GeometryBookSách 6.1 Geometric MeansTrung bình nhân hình học 1.1 6.2

6.1 Geometric Means Trung bình nhân hình học

Click a card or press Space to turn it over. Arrow keys move between cards.Bấm vào thẻ hoặc nhấn Space để lật thẻ. Phím mũi tên để chuyển thẻ.

1Geometric mean

Trung bình nhân

Formula · Geometric meanCông thức · Trung bình nhân

If $\dfrac{a}{x} = \dfrac{x}{d}$ with $a, x, d > 0$ , then $x$ is called the geometric mean between $a$ and $d$ .Nếu $\dfrac{a}{x} = \dfrac{x}{d}$ với $a, x, d > 0$ thì $x$ được gọi là trung bình nhân (geometric mean) của $a$ và $d$ .

x = \sqrt{a \cdot d}

ProofChứng minh

Cross-multiplying $\dfrac{a}{x} = \dfrac{x}{d}$ gives $x^2 = a \cdot d$ .Nhân chéo $\dfrac{a}{x} = \dfrac{x}{d}$ ta được $x^2 = a \cdot d$ .

Since $x > 0$ , $x = \sqrt{a \cdot d}$ .Vì $x > 0$ nên $x = \sqrt{a \cdot d}$ .

1 / 1

2Simplest form of a radical

Dạng đơn giản nhất của căn thức

Rule · Simplest formQuy tắc · Dạng đơn giản nhất

No perfect-square factor other than $1$ under the root.Dưới căn không còn thừa số chính phương nào khác $1$ .

✗ $\sqrt{45}$ →✓ $3\sqrt{5}$

No fraction under the root.Dưới căn không có phân số.

✗ $\sqrt{\dfrac{3}{4}}$ →✓ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

No root in a denominator.Mẫu số không chứa căn.

✗ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ →✓ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

How to applyCách áp dụng

Apply the rules one after the other. Simplify $\dfrac{3}{\sqrt{12}}$ :Áp dụng lần lượt các quy tắc. Rút gọn $\dfrac{3}{\sqrt{12}}$ :

Rule 1: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ , so the fraction is $\dfrac{3}{2\sqrt{3}}$ .Quy tắc 1: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ , nên phân số là $\dfrac{3}{2\sqrt{3}}$ .

Rule 3: $\dfrac{3}{2\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .Quy tắc 3: $\dfrac{3}{2\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Rule · Answers with a rootQuy tắc · Đáp án có căn

Two more rules for writing an answer:Thêm hai quy tắc khi viết đáp án:

In geometry a length is never negative. When $x^2 = 9$ , take the positive value $x = \sqrt{9} = 3$ .Trong hình học, độ dài luôn là số không âm. Khi $x^2 = 9$ thì lấy giá trị dương $x = \sqrt{9} = 3$ .

✗ $x = \pm 3$ →✓ $x = 3$

Keep a root in its simplest form. Do not turn it into a decimal unless the problem asks for one.Đáp án có căn thì giữ nguyên căn ở dạng đơn giản nhất; không đổi ra số thập phân nếu đề bài không yêu cầu.

✗ $x = \sqrt{5} \approx 2.236$ →✓ $x = \sqrt{5}$

WhyVì sao

In algebra the equation $x^2 = 9$ has two solutions, $x = \pm 3$ . The square roots of $9$ are $3$ and $-3$ ; $\sqrt{9} = 3$ is the principal (non-negative) square root of $9$ .Trong đại số, phương trình $x^2 = 9$ có hai nghiệm $x = \pm 3$ . Căn bậc hai của $9$ là $3$ và $-3$ ; $\sqrt{9} = 3$ là căn bậc hai số học của $9$ .

A length is never negative, so in geometry we keep $x = 3$ and leave out $-3$ .Độ dài không bao giờ âm, nên trong hình học ta giữ $x = 3$ và bỏ $-3$ .

$2.236$ is only an approximation of $\sqrt{5}$ , while $\sqrt{5}$ is exact. That is why we keep the root. $2.236$ chỉ là giá trị gần đúng của $\sqrt{5}$ , còn $\sqrt{5}$ là giá trị chính xác. Vì vậy ta giữ nguyên căn.

1 / 2PracticeBài tập: 1 3

3Altitude to the hypotenuse

Đường cao ứng với cạnh huyền

Theorem 6-1 · Three similar trianglesĐịnh lí 6-1 · Ba tam giác đồng dạng

In right $\triangle ABC$ with the right angle at $C$ , the altitude $\overline{CH}$ to the hypotenuse makes two smaller triangles. Each of them is similar to $\triangle ABC$ and to the other one.Trong $\triangle ABC$ vuông tại $C$ , đường cao $\overline{CH}$ ứng với cạnh huyền tạo ra hai tam giác nhỏ. Mỗi tam giác nhỏ đồng dạng với $\triangle ABC$ và với tam giác nhỏ còn lại.

