GeometryBookSách 6.3 Converse of the Pythagorean TheoremĐảo của định lí Pythagoras 6.2 6.4

6.3 Converse of the Pythagorean Theorem Đảo của định lí Pythagoras

Click a card or press Space to turn it over. Arrow keys move between cards.Bấm vào thẻ hoặc nhấn Space để lật thẻ. Phím mũi tên để chuyển thẻ.

1Converse of the Pythagorean Theorem

Đảo của định lí Pythagoras

Theorem 6-3 · Converse of the Pythagorean TheoremĐịnh lí 6-3 · Đảo của định lí Pythagoras

In $\triangle ABC$ let $a = BC$ , $b = AC$ and $c = AB$ . If $c^2 = a^2 + b^2$ , then $\angle C$ is a right angle.Trong $\triangle ABC$ đặt $a = BC$ , $b = AC$ và $c = AB$ . Nếu $c^2 = a^2 + b^2$ thì $\angle C$ là góc vuông.

c^2 = a^2 + b^2 \;\Rightarrow\; m\angle C = 90^\circ

ProofChứng minh

1. Draw right $\triangle RST$ with the right angle at $T$ , legs $ST = a$ and $RT = b$ , and hypotenuse $RS = x$ .1. Vẽ $\triangle RST$ vuông tại $T$ có $ST = a$ , $RT = b$ và cạnh huyền $RS = x$ .

2. By Theorem 6-2, $x^2 = a^2 + b^2$ . Also $c^2 = a^2 + b^2$ (given), so $x^2 = c^2$ and $x = c$ .2. Theo Định lí 6-2, $x^2 = a^2 + b^2$ . Mặt khác $c^2 = a^2 + b^2$ (giả thiết), nên $x^2 = c^2$ và $x = c$ .

3. So $\triangle ABC \cong \triangle RST$ by SSS, hence $\angle C \cong \angle T$ and $\angle C$ is a right angle.3. Vậy $\triangle ABC \cong \triangle RST$ theo tiêu chí c.c.c (SSS), suy ra $\angle C \cong \angle T$ nên $\angle C$ là góc vuông.

Theorems 6-4 and 6-5 · Obtuse and acuteĐịnh lí 6-4 và 6-5 · Tam giác tù và nhọn

Let $c$ be the longest side of a triangle and $a$ , $b$ the other two sides.Gọi $c$ là cạnh dài nhất của tam giác, $a$ và $b$ là hai cạnh còn lại.

If $c^2 > a^2 + b^2$ , the triangle is obtuse (Theorem 6-4); if $c^2 < a^2 + b^2$ , it is acute (Theorem 6-5).Nếu $c^2 > a^2 + b^2$ thì tam giác tù (Định lí 6-4); nếu $c^2 < a^2 + b^2$ thì tam giác nhọn (Định lí 6-5).

\begin{aligned}c^2 > a^2 + b^2 &\;\Rightarrow\; m\angle C > 90^\circ\\ c^2 < a^2 + b^2 &\;\Rightarrow\; m\angle C < 90^\circ\end{aligned}

How to useCách áp dụng

1. A triangle with sides $a$ , $b$ , $c$ exists only if $c < a + b$ (triangle inequality). If not, there is no triangle.1. Ba cạnh $a$ , $b$ , $c$ lập được tam giác chỉ khi $c < a + b$ (bất đẳng thức tam giác). Nếu không, không có tam giác.

2. Compare $c^2$ with $a^2 + b^2$ : equal, the triangle is right (Theorem 6-3); greater, obtuse; less, acute.2. So sánh $c^2$ với $a^2 + b^2$ : bằng nhau thì tam giác vuông (Định lí 6-3); lớn hơn thì tù; nhỏ hơn thì nhọn.

Example · Classify a triangleVí dụ · Phân loại tam giác

Tell whether the triangle with sides $7$ , $9$ and $12$ is acute, right or obtuse. If a triangle can't be formed, write No triangle.Cho biết tam giác có ba cạnh $7$ , $9$ và $12$ là nhọn, vuông hay tù. Nếu không lập được tam giác thì ghi “Không có tam giác”.

AnswerĐáp án

The longest side is $c = 12$ , and $7 + 9 = 16 > 12$ , so a triangle can be formed.Cạnh dài nhất là $c = 12$ và $7 + 9 = 16 > 12$ , nên lập được tam giác.

$a^2 + b^2 = 7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130$ and $c^2 = 12^2 = 144$ . $a^2 + b^2 = 7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130$ và $c^2 = 12^2 = 144$ .

$c^2 > a^2 + b^2$ , so the triangle is obtuse (Theorem 6-4). $c^2 > a^2 + b^2$ nên tam giác là tam giác tù (Định lí 6-4).

1 / 3PracticeBài tập: 1 2 5 6 7 8

2Using Theorem 6-3

Vận dụng Định lí 6-3

Pythagorean triplesBộ ba Pythagoras

Positive integers $a$ , $b$ , $c$ with $a^2 + b^2 = c^2$ form a Pythagorean triple; it is primitive if they have no common factor greater than $1$ .Ba số nguyên dương $a$ , $b$ , $c$ thỏa $a^2 + b^2 = c^2$ lập thành một bộ ba Pythagoras (Pythagorean triple); bộ ba là nguyên thủy nếu chúng không có ước chung lớn hơn $1$ .

