GeometryBookSách 7.2 TangentsTiếp tuyến 7.1 7.3

7.2 Tangents Tiếp tuyến

Click a card or press Space to turn it over. Arrow keys move between cards.Bấm vào thẻ hoặc nhấn Space để lật thẻ. Phím mũi tên để chuyển thẻ.

1Tangent lines

Tiếp tuyến

Definition · TangentĐịnh nghĩa · Tiếp tuyến

A tangent to a circle is a line in the plane of the circle that meets the circle in exactly one point, the point of tangency. A segment of a tangent line that contains the point of tangency is also called a tangent.Tiếp tuyến của một đường tròn là đường thẳng nằm trong mặt phẳng của đường tròn và có đúng một điểm chung với đường tròn, gọi là tiếp điểm. Một đoạn của tiếp tuyến chứa tiếp điểm cũng gọi là tiếp tuyến.

How to use itCách áp dụng

$\overleftrightarrow{AB}$ is tangent to $\odot O$ , and $\odot O$ is tangent to $\overleftrightarrow{AB}$ . $\overleftrightarrow{AB}$ tiếp xúc với $\odot O$ , và $\odot O$ tiếp xúc với $\overleftrightarrow{AB}$ .

$A$ is the point of tangency. $A$ là tiếp điểm.

$\overline{AB}$ is tangent to $\odot O$ : it is a piece of the tangent line and contains $A$ . $\overline{AB}$ là tiếp tuyến của $\odot O$ : nó là một đoạn của tiếp tuyến và chứa $A$ .

Theorem 7-1 · Tangent and radiusĐịnh lí 7-1 · Tiếp tuyến và bán kính

If a line is tangent to a circle, then the line is perpendicular to the radius drawn to the point of tangency.Nếu một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Line $t$ is tangent to $\odot O$ at $X$ :Đường thẳng $t$ tiếp xúc với $\odot O$ tại $X$ :

\overline{OX} \perp t

ProofChứng minh

An indirect proof. Suppose $\overline{OX}$ is not perpendicular to $t$ .Chứng minh phản chứng. Giả sử $\overline{OX}$ không vuông góc với $t$ .

Then some other segment $\overline{OY}$ , with $Y$ on $t$ , is perpendicular to $t$ , and $OY < OX$ , because the perpendicular segment from a point to a line is the shortest one.Khi đó có một đoạn khác $\overline{OY}$ , với $Y$ thuộc $t$ , vuông góc với $t$ , và $OY < OX$ , vì đoạn vuông góc là đoạn ngắn nhất từ một điểm tới một đường thẳng.

But $Y$ lies outside $\odot O$ (the tangent meets the circle only at $X$ ) while $X$ lies on it, so $OY > OX$ . This is a contradiction, so $\overline{OX} \perp t$ .Nhưng $Y$ nằm ngoài $\odot O$ (tiếp tuyến chỉ có điểm chung $X$ với đường tròn), còn $X$ nằm trên đường tròn, nên $OY > OX$ . Mâu thuẫn, vậy $\overline{OX} \perp t$ .

Theorem 7-2 · The converseĐịnh lí 7-2 · Định lí đảo

If a line in the plane of a circle is perpendicular to a radius at its outer endpoint, then the line is tangent to the circle.Nếu một đường thẳng trong mặt phẳng của đường tròn vuông góc với một bán kính tại đầu mút nằm trên đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Line $m$ lies in the plane of $\odot P$ and $Z$ is on $\odot P$ . IfĐường thẳng $m$ nằm trong mặt phẳng của $\odot P$ và $Z$ thuộc $\odot P$ . Nếu

m \perp \overline{PZ}

then $m$ is tangent to $\odot P$ at $Z$ .thì $m$ tiếp xúc với $\odot P$ tại $Z$ .

How to use itCách áp dụng

Use it to show that a line is a tangent: find a right angle between the line and a radius at the point on the circle.Dùng định lí để chứng tỏ một đường thẳng là tiếp tuyến: tìm một góc vuông giữa đường thẳng và một bán kính tại điểm nằm trên đường tròn.

Example: $A$ is on $\odot O$ , $OA = 8$ , $AP = 15$ , $OP = 17$ . Since $8^2 + 15^2 = 17^2$ , $\angle OAP$ is a right angle (converse of the Pythagorean Theorem), so $\overline{AP}$ is tangent to $\odot O$ .Ví dụ: $A$ thuộc $\odot O$ , $OA = 8$ , $AP = 15$ , $OP = 17$ . Vì $8^2 + 15^2 = 17^2$ nên $\angle OAP$ là góc vuông (định lí Pythagoras đảo), vậy $\overline{AP}$ là tiếp tuyến của $\odot O$ .

