GeometryBookSách 7.1 Basic TermsCác thuật ngữ cơ bản 6.7 7.2

7.1 Basic Terms Các thuật ngữ cơ bản

Click a card or press Space to turn it over. Arrow keys move between cards.Bấm vào thẻ hoặc nhấn Space để lật thẻ. Phím mũi tên để chuyển thẻ.

1Circles and their parts

Đường tròn và các yếu tố

Definition · CircleĐịnh nghĩa · Đường tròn

A circle is the set of all points in a plane that are a given distance from a given point. The point is the center; the distance is the radius. A circle with center $O$ is called circle $O$ , written $\odot O$ .Đường tròn là tập hợp mọi điểm trong mặt phẳng cách một điểm cho trước một khoảng cho trước. Điểm đó là tâm, khoảng cách đó là bán kính. Đường tròn tâm $O$ gọi là đường tròn $O$ , kí hiệu $\odot O$ .

Compare the distance from the center with the radius $r$ : inside, on, outside the circle.So sánh khoảng cách tới tâm với bán kính $r$ : trong, trên, ngoài đường tròn.

OA < r, \quad OB = r, \quad OC > r

How to use itCách áp dụng

In the figure the radius is $5$ :Trong hình, bán kính bằng $5$ :

$A$ lies inside the circle, because $OA < 5$ . $A$ nằm trong đường tròn, vì $OA < 5$ .

$B$ lies on the circle, because $OB = 5$ . $B$ nằm trên đường tròn, vì $OB = 5$ .

$C$ lies outside the circle, because $OC > 5$ . $C$ nằm ngoài đường tròn, vì $OC > 5$ .

So a point lies on the circle exactly when its distance from the center equals the radius.Vậy một điểm nằm trên đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ nó tới tâm bằng bán kính.

Definitions · Secant, chord, diameterĐịnh nghĩa · Cát tuyến, dây cung, đường kính

A secant is a line that meets a circle in two points. A chord is a segment that joins two points of a circle. A diameter is a chord through the center.Cát tuyến (secant) là đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm. Dây cung (chord) là đoạn thẳng nối hai điểm của đường tròn. Đường kính là dây cung đi qua tâm.

A segment such as $\overline{PD}$ , from a point outside to the far point of a secant, is called a secant drawn from an outside point.Đoạn như $\overline{PD}$ , đi từ một điểm ở ngoài tới điểm xa của một cát tuyến, gọi là cát tuyến kẻ từ một điểm ở ngoài.

How to use itCách áp dụng

Secants: $\overleftrightarrow{DE}$ and $\overleftrightarrow{FG}$ .Cát tuyến: $\overleftrightarrow{DE}$ và $\overleftrightarrow{FG}$ .

Chords: $\overline{DE}$ and $\overline{FG}$ . Diameter: $\overline{FG}$ , because it passes through $O$ .Dây cung: $\overline{DE}$ và $\overline{FG}$ . Đường kính: $\overline{FG}$ , vì nó đi qua $O$ .

Radii: $\overline{OF}$ and $\overline{OG}$ (radii is the plural of radius).Bán kính: $\overline{OF}$ và $\overline{OG}$ .

Secant drawn from the outside point $P$ : $\overline{PD}$ .Cát tuyến kẻ từ điểm $P$ ở ngoài: $\overline{PD}$ .

Facts · Radii and diametersTính chất · Bán kính và đường kính

The words radius and diameter name segments and also their lengths. From the definitions:Các từ bán kính và đường kính chỉ đoạn thẳng và cả độ dài của nó. Từ các định nghĩa ta có:

d = 2r

All radii of a circle are equal. Equal circles are circles with equal radii. Concentric circles lie in one plane and have the same center.Mọi bán kính của một đường tròn bằng nhau. Hai đường tròn bằng nhau là hai đường tròn có bán kính bằng nhau. Các đường tròn đồng tâm cùng nằm trong một mặt phẳng và có chung tâm.

Leave out "in a plane" and you get a sphere: all points a given distance from a given point.Bỏ chữ "trong mặt phẳng" thì được mặt cầu (sphere): mọi điểm cách một điểm cho trước một khoảng cho trước.

WhyVì sao

A diameter is made of two radii on one line through the center, so $d = r + r = 2r$ .Đường kính gồm hai bán kính nằm trên một đường thẳng qua tâm, nên $d = r + r = 2r$ .

Every radius joins the center to a point of the circle, and every point of the circle is at distance $r$ , so all radii are equal.Mỗi bán kính nối tâm với một điểm của đường tròn, mà mọi điểm của đường tròn cách tâm một khoảng $r$ , nên mọi bán kính bằng nhau.

For equal circles, the definition gives: radii of equal circles are equal.Với hai đường tròn bằng nhau, định nghĩa cho: các bán kính của hai đường tròn bằng nhau thì bằng nhau.

Definition · Inscribed polygonĐịnh nghĩa · Đa giác nội tiếp

A polygon is inscribed in a circle, and the circle is circumscribed about the polygon, when every vertex of the polygon lies on the circle.Một đa giác nội tiếp đường tròn, và đường tròn ngoại tiếp đa giác, khi mọi đỉnh của đa giác nằm trên đường tròn.

How to use itCách áp dụng

Check each vertex. $A$ , $B$ , $C$ and $D$ lie on the circle, so quadrilateral $ABCD$ is inscribed in the circle.Kiểm tra từng đỉnh. $A$ , $B$ , $C$ và $D$ đều nằm trên đường tròn, nên tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn.

If even one vertex lies inside or outside the circle, the polygon is not inscribed.Chỉ cần một đỉnh nằm trong hoặc ngoài đường tròn thì đa giác không nội tiếp.

