GeometryBookSách 6.4 Special Right TrianglesTam giác vuông đặc biệt 6.3 6.5

6.4 Special Right Triangles Tam giác vuông đặc biệt

Click a card or press Space to turn it over. Arrow keys move between cards.Bấm vào thẻ hoặc nhấn Space để lật thẻ. Phím mũi tên để chuyển thẻ.

1Special right triangles

Tam giác vuông đặc biệt

Theorem 6-6 · 45-45-90 triangleĐịnh lí 6-6 · Tam giác 45-45-90

An isosceles right triangle is called a 45-45-90 triangle. Its hypotenuse is $\sqrt{2}$ times as long as a leg.Tam giác vuông cân còn gọi là tam giác 45-45-90. Cạnh huyền của nó dài gấp $\sqrt{2}$ lần cạnh góc vuông.

c = a\sqrt{2}

ProofChứng minh

1. The two legs are equal, so by Theorem 6-2, $c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ .1. Hai cạnh góc vuông bằng nhau nên theo Định lí 6-2, $c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ .

2. A length is positive, so $c = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ .2. Độ dài là số dương nên $c = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ .

Theorem 6-7 · 30-60-90 triangleĐịnh lí 6-7 · Tam giác 30-60-90

In a 30-60-90 triangle, the hypotenuse is twice the shorter leg $a$ , and the longer leg is $\sqrt{3}$ times $a$ . The shorter leg is opposite the $30^\circ$ angle.Trong tam giác 30-60-90, cạnh huyền gấp đôi cạnh góc vuông ngắn $a$ , cạnh góc vuông dài gấp $\sqrt{3}$ lần $a$ . Cạnh ngắn đối diện góc $30^\circ$ .

c = 2a \qquad b = a\sqrt{3}

ProofChứng minh

1. Extend $\overline{BC}$ to $B'$ with $CB' = a$ . $\triangle ACB \cong \triangle ACB'$ by SAS ( $\overline{AC}$ is common, both angles at $C$ are right, $CB = CB'$ ).1. Kéo dài $\overline{BC}$ tới $B'$ sao cho $CB' = a$ . $\triangle ACB \cong \triangle ACB'$ theo c.g.c (SAS): chung cạnh $\overline{AC}$ , hai góc tại $C$ vuông, $CB = CB'$ .

2. So $m\angle B' = m\angle B = 60^\circ$ and $m\angle BAB' = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$ : $\triangle ABB'$ is equiangular, hence equilateral, and $c = BB' = 2a$ .2. Suy ra $m\angle B' = m\angle B = 60^\circ$ và $m\angle BAB' = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$ : $\triangle ABB'$ có ba góc bằng nhau nên là tam giác đều, và $c = BB' = 2a$ .

3. By Theorem 6-2, $a^2 + b^2 = c^2 = 4a^2$ , so $b^2 = 3a^2$ and $b = a\sqrt{3}$ .3. Theo Định lí 6-2, $a^2 + b^2 = c^2 = 4a^2$ , nên $b^2 = 3a^2$ và $b = a\sqrt{3}$ .

Example · Find the sidesVí dụ · Tìm các cạnh

(a) The hypotenuse of a 45-45-90 triangle is $10$ . Find a leg.(a) Cạnh huyền của một tam giác 45-45-90 bằng $10$ . Tìm một cạnh góc vuông.

(b) The longer leg of a 30-60-90 triangle is $6$ . Find the shorter leg and the hypotenuse.(b) Cạnh góc vuông dài của một tam giác 30-60-90 bằng $6$ . Tìm cạnh góc vuông ngắn và cạnh huyền.

AnswerĐáp án

(a) $c = a\sqrt{2}$ , so $10 = a\sqrt{2}$ and $a = \dfrac{10}{\sqrt{2}} = \dfrac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ .(a) $c = a\sqrt{2}$ , nên $10 = a\sqrt{2}$ và $a = \dfrac{10}{\sqrt{2}} = \dfrac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ .

(b) $b = a\sqrt{3}$ , so $6 = a\sqrt{3}$ and $a = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ ; then $c = 2a = 4\sqrt{3}$ .(b) $b = a\sqrt{3}$ , nên $6 = a\sqrt{3}$ và $a = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ ; khi đó $c = 2a = 4\sqrt{3}$ .

1 / 3PracticeBài tập: 1 2 5 6

2Special triangles inside figures

Tam giác đặc biệt trong các hình

Example · Two triangles, one sideVí dụ · Hai tam giác chung một cạnh

In the figure, $\overline{US} \perp \overline{RT}$ , $m\angle R = 30^\circ$ , $m\angle T = 60^\circ$ and $ST = 2$ . Find $TU$ , $SU$ , $RU$ , $RS$ and $RT$ .Trong hình, $\overline{US} \perp \overline{RT}$ , $m\angle R = 30^\circ$ , $m\angle T = 60^\circ$ và $ST = 2$ . Tìm $TU$ , $SU$ , $RU$ , $RS$ và $RT$ .