Four primitive triples appear often, and every multiple of a triple is a triple.Bốn bộ ba nguyên thủy hay gặp; mọi bội của một bộ ba cũng là một bộ ba.

\begin{array}{ll}(3,\ 4,\ 5) & (5,\ 12,\ 13)\\ (8,\ 15,\ 17) & (7,\ 24,\ 25)\end{array}

WhyVì sao

Let $a^2 + b^2 = c^2$ and let $k$ be a positive integer.Cho $a^2 + b^2 = c^2$ và $k$ là số nguyên dương.

$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2(a^2 + b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$ . $(ka)^2 + (kb)^2 = k^2(a^2 + b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$ .

So $(ka,\ kb,\ kc)$ is a triple too: $2 \cdot (3, 4, 5) = (6, 8, 10)$ and $3 \cdot (3, 4, 5) = (9, 12, 15)$ .Vậy $(ka,\ kb,\ kc)$ cũng là một bộ ba: $2 \cdot (3, 4, 5) = (6, 8, 10)$ và $3 \cdot (3, 4, 5) = (9, 12, 15)$ .

Example · Count the right trianglesVí dụ · Đếm tam giác vuông

How many right triangles would the diagram have if it were drawn to scale?Nếu hình vẽ đúng tỉ lệ thì hình có bao nhiêu tam giác vuông?

AnswerĐáp án

Test the two triangles cut by the diagonal $29$ . Upper left, sides $20$ , $21$ , $29$ : $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$ , so it is right (Theorem 6-3).Xét hai tam giác do đường chéo $29$ tạo ra. Phía trên bên trái, các cạnh $20$ , $21$ , $29$ : $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$ , nên là tam giác vuông (Định lí 6-3).

Lower right, sides $22$ , $19$ , $29$ : $19^2 + 22^2 = 845 \ne 841 = 29^2$ , so it is not right.Phía dưới bên phải, các cạnh $22$ , $19$ , $29$ : $19^2 + 22^2 = 845 \ne 841 = 29^2$ nên không vuông.

Answer: $1$ .Đáp án: $1$ .

Example · Sides given as expressionsVí dụ · Cạnh cho bằng biểu thức

Prove that a triangle with sides $a = x^2 - 4$ , $b = 4x$ and $c = x^2 + 4$ is a right triangle when $x > 2$ .Chứng minh rằng tam giác có các cạnh $a = x^2 - 4$ , $b = 4x$ và $c = x^2 + 4$ là tam giác vuông khi $x > 2$ .

AnswerĐáp án

Since $x > 2$ , $x^2 - 4 > 0$ , so all three sides are positive.Vì $x > 2$ nên $x^2 - 4 > 0$ , do đó cả ba cạnh đều dương.

$a^2 + b^2 = (x^2 - 4)^2 + (4x)^2 = x^4 - 8x^2 + 16 + 16x^2 = x^4 + 8x^2 + 16$ . $a^2 + b^2 = (x^2 - 4)^2 + (4x)^2 = x^4 - 8x^2 + 16 + 16x^2 = x^4 + 8x^2 + 16$ .

$c^2 = (x^2 + 4)^2 = x^4 + 8x^2 + 16$ . $c^2 = (x^2 + 4)^2 = x^4 + 8x^2 + 16$ .

So $c^2 = a^2 + b^2$ , and by Theorem 6-3 the triangle is right.Vậy $c^2 = a^2 + b^2$ và theo Định lí 6-3, tam giác là tam giác vuông.

1 / 3PracticeBài tập: 3 4 5 6

3Proving Theorems 6-4 and 6-5

Chứng minh Định lí 6-4 và 6-5

Example · Compare with a right triangleVí dụ · So sánh với một tam giác vuông

In $\triangle RST$ , $RS = 5$ , $ST = 12$ and $RT = 14$ . Without quoting Theorem 6-4, show that $\angle S$ is obtuse.Trong $\triangle RST$ , $RS = 5$ , $ST = 12$ và $RT = 14$ . Không dùng trực tiếp Định lí 6-4, hãy chứng tỏ $\angle S$ là góc tù.

AnswerĐáp án

1. Draw right $\triangle KPQ$ with the right angle at $K$ and legs $KP = 5$ , $KQ = 12$ . By Theorem 6-2, $PQ^2 = 5^2 + 12^2 = 169$ , so $PQ = 13$ .1. Vẽ $\triangle KPQ$ vuông tại $K$ có $KP = 5$ , $KQ = 12$ . Theo Định lí 6-2, $PQ^2 = 5^2 + 12^2 = 169$ , nên $PQ = 13$ .

2. The two triangles have $RS = KP$ and $ST = KQ$ , but $RT = 14 > 13 = PQ$ .2. Hai tam giác có $RS = KP$ , $ST = KQ$ nhưng $RT = 14 > 13 = PQ$ .

3. By the SSS Inequality Theorem, the angle opposite the longer third side is larger: $m\angle S > m\angle K = 90^\circ$ , so $\angle S$ is obtuse.3. Theo định lí bất đẳng thức c.c.c (SSS Inequality), góc đối diện cạnh thứ ba dài hơn thì lớn hơn: $m\angle S > m\angle K = 90^\circ$ , nên $\angle S$ là góc tù.

1 / 1PracticeBài tập: 7 8