GeometryBookSách 7.3 Arcs and Central AnglesCung và góc ở tâm 7.2 7.4

7.3 Arcs and Central Angles Cung và góc ở tâm

Click a card or press Space to turn it over. Arrow keys move between cards.Bấm vào thẻ hoặc nhấn Space để lật thẻ. Phím mũi tên để chuyển thẻ.

1Arcs and central angles

Cung và góc ở tâm

Definitions · ArcsĐịnh nghĩa · Cung

An arc is part of a circle. There are three kinds: a semicircle (its endpoints are the ends of a diameter), a minor arc (less than a semicircle) and a major arc (greater than a semicircle).Cung là một phần của đường tròn. Có ba loại: nửa đường tròn (hai đầu mút là hai đầu một đường kính), cung nhỏ (nhỏ hơn nửa đường tròn) và cung lớn (lớn hơn nửa đường tròn).

$\overset{\frown}{BC}$ is read "arc $BC$ ". A minor arc is named by its two endpoints; a semicircle or a major arc needs three letters. $\overset{\frown}{BC}$ đọc là "cung $BC$ ". Cung nhỏ gọi tên bằng hai đầu mút; nửa đường tròn hoặc cung lớn cần ba chữ cái.

How to use itCách áp dụng

Semicircles: $\overset{\frown}{ABC}$ and $\overset{\frown}{ADC}$ , because $\overline{AC}$ is a diameter.Nửa đường tròn: $\overset{\frown}{ABC}$ và $\overset{\frown}{ADC}$ , vì $\overline{AC}$ là đường kính.

Minor arcs: $\overset{\frown}{AB}$ , $\overset{\frown}{BC}$ , $\overset{\frown}{CD}$ , $\overset{\frown}{DA}$ .Cung nhỏ: $\overset{\frown}{AB}$ , $\overset{\frown}{BC}$ , $\overset{\frown}{CD}$ , $\overset{\frown}{DA}$ .

Major arc: $\overset{\frown}{BDC}$ , from $B$ through $D$ to $C$ ; the middle letter shows which way to go.Cung lớn: $\overset{\frown}{BDC}$ , đi từ $B$ qua $D$ tới $C$ ; chữ ở giữa cho biết đi theo đường nào.

Definition · Central angle and arc measureĐịnh nghĩa · Góc ở tâm và số đo cung

A central angle has its vertex at the center of the circle. The measure of a minor arc is the measure of its central angle:Góc ở tâm có đỉnh tại tâm đường tròn. Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó:

m\overset{\frown}{TK} = m\angle TOK

A semicircle measures $180^\circ$ ; a major arc measures $360^\circ$ minus its minor arc.Nửa đường tròn có số đo $180^\circ$ ; cung lớn có số đo bằng $360^\circ$ trừ số đo cung nhỏ cùng hai đầu mút.

How to use itCách áp dụng

In the figure $m\angle TOK = 60^\circ$ , so $m\overset{\frown}{TK} = 60^\circ$ .Trong hình $m\angle TOK = 60^\circ$ , nên $m\overset{\frown}{TK} = 60^\circ$ .

The major arc with the same endpoints measures $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$ .Cung lớn có cùng hai đầu mút có số đo $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$ .

The book writes this shortly as $\angle TOK = \overset{\frown}{TK}$ .Sách viết gọn là $\angle TOK = \overset{\frown}{TK}$ .

Rule · Adding arcs, equal arcsQuy tắc · Cộng cung, cung bằng nhau

Two arcs that share only an endpoint add up: if $D$ is on $\overset{\frown}{BDC}$ , thenHai cung chỉ chung một đầu mút thì cộng được: nếu $D$ nằm trên $\overset{\frown}{BDC}$ thì

m\overset{\frown}{BD} + m\overset{\frown}{DC} = m\overset{\frown}{BDC}

In the same circle or in equal circles, arcs with equal measures are called equal arcs.Trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau, các cung có số đo bằng nhau gọi là cung bằng nhau.

How to use itCách áp dụng

Example: $m\overset{\frown}{BD} = 110^\circ$ and $m\overset{\frown}{DC} = 140^\circ$ give $m\overset{\frown}{BDC} = 250^\circ$ .Ví dụ: $m\overset{\frown}{BD} = 110^\circ$ và $m\overset{\frown}{DC} = 140^\circ$ cho $m\overset{\frown}{BDC} = 250^\circ$ .

Two $62^\circ$ arcs of one circle are equal arcs; a $62^\circ$ arc of a larger circle is not equal to them, because the circles are not equal.Hai cung $62^\circ$ của cùng một đường tròn là hai cung bằng nhau; một cung $62^\circ$ của đường tròn lớn hơn thì không bằng chúng, vì hai đường tròn không bằng nhau.

Equal minor arcs have equal central angles (an exercise).Hai cung nhỏ bằng nhau thì có góc ở tâm bằng nhau (một bài tập).

Example · Arcs around the centerVí dụ · Các cung quanh tâm

In $\odot O$ , $m\angle AOB = 125^\circ$ and $m\angle BOC = 95^\circ$ . Find $m\overset{\frown}{AB}$ , $m\overset{\frown}{ABC}$ and $m\overset{\frown}{AC}$ .Trong $\odot O$ , $m\angle AOB = 125^\circ$ và $m\angle BOC = 95^\circ$ . Tìm $m\overset{\frown}{AB}$ , $m\overset{\frown}{ABC}$ và $m\overset{\frown}{AC}$ .