\triangle AHC \sim \triangle ACB \sim \triangle CHB

ProofChứng minh

1. $m\angle AHC = m\angle ACB = m\angle CHB = 90^\circ$ , because $\angle C$ is a right angle and $\overline{CH} \perp \overline{AB}$ .1. $m\angle AHC = m\angle ACB = m\angle CHB = 90^\circ$ , vì $\angle C$ vuông và $\overline{CH} \perp \overline{AB}$ .

2. $\angle A$ and $\angle C_2$ are both complementary to $\angle C_1$ (right angles at $H$ and $C$ ), so $m\angle A = m\angle C_2$ .2. Trong $\triangle AHC$ (vuông tại $H$ ), $\angle A$ phụ $\angle C_1$ ; $\angle C_2$ cũng phụ $\angle C_1$ . Vậy $m\angle A = m\angle C_2$ .

3. Each small triangle shares $\angle A$ or $\angle B$ with $\triangle ACB$ and has a right angle. By AA, $\triangle AHC \sim \triangle ACB \sim \triangle CHB$ .3. $\triangle AHC$ và $\triangle CHB$ đều có một góc chung với $\triangle ACB$ ( $\angle A$ , $\angle B$ ) và có góc vuông. Theo tiên đề AA: $\triangle AHC \sim \triangle ACB \sim \triangle CHB$ .

Corollary 1 · The altitudeHệ quả 1 · Đường cao

In right $\triangle ABC$ (right angle at $C$ ), the altitude $h = CH$ cuts the hypotenuse into $c_1 = AH$ and $c_2 = HB$ . Then $h$ is the geometric mean between $c_1$ and $c_2$ :Trong $\triangle ABC$ vuông tại $C$ , đường cao $h = CH$ chia cạnh huyền thành $c_1 = AH$ và $c_2 = HB$ . Khi đó $h$ là trung bình nhân của $c_1$ và $c_2$ :

h^2 = c_1 \cdot c_2

ProofChứng minh

Since $\triangle AHC \sim \triangle CHB$ , $\dfrac{c_1}{h} = \dfrac{h}{c_2}$ , so $h^2 = c_1 \cdot c_2$ .Vì $\triangle AHC \sim \triangle CHB$ nên $\dfrac{c_1}{h} = \dfrac{h}{c_2}$ , suy ra $h^2 = c_1 \cdot c_2$ .

Corollary 2 · The legsHệ quả 2 · Cạnh góc vuông

In the same triangle, each leg ( $b = AC$ , $a = BC$ ) is the geometric mean between the hypotenuse $c = c_1 + c_2$ and the piece of it next to that leg:Trong tam giác đó, mỗi cạnh góc vuông ( $b = AC$ , $a = BC$ ) là trung bình nhân của cạnh huyền $c = c_1 + c_2$ và đoạn của cạnh huyền kề nó:

\begin{aligned} b^2 &= c \cdot c_1 \\ a^2 &= c \cdot c_2 \end{aligned}

ProofChứng minh

Since $\triangle ACB \sim \triangle AHC$ , $\dfrac{c}{b} = \dfrac{b}{c_1}$ , so $b^2 = c \cdot c_1$ .Vì $\triangle ACB \sim \triangle AHC$ nên $\dfrac{c}{b} = \dfrac{b}{c_1}$ , suy ra $b^2 = c \cdot c_1$ .

Since $\triangle ACB \sim \triangle CHB$ , $\dfrac{c}{a} = \dfrac{a}{c_2}$ , so $a^2 = c \cdot c_2$ .Vì $\triangle ACB \sim \triangle CHB$ nên $\dfrac{c}{a} = \dfrac{a}{c_2}$ , suy ra $a^2 = c \cdot c_2$ .

Example · The two pieces are givenVí dụ · Biết hai đoạn trên cạnh huyền

The altitude cuts the hypotenuse into $c_1 = 8$ and $c_2 = 2$ . Find $h$ , $b$ and $a$ .Đường cao chia cạnh huyền thành $c_1 = 8$ và $c_2 = 2$ . Tìm $h$ , $b$ và $a$ .

AnswerĐáp án

$h^2 = c_1 \cdot c_2 = 8 \cdot 2 = 16$ , so $h = 4$ . $h^2 = c_1 \cdot c_2 = 8 \cdot 2 = 16$ , nên $h = 4$ .

$c = c_1 + c_2 = 8 + 2 = 10$ . $c = c_1 + c_2 = 8 + 2 = 10$ .

$b^2 = c \cdot c_1 = 10 \cdot 8 = 80$ , so $b = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ . $b^2 = c \cdot c_1 = 10 \cdot 8 = 80$ , nên $b = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ .

