and $P$ with $AB = CD$ . Draw $\overline{OA}$ , $\overline{OB}$ , $\overline{PC}$ , $\overline{PD}$ .Phần (1) cho hai đường tròn bằng nhau $O$ , $P$ với $AB = CD$ . Vẽ $\overline{OA}$ , $\overline{OB}$ , $\overline{PC}$ , $\overline{PD}$ .

1. $OA = PC$ and $OB = PD$ , because radii of equal circles are equal; $AB = CD$ is given.1. $OA = PC$ và $OB = PD$ , vì bán kính của hai đường tròn bằng nhau thì bằng nhau; $AB = CD$ là giả thiết.

2. So $\triangle AOB \cong \triangle CPD$ by SSS, and $\angle O = \angle P$ as corresponding parts.2. Vậy $\triangle AOB \cong \triangle CPD$ theo trường hợp c.c.c (SSS), và $\angle O = \angle P$ vì là hai góc tương ứng.

3. A minor arc measures its central angle, so $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$ by substitution.3. Số đo cung nhỏ bằng góc ở tâm chắn cung, nên $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$ bằng cách thay thế.

Theorem 7-4 · Diameter perpendicular to a chordĐịnh lí 7-4 · Đường kính vuông góc với dây

A diameter that is perpendicular to a chord bisects the chord and its arc. In $\odot O$ , diameter $\overline{CD} \perp \overline{AB}$ at $Z$ :Đường kính vuông góc với một dây thì chia đôi dây đó và cung của nó. Trong $\odot O$ , đường kính $\overline{CD} \perp \overline{AB}$ tại $Z$ :

AZ = BZ, \quad \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}

ProofChứng minh

Draw $\overline{OA}$ and $\overline{OB}$ ; let $\angle 1 = \angle AOZ$ and $\angle 2 = \angle ZOB$ .Vẽ $\overline{OA}$ và $\overline{OB}$ ; đặt $\angle 1 = \angle AOZ$ và $\angle 2 = \angle ZOB$ .

1. $OA = OB$ (radii), $OZ = OZ$ , and $\angle OZA$ , $\angle OZB$ are right angles, so right $\triangle OZA \cong$ right $\triangle OZB$ by HL.1. $OA = OB$ (bán kính), $OZ$ chung, và $\angle OZA$ , $\angle OZB$ là góc vuông, nên hai tam giác vuông $OZA$ và $OZB$ bằng nhau theo trường hợp HL.

2. So $AZ = BZ$ and $\angle 1 = \angle 2$ (corresponding parts).2. Vậy $AZ = BZ$ và $\angle 1 = \angle 2$ (các phần tương ứng).

3. $\overset{\frown}{AD}$ measures $\angle 1$ and $\overset{\frown}{BD}$ measures $\angle 2$ , so $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$ .3. $\overset{\frown}{AD}$ có số đo bằng $\angle 1$ và $\overset{\frown}{BD}$ có số đo bằng $\angle 2$ , nên $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$ .

Theorem 7-5 · Chords and distanceĐịnh lí 7-5 · Dây và khoảng cách tới tâm

In the same circle or in equal circles, (1) equal chords are equally distant from the center; (2) chords equally distant from the center are equal. With $\overline{OJ} \perp \overline{AB}$ and $\overline{OK} \perp \overline{CD}$ :Trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau, (1) hai dây bằng nhau thì cách đều tâm; (2) hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Với $\overline{OJ} \perp \overline{AB}$ và $\overline{OK} \perp \overline{CD}$ :

\begin{gathered} AB = CD \;\Rightarrow\; OJ = OK \\ OJ = OK \;\Rightarrow\; AB = CD \end{gathered}

ProofChứng minh

Part (1), with $AB = CD$ . Draw $\overline{OA}$ and $\overline{OC}$ .Phần (1), với $AB = CD$ . Vẽ $\overline{OA}$ và $\overline{OC}$ .

1. By Theorem 7-4, $J$ and $K$ are the midpoints of the chords, so $AJ = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{CD}{2} = CK$ .1. Theo Định lí 7-4, $J$ và $K$ là trung điểm của hai dây, nên $AJ = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{CD}{2} = CK$ .

2. $OA = OC$ (radii), so right $\triangle OJA \cong$ right $\triangle OKC$ by HL.2. $OA = OC$ (bán kính), nên hai tam giác vuông $OJA$ và $OKC$ bằng nhau theo trường hợp HL.