AnswerĐáp án

A minor arc measures its central angle: $m\overset{\frown}{AB} = 125^\circ$ and $m\overset{\frown}{BC} = 95^\circ$ .Cung nhỏ có số đo bằng góc ở tâm: $m\overset{\frown}{AB} = 125^\circ$ và $m\overset{\frown}{BC} = 95^\circ$ .

\begin{gathered} m\overset{\frown}{ABC} = m\overset{\frown}{AB} + m\overset{\frown}{BC} = 220^\circ \\ m\overset{\frown}{AC} = 360^\circ - 220^\circ = 140^\circ \end{gathered}

$\overset{\frown}{ABC}$ is a major arc, so $\overset{\frown}{AC}$ is the minor arc that is left. $\overset{\frown}{ABC}$ là cung lớn, nên $\overset{\frown}{AC}$ là cung nhỏ còn lại.

Example · Clock handsVí dụ · Kim đồng hồ

a. At eight o'clock the hands of a clock form an angle of $?^\circ$ . b. What angle do they form at 8:20?a. Lúc tám giờ, hai kim đồng hồ tạo thành một góc $?^\circ$ . b. Lúc 8 giờ 20 phút, hai kim tạo thành góc bao nhiêu?

AnswerĐáp án

The 12 hour marks cut the circle into arcs of $\dfrac{360^\circ}{12} = 30^\circ$ . The minute hand turns $6^\circ$ a minute; the hour hand turns $30^\circ$ an hour, so $0.5^\circ$ a minute.12 vạch giờ chia đường tròn thành các cung $\dfrac{360^\circ}{12} = 30^\circ$ . Kim phút quay $6^\circ$ mỗi phút; kim giờ quay $30^\circ$ mỗi giờ, tức $0.5^\circ$ mỗi phút.

a. At 8:00 the hands are $4$ marks apart: $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$ .a. Lúc 8:00 hai kim cách nhau $4$ vạch: $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$ .

b. Measured from 12: minute hand $20 \cdot 6^\circ = 120^\circ$ , hour hand $240^\circ + 20 \cdot 0.5^\circ = 250^\circ$ ; the angle is $250^\circ - 120^\circ = 130^\circ$ .b. Đo từ số 12: kim phút $20 \cdot 6^\circ = 120^\circ$ , kim giờ $240^\circ + 20 \cdot 0.5^\circ = 250^\circ$ ; góc là $250^\circ - 120^\circ = 130^\circ$ .

Answer: a. $120^\circ$ ; b. $130^\circ$ .Đáp án: a. $120^\circ$ ; b. $130^\circ$ .

1 / 5PracticeBài tập: 1 2 3 4

2Radii, arcs and proofs

Bán kính, cung và chứng minh

Example · Isosceles triangles made by radiiVí dụ · Tam giác cân tạo bởi bán kính

$\overline{OA}$ and $\overline{OB}$ are radii of $\odot O$ and $m\angle OAB = 35^\circ$ . Find $m\overset{\frown}{AB}$ . $\overline{OA}$ và $\overline{OB}$ là bán kính của $\odot O$ và $m\angle OAB = 35^\circ$ . Tìm $m\overset{\frown}{AB}$ .

AnswerĐáp án

$OA = OB$ , because all radii are equal, so $\triangle OAB$ is isosceles and its base angles are equal: $m\angle OBA = 35^\circ$ . $OA = OB$ vì mọi bán kính bằng nhau, nên $\triangle OAB$ cân tại $O$ và hai góc ở đáy bằng nhau: $m\angle OBA = 35^\circ$ .

m\overset{\frown}{AB} = m\angle AOB = 180^\circ - 2 \cdot 35^\circ = 110^\circ

Answer: $m\overset{\frown}{AB} = 110^\circ$ .Đáp án: $m\overset{\frown}{AB} = 110^\circ$ .

Example · A proof with arcsVí dụ · Chứng minh với cung

Given: equal circles $O$ and $P$ ; $\angle 1 = \angle 2$ , where $\angle 1 = \angle WOX$ and $\angle 2 = \angle YPZ$ . Prove: $\overset{\frown}{WX} = \overset{\frown}{YZ}$ .Giả thiết: hai đường tròn bằng nhau $O$ và $P$ ; $\angle 1 = \angle 2$ , với $\angle 1 = \angle WOX$ và $\angle 2 = \angle YPZ$ . Kết luận: $\overset{\frown}{WX} = \overset{\frown}{YZ}$ .

AnswerĐáp án

1. $m\overset{\frown}{WX} = m\angle 1$ and $m\overset{\frown}{YZ} = m\angle 2$ , by the definition of the measure of a minor arc.1. $m\overset{\frown}{WX} = m\angle 1$ và $m\overset{\frown}{YZ} = m\angle 2$ , theo định nghĩa số đo cung nhỏ.

2. $m\angle 1 = m\angle 2$ (given), so $m\overset{\frown}{WX} = m\overset{\frown}{YZ}$ by substitution.2. $m\angle 1 = m\angle 2$ (giả thiết), nên $m\overset{\frown}{WX} = m\overset{\frown}{YZ}$ bằng cách thay thế.

3. The arcs have equal measures and lie in equal circles, so $\overset{\frown}{WX} = \overset{\frown}{YZ}$ by the definition of equal arcs.3. Hai cung có số đo bằng nhau và nằm trên hai đường tròn bằng nhau, nên $\overset{\frown}{WX} = \overset{\frown}{YZ}$ theo định nghĩa cung bằng nhau.

1 / 2PracticeBài tập: 5 6 7 8