A point lies on the circle when its distance from the center equals the radius, so: a polygon can be inscribed when some point is equally far from all of its vertices.Một điểm nằm trên đường tròn khi nó cách tâm một khoảng bằng bán kính, nên: một đa giác nội tiếp được khi có một điểm cách đều mọi đỉnh của nó.

Example · Where a figure meets a circleVí dụ · Hình nào cắt đường tròn ở đâu

Point $C$ lies inside circle $O$ and point $D$ lies outside. In how many points does each figure intersect the circle?Điểm $C$ nằm trong đường tròn $O$ và điểm $D$ nằm ngoài. Mỗi hình sau cắt đường tròn tại bao nhiêu điểm?

a. $\overrightarrow{CD}$ b. $\overline{CO}$ c. $\overleftrightarrow{CO}$ a. $\overrightarrow{CD}$ b. $\overline{CO}$ c. $\overleftrightarrow{CO}$

AnswerĐáp án

a. The ray starts inside at $C$ and passes $D$ outside, so it crosses the circle once; it never comes back: $1$ point.a. Tia bắt đầu ở $C$ bên trong và đi qua $D$ bên ngoài, nên nó cắt đường tròn một lần và không quay lại: $1$ điểm.

b. $C$ and $O$ are both inside, and so is every point between them: $0$ points.b. $C$ và $O$ đều ở bên trong, mọi điểm giữa chúng cũng vậy: $0$ điểm.

c. The line passes through the center, so it meets the circle on both sides of $O$ : $2$ points.c. Đường thẳng đi qua tâm nên cắt đường tròn ở hai phía của $O$ : $2$ điểm.

Answer: a. $1$ ; b. $0$ ; c. $2$ .Đáp án: a. $1$ ; b. $0$ ; c. $2$ .

Example · Inscribed or impossibleVí dụ · Nội tiếp được hay không

Draw the figure inscribed in a circle. If a drawing cannot be made, write impossible.Vẽ hình nội tiếp một đường tròn. Nếu không vẽ được, ghi không thể.

a. A rectangle b. A rhombus that is not a squarea. Một hình chữ nhật b. Một hình thoi không phải hình vuông

AnswerĐáp án

a. Draw two diameters $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ through the center $M$ . The diagonals of $ABCD$ are equal and bisect each other, so $ABCD$ is a rectangle: possible.a. Vẽ hai đường kính $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ qua tâm $M$ . Hai đường chéo của $ABCD$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $ABCD$ là hình chữ nhật: vẽ được.

b. The center is equally far from $A$ and $C$ , so it lies on line $BD$ , the perpendicular bisector of $\overline{AC}$ ; in the same way it lies on line $AC$ . So the half diagonals are radii, the diagonals are equal and the rhombus is a square: impossible.b. Tâm cách đều $A$ và $C$ nên nằm trên đường thẳng $BD$ , là đường trung trực của $\overline{AC}$ ; tương tự, tâm nằm trên đường thẳng $AC$ . Vậy các nửa đường chéo là bán kính, hai đường chéo bằng nhau và hình thoi là hình vuông: không thể.

1 / 6PracticeBài tập: 1 2 3 4

2Radii, chords and lines

Bán kính, dây cung và đường thẳng

Example · Chord from two radiiVí dụ · Dây cung từ hai bán kính

Circle $O$ has radius $6$ . Radii $\overline{OX}$ and $\overline{OY}$ are drawn so that $m\angle XOY = 120^\circ$ . Find the length of $\overline{XY}$ .Đường tròn $O$ có bán kính $6$ . Vẽ hai bán kính $\overline{OX}$ và $\overline{OY}$ sao cho $m\angle XOY = 120^\circ$ . Tìm độ dài $\overline{XY}$ .

AnswerĐáp án

$OX = OY = 6$ , so the altitude $\overline{OM}$ bisects $\angle XOY$ and $\overline{XY}$ (HL). In the 30-60-90 triangle $OMX$ , $m\angle XOM = 60^\circ$ and the hypotenuse is $OX = 6$ : $OX = OY = 6$ nên đường cao $\overline{OM}$ chia đôi $\angle XOY$ và $\overline{XY}$ (HL). Trong tam giác 30-60-90 $OMX$ , $m\angle XOM = 60^\circ$ và cạnh huyền $OX = 6$ :

\begin{gathered} XM = \dfrac{OX}{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \\ XY = 2 \cdot XM = 6\sqrt{3} \end{gathered}

Answer: $XY = 6\sqrt{3}$ .Đáp án: $XY = 6\sqrt{3}$ .

Example · An indirect proof with circlesVí dụ · Chứng minh phản chứng với đường tròn

Prove: two concentric circles with different radii have no point in common.Chứng minh: hai đường tròn đồng tâm có bán kính khác nhau không có điểm chung.

AnswerĐáp án

Let the circles have center $O$ and radii $r_1 \ne r_2$ .Gọi hai đường tròn có tâm $O$ , bán kính $r_1 \ne r_2$ .

Suppose a point $P$ lies on both circles.Giả sử có điểm $P$ nằm trên cả hai đường tròn.

$P$ is on the first circle, so $OP = r_1$ ; $P$ is on the second circle, so $OP = r_2$ . $P$ thuộc đường tròn thứ nhất nên $OP = r_1$ ; $P$ thuộc đường tròn thứ hai nên $OP = r_2$ .

Then $r_1 = r_2$ , which contradicts $r_1 \ne r_2$ . So what we supposed is false: the circles have no common point.Khi đó $r_1 = r_2$ , trái với $r_1 \ne r_2$ . Vậy điều giả sử là sai: hai đường tròn không có điểm chung.

1 / 2PracticeBài tập: 5 6 7 8