AnswerĐáp án

$\triangle UST$ is 30-60-90 and $ST$ is its shorter leg: $TU = 2 \cdot ST = 4$ , $SU = ST\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ . $\triangle UST$ là tam giác 30-60-90 có cạnh ngắn $ST$ : $TU = 2 \cdot ST = 4$ , $SU = ST\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ .

$\triangle RSU$ is 30-60-90 and the shared side $SU$ is its shorter leg: $RU = 2 \cdot SU = 4\sqrt{3}$ , $RS = SU\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$ . $\triangle RSU$ là tam giác 30-60-90 và cạnh chung $SU$ là cạnh ngắn của nó: $RU = 2 \cdot SU = 4\sqrt{3}$ , $RS = SU\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$ .

$RT = RS + ST = 6 + 2 = 8$ . $RT = RS + ST = 6 + 2 = 8$ .

Example · Inside a trapezoidVí dụ · Trong hình thang

In trapezoid $ABCD$ , $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$ , $DC = 4$ , $AD = 6$ , $m\angle A = 30^\circ$ and $m\angle B = 45^\circ$ . Find $BC$ and $AB$ .Hình thang $ABCD$ có $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$ , $DC = 4$ , $AD = 6$ , $m\angle A = 30^\circ$ và $m\angle B = 45^\circ$ . Tìm $BC$ và $AB$ .

AnswerĐáp án

Draw the altitudes $\overline{DH}$ and $\overline{CK}$ . $DHKC$ is a rectangle, so $HK = DC = 4$ and $CK = DH$ .Vẽ các đường cao $\overline{DH}$ và $\overline{CK}$ . $DHKC$ là hình chữ nhật nên $HK = DC = 4$ và $CK = DH$ .

$\triangle AHD$ is 30-60-90 with hypotenuse $AD = 6$ : $DH = \dfrac{6}{2} = 3$ and $AH = 3\sqrt{3}$ . $\triangle AHD$ là tam giác 30-60-90 có cạnh huyền $AD = 6$ : $DH = \dfrac{6}{2} = 3$ và $AH = 3\sqrt{3}$ .

$\triangle BKC$ is 45-45-90 with leg $CK = 3$ : $KB = 3$ and $BC = 3\sqrt{2}$ . $\triangle BKC$ là tam giác 45-45-90 có cạnh góc vuông $CK = 3$ : $KB = 3$ và $BC = 3\sqrt{2}$ .

$AB = AH + HK + KB$ , so $AB = 3\sqrt{3} + 4 + 3 = 7 + 3\sqrt{3}$ . $AB = AH + HK + KB$ , nên $AB = 3\sqrt{3} + 4 + 3 = 7 + 3\sqrt{3}$ .

1 / 2PracticeBài tập: 3 4 5 6

3Special triangles in a regular octagon

Tam giác đặc biệt trong bát giác đều

Example · Corners cut off a squareVí dụ · Cắt các góc của hình vuông

The four corners of a square are cut off to form a regular octagon. Each cut removes a triangle whose two legs on the square are $3$ cm. Find the side of the octagon and the side of the square.Cắt bốn góc của một hình vuông để được một bát giác đều. Mỗi lần cắt bỏ một tam giác có hai cạnh nằm trên hình vuông dài $3$ cm. Tìm cạnh của bát giác và cạnh của hình vuông.

AnswerĐáp án

Each angle of a regular octagon is $\dfrac{(8 - 2) \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$ , so each cut triangle has angles $45^\circ$ , $45^\circ$ , $90^\circ$ .Mỗi góc của bát giác đều bằng $\dfrac{(8 - 2) \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$ , nên mỗi tam giác bị cắt có các góc $45^\circ$ , $45^\circ$ , $90^\circ$ .

By Theorem 6-6, the octagon side is the hypotenuse: $3\sqrt{2}$ cm.Theo Định lí 6-6, cạnh bát giác là cạnh huyền: $3\sqrt{2}$ cm.

A side of the square is leg $+$ octagon side $+$ leg: $3 + 3\sqrt{2} + 3 = 6 + 3\sqrt{2}$ cm.Cạnh hình vuông bằng cạnh góc vuông $+$ cạnh bát giác $+$ cạnh góc vuông: $3 + 3\sqrt{2} + 3 = 6 + 3\sqrt{2}$ cm.

1 / 1PracticeBài tập: 7 8