GeometryBookSách 6.5 The Tangent RatioTỉ số lượng giác tang 6.4 6.6

6.5 The Tangent Ratio Tỉ số lượng giác tang

Click a card or press Space to turn it over. Arrow keys move between cards.Bấm vào thẻ hoặc nhấn Space để lật thẻ. Phím mũi tên để chuyển thẻ.

1The tangent ratio

Tỉ số tang

Definition · Tangent ratioĐịnh nghĩa · Tỉ số tang

In right triangle $ABC$ with the right angle at $C$ , leg $a = BC$ is opposite $\angle A$ and leg $b = AC$ is adjacent to $\angle A$ . The tangent of $\angle A$ is the opposite leg divided by the adjacent leg.Trong tam giác $ABC$ vuông tại $C$ , cạnh góc vuông $a = BC$ đối diện $\angle A$ , cạnh góc vuông $b = AC$ kề $\angle A$ . Tang của $\angle A$ là cạnh đối chia cho cạnh kề.

\tan A = \dfrac{a}{b}

How to use itCách áp dụng

The legs swap roles for the other acute angle: for $\angle B$ , leg $b$ is opposite and leg $a$ is adjacent.Với góc nhọn còn lại, hai cạnh đổi vai trò: với $\angle B$ , cạnh $b$ là cạnh đối, cạnh $a$ là cạnh kề.

\tan B = \dfrac{b}{a}

Only the two legs are used; the hypotenuse $c$ is not.Chỉ dùng hai cạnh góc vuông; không dùng cạnh huyền $c$ .

Example · Tangents from the sidesVí dụ · Tính tang từ các cạnh

In $\triangle XYZ$ , $\angle Z$ is a right angle, $ZX = 8$ , $ZY = 15$ and $XY = 17$ . Find $\tan X$ and $\tan Y$ .Trong $\triangle XYZ$ , $\angle Z$ là góc vuông, $ZX = 8$ , $ZY = 15$ và $XY = 17$ . Tìm $\tan X$ và $\tan Y$ .

AnswerĐáp án

For $\angle X$ , the opposite leg is $ZY$ and the adjacent leg is $ZX$ :Với $\angle X$ , cạnh đối là $ZY$ , cạnh kề là $ZX$ :

\tan X = \dfrac{ZY}{ZX} = \dfrac{15}{8}

For $\angle Y$ , the legs swap:Với $\angle Y$ , hai cạnh đổi vai trò:

\tan Y = \dfrac{ZX}{ZY} = \dfrac{8}{15}

Fact · Same angle, same tangentTính chất · Cùng góc, cùng tang

Right triangles $ABC$ and $RST$ have their right angles at $C$ and $T$ . If $\angle A$ and $\angle R$ are equal, then their tangents are equal: the tangent depends only on the size of the angle, not on the size of the triangle.Hai tam giác $ABC$ và $RST$ vuông tại $C$ và $T$ . Nếu $\angle A$ và $\angle R$ bằng nhau thì tang của chúng bằng nhau: tang chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc, không phụ thuộc vào độ lớn của tam giác.

m\angle A = m\angle R \;\Rightarrow\; \tan A = \tan R

The converse is also true: if $\tan A = \tan R$ , then $m\angle A = m\angle R$ .Điều ngược lại cũng đúng: nếu $\tan A = \tan R$ thì $m\angle A = m\angle R$ .

ProofChứng minh

1. $\triangle ABC \sim \triangle RST$ by the AA Postulate, because $\angle A = \angle R$ and both $\angle C$ and $\angle T$ are right angles.1. $\triangle ABC \sim \triangle RST$ theo tiên đề AA, vì $\angle A = \angle R$ và $\angle C$ , $\angle T$ đều là góc vuông.

2. Corresponding sides of similar triangles are in proportion, so $\dfrac{a}{r} = \dfrac{b}{s}$ .2. Các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng tỉ lệ với nhau, nên $\dfrac{a}{r} = \dfrac{b}{s}$ .

3. By a property of proportions, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{r}{s}$ , so $\tan A = \tan R$ by the definition of the tangent ratio.3. Theo tính chất của tỉ lệ thức, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{r}{s}$ , nên $\tan A = \tan R$ theo định nghĩa tỉ số tang.