The proof of the theorem is an exercise.Chứng minh định lí là một bài tập.

Example · A tangent and a radiusVí dụ · Tiếp tuyến và bán kính

$\overline{PA}$ is tangent to $\odot O$ at $A$ . The radius is $OA = 5$ and $OP = 13$ . Find $PA$ . $\overline{PA}$ tiếp xúc với $\odot O$ tại $A$ . Bán kính $OA = 5$ và $OP = 13$ . Tìm $PA$ .

AnswerĐáp án

By Theorem 7-1, $\overline{OA} \perp \overline{PA}$ , so $\triangle OAP$ has a right angle at $A$ and its hypotenuse is $OP$ . By the Pythagorean Theorem:Theo Định lí 7-1, $\overline{OA} \perp \overline{PA}$ , nên $\triangle OAP$ vuông tại $A$ với cạnh huyền $OP$ . Theo định lí Pythagoras:

\begin{gathered} PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} \\ = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \end{gathered}

Answer: $PA = 12$ .Đáp án: $PA = 12$ .

1 / 4PracticeBài tập: 1 2

2Tangents from a point

Tiếp tuyến kẻ từ một điểm

Corollary · Tangents from a pointHệ quả · Hai tiếp tuyến từ một điểm

Tangents to a circle from a point are equal: if $\overline{PX}$ and $\overline{PY}$ are tangent to $\odot O$ at $X$ and $Y$ , thenHai tiếp tuyến kẻ từ một điểm tới một đường tròn bằng nhau: nếu $\overline{PX}$ và $\overline{PY}$ tiếp xúc với $\odot O$ tại $X$ và $Y$ thì

PX = PY

ProofChứng minh

Draw $\overline{OX}$ , $\overline{OY}$ and $\overline{OP}$ .Vẽ $\overline{OX}$ , $\overline{OY}$ và $\overline{OP}$ .

1. $\angle OXP$ and $\angle OYP$ are right angles, by Theorem 7-1.1. $\angle OXP$ và $\angle OYP$ là góc vuông, theo Định lí 7-1.

2. $OX = OY$ because they are radii, and $\overline{OP}$ is a common hypotenuse, so $\triangle OXP \cong \triangle OYP$ by HL.2. $OX = OY$ vì là bán kính, và $\overline{OP}$ là cạnh huyền chung, nên $\triangle OXP \cong \triangle OYP$ theo trường hợp HL.

3. So $PX = PY$ , as corresponding parts of congruent triangles.3. Vậy $PX = PY$ , vì là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.

Definition · Circumscribed polygonĐịnh nghĩa · Đa giác ngoại tiếp

When each side of a polygon is tangent to a circle, the polygon is circumscribed about the circle, and the circle is inscribed in the polygon.Khi mỗi cạnh của một đa giác tiếp xúc với một đường tròn, đa giác đó ngoại tiếp đường tròn, và đường tròn nội tiếp đa giác.

How to use itCách áp dụng

$\triangle ABC$ is circumscribed about $\odot I$ : its sides touch the circle at $D$ , $E$ and $F$ . $\triangle ABC$ ngoại tiếp $\odot I$ : các cạnh tiếp xúc với đường tròn tại $D$ , $E$ và $F$ .

By the corollary, the two tangents from each vertex are equal:Theo hệ quả, hai tiếp tuyến kẻ từ mỗi đỉnh bằng nhau:

\begin{gathered} AE = AF, \quad BD = BE \\ CD = CF \end{gathered}

Example · Tangent segments in a triangleVí dụ · Đoạn tiếp tuyến trong tam giác

The circle is inscribed in $\triangle ABC$ and touches $\overline{BC}$ at $D$ . $AB = 9$ , $AC = 11$ and $BC = 12$ . Find $BD$ .Đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ và tiếp xúc $\overline{BC}$ tại $D$ . $AB = 9$ , $AC = 11$ và $BC = 12$ . Tìm $BD$ .

AnswerĐáp án

Let $BD = x$ . By the corollary $BE = BD = x$ , $CF = CD = 12 - x$ , and $AE = AF$ .Đặt $BD = x$ . Theo hệ quả $BE = BD = x$ , $CF = CD = 12 - x$ , và $AE = AF$ .

From $AB = 9$ and $AC = 11$ : $AE = 9 - x$ and $AF = 11 - (12 - x) = x - 1$ . Since $AE = AF$ :Từ $AB = 9$ và $AC = 11$ : $AE = 9 - x$ và $AF = 11 - (12 - x) = x - 1$ . Vì $AE = AF$ :

9 - x = x - 1, \quad x = 5

Answer: $BD = 5$ .Đáp án: $BD = 5$ .