3. So $OJ = OK$ , as corresponding parts.3. Vậy $OJ = OK$ , vì là hai cạnh tương ứng.

Example · Equal arcs, equal chordsVí dụ · Cung bằng nhau, dây bằng nhau

In $\odot O$ , $m\overset{\frown}{AB} = 100^\circ$ , $m\overset{\frown}{BC} = 160^\circ$ and $AB = 7$ . Find $CA$ .Trong $\odot O$ , $m\overset{\frown}{AB} = 100^\circ$ , $m\overset{\frown}{BC} = 160^\circ$ và $AB = 7$ . Tìm $CA$ .

AnswerĐáp án

The three arcs make the whole circle:Ba cung tạo thành cả đường tròn:

m\overset{\frown}{CA} = 360^\circ - 100^\circ - 160^\circ = 100^\circ

So $\overset{\frown}{CA} = \overset{\frown}{AB}$ , and equal arcs have equal chords (Theorem 7-3): $CA = AB = 7$ .Vậy $\overset{\frown}{CA} = \overset{\frown}{AB}$ , mà hai cung bằng nhau thì có hai dây bằng nhau (Định lí 7-3): $CA = AB = 7$ .

Answer: $CA = 7$ .Đáp án: $CA = 7$ .

Example · The perpendicular from the centerVí dụ · Đường vuông góc từ tâm

A chord $\overline{AB}$ of a circle with radius $10$ is $6$ units from the center $O$ . Find $AB$ .Dây $\overline{AB}$ của đường tròn bán kính $10$ cách tâm $O$ một khoảng $6$ . Tìm $AB$ .

AnswerĐáp án

The distance is the perpendicular $\overline{OM}$ , with $OM = 6$ . By Theorem 7-4, $M$ is the midpoint of $\overline{AB}$ . In right $\triangle OMB$ with hypotenuse $OB = 10$ :Khoảng cách là đoạn vuông góc $\overline{OM}$ , với $OM = 6$ . Theo Định lí 7-4, $M$ là trung điểm của $\overline{AB}$ . Trong tam giác vuông $OMB$ có cạnh huyền $OB = 10$ :

\begin{gathered} MB = \sqrt{OB^2 - OM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} \\ = 8, \quad AB = 2 \cdot MB = 16 \end{gathered}

Answer: $AB = 16$ .Đáp án: $AB = 16$ .

1 / 6PracticeBài tập: 1 2 3 4

2Special arcs and proofs

Cung đặc biệt và chứng minh

Example · A major arc and its chordVí dụ · Cung lớn và dây

In $\odot O$ the major arc cut off by chord $\overline{AB}$ measures $300^\circ$ and $AB = 10$ . Find the radius $OA$ .Trong $\odot O$ , cung lớn bị dây $\overline{AB}$ chắn có số đo $300^\circ$ và $AB = 10$ . Tìm bán kính $OA$ .

AnswerĐáp án

The minor arc $\overset{\frown}{AB}$ measures $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$ , so $m\angle AOB = 60^\circ$ .Cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$ có số đo $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$ , nên $m\angle AOB = 60^\circ$ .

$OA = OB$ , so the base angles of $\triangle AOB$ are $\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$ : the triangle is equiangular, so it is equilateral. $OA = OB$ nên hai góc ở đáy của $\triangle AOB$ bằng $\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$ : tam giác có ba góc bằng nhau nên là tam giác đều.

OA = AB = 10

Answer: the radius is $10$ .Đáp án: bán kính bằng $10$ .

Example · A proof with a chordVí dụ · Chứng minh với dây cung

Given: in $\odot O$ , diameter $\overline{CD} \perp$ chord $\overline{AB}$ at $Z$ . Prove: $CA = CB$ .Giả thiết: trong $\odot O$ , đường kính $\overline{CD} \perp$ dây $\overline{AB}$ tại $Z$ . Kết luận: $CA = CB$ .

AnswerĐáp án

1. $AZ = BZ$ , by Theorem 7-4.1. $AZ = BZ$ , theo Định lí 7-4.

2. $\angle CZA = \angle CZB$ , because both are right angles, and $CZ = CZ$ .2. $\angle CZA = \angle CZB$ , vì cùng là góc vuông, và $CZ$ là cạnh chung.

3. So $\triangle CZA \cong \triangle CZB$ by SAS, and $CA = CB$ as corresponding parts.3. Vậy $\triangle CZA \cong \triangle CZB$ theo trường hợp c.g.c (SAS), và $CA = CB$ vì là hai cạnh tương ứng.

1 / 2PracticeBài tập: 5 6 7 8