1 / 3PracticeBài tập: 1 2

2Using the table

Dùng bảng lượng giác

Rule · Reading the tableQuy tắc · Đọc bảng

The table of trigonometric ratiosbảng tỉ số lượng giác gives $\tan$ of every whole angle from $1^\circ$ to $89^\circ$ . Most values are rounded to four decimal places, so we write $\approx$ , "is approximately equal to". Find the angle, then read across to the column $\tan$ .Table of trigonometric ratiosBảng tỉ số lượng giác cho $\tan$ của mọi góc nguyên từ $1^\circ$ đến $89^\circ$ . Phần lớn giá trị được làm tròn đến bốn chữ số thập phân, nên ta viết $\approx$ , nghĩa là "xấp xỉ bằng". Tìm góc rồi đọc sang cột $\tan$ .

\tan 39^\circ \approx 0.8098

How to use itCách áp dụng

From a value back to an angle: find the two table values on either side of it and take the angle of the closer one.Từ một giá trị tìm ngược lại góc: tìm hai giá trị trong bảng nằm hai bên giá trị đó và lấy góc ứng với giá trị gần hơn.

$\tan A \approx 0.6000$ lies between $\tan 30^\circ \approx 0.5774$ and $\tan 31^\circ \approx 0.6009$ . It is closer to $0.6009$ , so $m\angle A \approx 31^\circ$ . $\tan A \approx 0.6000$ nằm giữa $\tan 30^\circ \approx 0.5774$ và $\tan 31^\circ \approx 0.6009$ . Nó gần $0.6009$ hơn, nên $m\angle A \approx 31^\circ$ .

Example · Find a sideVí dụ · Tìm một cạnh

Find the value of $x$ to the nearest tenth.Tìm giá trị của $x$ , làm tròn đến hàng phần mười.

AnswerĐáp án

$x$ is opposite the $38^\circ$ angle and $30$ is the adjacent leg: $x$ là cạnh đối của góc $38^\circ$ , $30$ là cạnh kề:

\tan 38^\circ = \dfrac{x}{30}

From the table of trigonometric ratiosbảng tỉ số lượng giác, $0.7813 \approx \dfrac{x}{30}$ , so $x \approx 30 \cdot 0.7813 = 23.439$ .Theo table of trigonometric ratiosbảng tỉ số lượng giác, $0.7813 \approx \dfrac{x}{30}$ , nên $x \approx 30 \cdot 0.7813 = 23.439$ .

Answer: $x \approx 23.4$ .Đáp án: $x \approx 23.4$ .

Example · Find an angleVí dụ · Tìm một góc

Find the value of $y$ to the nearest degree.Tìm giá trị của $y$ , làm tròn đến độ.

AnswerĐáp án

$9$ is opposite the angle $y^\circ$ and $7$ is adjacent: $9$ là cạnh đối của góc $y^\circ$ , $7$ là cạnh kề:

\tan y^\circ = \dfrac{9}{7} \approx 1.2857

In the table of trigonometric ratiosbảng tỉ số lượng giác, $1.2857$ lies between $\tan 52^\circ \approx 1.2799$ and $\tan 53^\circ \approx 1.3270$ ; it is closer to $1.2799$ .Trong table of trigonometric ratiosbảng tỉ số lượng giác, $1.2857$ nằm giữa $\tan 52^\circ \approx 1.2799$ và $\tan 53^\circ \approx 1.3270$ ; nó gần $1.2799$ hơn.

Answer: $y \approx 52$ .Đáp án: $y \approx 52$ .

1 / 3PracticeBài tập: 3 4 5 6

3Regular polygons

Đa giác đều

Example · From the centre to a sideVí dụ · Từ tâm tới một cạnh

Point $O$ is equidistant from the nine vertices of a regular nonagon with sides of $10$ . $T$ is the midpoint of side $\overline{AB}$ . Find $OT$ to the nearest tenth.Điểm $O$ cách đều chín đỉnh của một cửu giác đều có cạnh $10$ . $T$ là trung điểm cạnh $\overline{AB}$ . Tìm $OT$ , làm tròn đến hàng phần mười.

AnswerĐáp án

The nine triangles at $O$ are congruent (SSS), so $m\angle AOB = \dfrac{360^\circ}{9} = 40^\circ$ .Chín tam giác ở $O$ bằng nhau (SSS), nên $m\angle AOB = \dfrac{360^\circ}{9} = 40^\circ$ .

$\triangle OAB$ is isosceles, so $\overline{OT}$ bisects $\angle AOB$ and $\overline{AB}$ : $m\angle AOT = 20^\circ$ , $AT = 5$ . $\triangle OAB$ cân nên $\overline{OT}$ chia đôi $\angle AOB$ và $\overline{AB}$ : $m\angle AOT = 20^\circ$ , $AT = 5$ .

\begin{gathered}\tan 20^\circ = \dfrac{5}{OT} \\ OT \approx \dfrac{5}{0.3640} \approx 13.7\end{gathered}

1 / 1PracticeBài tập: 7 8