1 / 3PracticeBài tập: 3 4

3Circles that touch

Hai đường tròn tiếp xúc

Definitions · Common tangentsĐịnh nghĩa · Tiếp tuyến chung

A line that is tangent to each of two coplanar circles is a common tangent. Common internal tangents intersect the segment joining the centers; common external tangents do not.Đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn cùng nằm trong một mặt phẳng là tiếp tuyến chung. Tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối hai tâm; tiếp tuyến chung ngoài thì không.

How to use itCách áp dụng

In the figure the dashed segment joins the centers $O$ and $P$ .Trong hình, đoạn nét đứt nối hai tâm $O$ và $P$ .

The two lines that cross between the circles cut $\overline{OP}$ : they are the common internal tangents.Hai đường thẳng cắt nhau giữa hai đường tròn cắt $\overline{OP}$ : đó là hai tiếp tuyến chung trong.

The two lines above and below both circles do not cut $\overline{OP}$ : they are the common external tangents.Hai đường thẳng ở trên và dưới cả hai đường tròn không cắt $\overline{OP}$ : đó là hai tiếp tuyến chung ngoài.

Definition · Tangent circlesĐịnh nghĩa · Hai đường tròn tiếp xúc

Two circles are tangent to each other when they are coplanar and tangent to the same line at the same point: $\odot W$ and $\odot X$ are externally tangent, $\odot Y$ and $\odot Z$ are internally tangent.Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và cùng tiếp xúc với một đường thẳng tại cùng một điểm: $\odot W$ và $\odot X$ tiếp xúc ngoài, $\odot Y$ và $\odot Z$ tiếp xúc trong.

WhyVì sao

Both radii to the point of tangency are perpendicular to the common tangent (Theorem 7-1), so they lie on one line: the point of tangency is on the line of centers.Hai bán kính đi qua tiếp điểm cùng vuông góc với tiếp tuyến chung (Định lí 7-1), nên nằm trên một đường thẳng: tiếp điểm nằm trên đường nối hai tâm.

So for radii $r_1 > r_2$ and centers $O$ , $P$ : externally tangent, $OP = r_1 + r_2$ ; internally tangent, $OP = r_1 - r_2$ .Vì vậy, với bán kính $r_1 > r_2$ và tâm $O$ , $P$ : tiếp xúc ngoài thì $OP = r_1 + r_2$ ; tiếp xúc trong thì $OP = r_1 - r_2$ .

Example · Two tangent circlesVí dụ · Hai đường tròn tiếp xúc

$\odot O$ with radius $5$ and $\odot P$ with radius $3$ are externally tangent at $X$ . Line $OP$ meets the circles again at $C$ and $D$ . Find $OP$ and $CD$ . $\odot O$ bán kính $5$ và $\odot P$ bán kính $3$ tiếp xúc ngoài tại $X$ . Đường thẳng $OP$ cắt hai đường tròn thêm tại $C$ và $D$ . Tìm $OP$ và $CD$ .

AnswerĐáp án

$X$ lies on $\overline{OP}$ , so $OP = OX + XP$ ; $\overline{CX}$ and $\overline{XD}$ are diameters: $X$ nằm trên $\overline{OP}$ , nên $OP = OX + XP$ ; $\overline{CX}$ và $\overline{XD}$ là đường kính:

\begin{gathered} OP = 5 + 3 = 8 \\ CD = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 3 = 16 \end{gathered}

Answer: $OP = 8$ , $CD = 16$ .Đáp án: $OP = 8$ , $CD = 16$ .

Example · A proof with tangentsVí dụ · Chứng minh với tiếp tuyến

$\overline{PX}$ and $\overline{PY}$ are tangent to $\odot O$ at $X$ and $Y$ . Prove that $\angle P$ and $\angle XOY$ are supplementary. $\overline{PX}$ và $\overline{PY}$ tiếp xúc với $\odot O$ tại $X$ và $Y$ . Chứng minh $\angle P$ và $\angle XOY$ bù nhau.

AnswerĐáp án

1. $m\angle OXP = m\angle OYP = 90^\circ$ , by Theorem 7-1.1. $m\angle OXP = m\angle OYP = 90^\circ$ , theo Định lí 7-1.

2. The angles of quadrilateral $OXPY$ add up to $360^\circ$ , so $m\angle P + m\angle XOY = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$ .2. Tổng các góc của tứ giác $OXPY$ bằng $360^\circ$ , nên $m\angle P + m\angle XOY = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$ .

3. So $\angle P$ and $\angle XOY$ are supplementary.3. Vậy $\angle P$ và $\angle XOY$ bù nhau.

1 / 4PracticeBài tập: 5 6 7 8