$a^2 = c \cdot c_2 = 10 \cdot 2 = 20$ , so $a = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ . $a^2 = c \cdot c_2 = 10 \cdot 2 = 20$ , nên $a = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ .

Example · A leg is givenVí dụ · Biết một cạnh góc vuông

The leg $b = AC = 12$ and the piece of the hypotenuse next to it is $c_1 = AH = 8$ . Find $c$ , $c_2$ , $h$ and $a$ .Cạnh góc vuông $b = AC = 12$ và đoạn của cạnh huyền kề nó là $c_1 = AH = 8$ . Tìm $c$ , $c_2$ , $h$ và $a$ .

AnswerĐáp án

$b^2 = c \cdot c_1$ , so $144 = c \cdot 8$ and $c = 18$ ; then $c_2 = c - c_1 = 18 - 8 = 10$ . $b^2 = c \cdot c_1$ , nên $144 = c \cdot 8$ và $c = 18$ ; khi đó $c_2 = c - c_1 = 18 - 8 = 10$ .

$h^2 = c_1 \cdot c_2 = 8 \cdot 10 = 80$ , so $h = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ . $h^2 = c_1 \cdot c_2 = 8 \cdot 10 = 80$ , nên $h = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ .

$a^2 = c \cdot c_2 = 18 \cdot 10 = 180$ , so $a = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ . $a^2 = c \cdot c_2 = 18 \cdot 10 = 180$ , nên $a = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ .

1 / 5PracticeBài tập: 1 2 3 4 7 8

4A second altitude, and proofs

Đường cao thứ hai và chứng minh

Example · A second altitudeVí dụ · Đường cao thứ hai

In right $\triangle ABC$ (right angle at $C$ ), $\overline{CH}$ is the altitude to the hypotenuse and $\overline{HK}$ is the altitude to the hypotenuse of right $\triangle CHB$ . $CH = 12$ and $HB = 9$ . Find $CB$ , $CK$ and $HK$ .Trong $\triangle ABC$ vuông tại $C$ , $\overline{CH}$ là đường cao ứng với cạnh huyền và $\overline{HK}$ là đường cao ứng với cạnh huyền của $\triangle CHB$ vuông tại $H$ . $CH = 12$ và $HB = 9$ . Tìm $CB$ , $CK$ và $HK$ .

AnswerĐáp án

In $\triangle ABC$ : $CH^2 = AH \cdot HB$ , so $144 = AH \cdot 9$ , $AH = 16$ and $AB = 25$ ; $CB^2 = AB \cdot HB = 25 \cdot 9 = 225$ , so $CB = 15$ .Trong $\triangle ABC$ : $CH^2 = AH \cdot HB$ , nên $144 = AH \cdot 9$ , $AH = 16$ và $AB = 25$ ; $CB^2 = AB \cdot HB = 25 \cdot 9 = 225$ , nên $CB = 15$ .

In $\triangle CHB$ (hypotenuse $CB$ , altitude $HK$ ): $CH^2 = CB \cdot CK$ , so $CK = \dfrac{144}{15} = 9.6$ and $KB = 15 - 9.6 = 5.4$ .Trong $\triangle CHB$ (cạnh huyền $CB$ , đường cao $HK$ ): $CH^2 = CB \cdot CK$ , nên $CK = \dfrac{144}{15} = 9.6$ và $KB = 15 - 9.6 = 5.4$ .

$HK^2 = CK \cdot KB = 9.6 \cdot 5.4 = 51.84$ , so $HK = 7.2$ . $HK^2 = CK \cdot KB = 9.6 \cdot 5.4 = 51.84$ , nên $HK = 7.2$ .

Example · A proof with the corollariesVí dụ · Chứng minh bằng các hệ quả

Right $\triangle ABC$ has its right angle at $C$ and the altitude $\overline{CH}$ , with $b = AC$ , $a = BC$ , $c_1 = AH$ and $c_2 = HB$ . Prove that $\dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ . $\triangle ABC$ vuông tại $C$ có đường cao $\overline{CH}$ , với $b = AC$ , $a = BC$ , $c_1 = AH$ và $c_2 = HB$ . Chứng minh rằng $\dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ .

ProofChứng minh

1. $b^2 = c \cdot c_1$ and $a^2 = c \cdot c_2$ , by Corollary 2.1. $b^2 = c \cdot c_1$ và $a^2 = c \cdot c_2$ , theo Hệ quả 2.

2. Dividing the first equation by the second: $\dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{c \cdot c_1}{c \cdot c_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ , because $c \neq 0$ .2. Chia đẳng thức thứ nhất cho đẳng thức thứ hai: $\dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{c \cdot c_1}{c \cdot c_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ , vì $c \neq 0$ .

1 / 2PracticeBài tập: 5 6 7 8