GeometryBookSách 6.2 The Pythagorean TheoremĐịnh lí Pythagoras 6.1 6.3

6.2 The Pythagorean Theorem Định lí Pythagoras

Click a card or press Space to turn it over. Arrow keys move between cards.Bấm vào thẻ hoặc nhấn Space để lật thẻ. Phím mũi tên để chuyển thẻ.

1The Pythagorean Theorem

Định lí Pythagoras

Theorem 6-2 · Pythagorean TheoremĐịnh lí 6-2 · Định lí Pythagoras

In right $\triangle ABC$ with the right angle at $C$ , the square of the hypotenuse $c = AB$ equals the sum of the squares of the legs $a = BC$ and $b = AC$ .Trong $\triangle ABC$ vuông tại $C$ , bình phương cạnh huyền $c = AB$ bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông $a = BC$ và $b = AC$ .

c^2 = a^2 + b^2

ProofChứng minh

1. Draw the altitude $\overline{CH}$ to the hypotenuse (there is exactly one perpendicular from $C$ to $\overline{AB}$ ). It cuts $c$ into $c_1 = AH$ and $c_2 = HB$ , so $c = c_1 + c_2$ .1. Vẽ đường cao $\overline{CH}$ ứng với cạnh huyền (từ $C$ chỉ kẻ được một đường vuông góc với $\overline{AB}$ ). Nó chia $c$ thành $c_1 = AH$ và $c_2 = HB$ , nên $c = c_1 + c_2$ .

2. By Corollary 2 of Theorem 6-1, $a^2 = c \cdot c_2$ and $b^2 = c \cdot c_1$ .2. Theo Hệ quả 2 của Định lí 6-1: $a^2 = c \cdot c_2$ và $b^2 = c \cdot c_1$ .

3. Adding: $a^2 + b^2 = c \cdot c_2 + c \cdot c_1 = c(c_1 + c_2) = c \cdot c = c^2$ .3. Cộng hai đẳng thức: $a^2 + b^2 = c \cdot c_2 + c \cdot c_1 = c(c_1 + c_2) = c \cdot c = c^2$ .

Example · Hypotenuse or legVí dụ · Cạnh huyền hoặc cạnh góc vuông

(a) The legs of a right triangle are $a = 4$ and $b = 7$ . Find the hypotenuse $c$ .(a) Hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là $a = 4$ và $b = 7$ . Tìm cạnh huyền $c$ .

(b) The hypotenuse is $c = 11$ and one leg is $a = 7$ . Find the other leg $b$ .(b) Cạnh huyền là $c = 11$ , một cạnh góc vuông là $a = 7$ . Tìm cạnh góc vuông còn lại $b$ .

AnswerĐáp án

(a) $c^2 = a^2 + b^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65$ . A length is positive, so $c = \sqrt{65}$ .(a) $c^2 = a^2 + b^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65$ . Độ dài là số dương nên $c = \sqrt{65}$ .

(b) $c^2 = a^2 + b^2$ , so $b^2 = 11^2 - 7^2 = 121 - 49 = 72$ and $b = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ .(b) $c^2 = a^2 + b^2$ , nên $b^2 = 11^2 - 7^2 = 121 - 49 = 72$ và $b = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ .

1 / 2PracticeBài tập: 1 2

2Sides given as expressions

Cạnh cho bằng biểu thức

ExampleVí dụ

The legs of a right triangle are $a = x$ and $b = x + 2$ , and the hypotenuse is $c = 10$ . Find $x$ .Hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là $a = x$ và $b = x + 2$ , cạnh huyền là $c = 10$ . Tìm $x$ .

AnswerĐáp án

$c^2 = a^2 + b^2$ , so $10^2 = x^2 + (x + 2)^2$ . $c^2 = a^2 + b^2$ , nên $10^2 = x^2 + (x + 2)^2$ .

$2x^2 + 4x + 4 = 100$ , so $x^2 + 2x - 48 = 0$ . $2x^2 + 4x + 4 = 100$ , nên $x^2 + 2x - 48 = 0$ .

$(x + 8)(x - 6) = 0$ , so $x = -8$ or $x = 6$ . $(x + 8)(x - 6) = 0$ , nên $x = -8$ hoặc $x = 6$ .

A length is positive, so $x = 6$ .Độ dài là số dương nên $x = 6$ .

1 / 1PracticeBài tập: 3 4

3Right triangles inside figures

Tam giác vuông trong các hình

Example · Inside a rhombusVí dụ · Trong hình thoi

The diagonals of rhombus $ABCD$ are $AC = 24$ and $BD = 10$ . Find the side $AD$ .Hai đường chéo của hình thoi $ABCD$ là $AC = 24$ và $BD = 10$ . Tìm cạnh $AD$ .

AnswerĐáp án

The diagonals of a rhombus are perpendicular and bisect each other, so $\triangle AOD$ has a right angle at $O$ , $AO = 12$ and $OD = 5$ .Hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $\triangle AOD$ vuông tại $O$ , $AO = 12$ và $OD = 5$ .

$AD^2 = AO^2 + OD^2 = 12^2 + 5^2 = 169$ , so $AD = 13$ . $AD^2 = AO^2 + OD^2 = 12^2 + 5^2 = 169$ , nên $AD = 13$ .

Example · Draw the altitudesVí dụ · Vẽ đường cao

Isosceles trapezoid $ABCD$ has bases $AB = 19$ and $DC = 7$ and legs $AD = BC = 10$ . Find its altitude.Hình thang cân $ABCD$ có hai đáy $AB = 19$ , $DC = 7$ và hai cạnh bên $AD = BC = 10$ . Tìm đường cao của nó.

AnswerĐáp án

Draw the altitudes $\overline{DH}$ and $\overline{CK}$ . $DHKC$ is a rectangle, so $HK = 7$ ; $\triangle AHD \cong \triangle BKC$ by HL, so $AH = KB = \dfrac{19 - 7}{2} = 6$ .Vẽ các đường cao $\overline{DH}$ và $\overline{CK}$ . $DHKC$ là hình chữ nhật nên $HK = 7$ ; $\triangle AHD \cong \triangle BKC$ (HL), nên $AH = KB = \dfrac{19 - 7}{2} = 6$ .

$DH^2 = AD^2 - AH^2 = 10^2 - 6^2 = 64$ , so $DH = 8$ . $DH^2 = AD^2 - AH^2 = 10^2 - 6^2 = 64$ , nên $DH = 8$ .

Example · Two walks in one directionVí dụ · Hai đoạn đi cùng hướng

Lan walks $4$ km north, then $6$ km east, then $4$ km north. How far is she from her starting point?Lan đi $4$ km về phía bắc, rồi $6$ km về phía đông, rồi $4$ km về phía bắc. Lan cách điểm xuất phát bao xa?

AnswerĐáp án

The two walks north add up: $4 + 4 = 8$ km north, and $6$ km east. North and east are perpendicular, so the distance $d$ is the hypotenuse:Hai đoạn đi về phía bắc cộng lại: $4 + 4 = 8$ km về phía bắc, và $6$ km về phía đông. Hướng bắc và hướng đông vuông góc, nên khoảng cách $d$ là cạnh huyền:

$d^2 = 8^2 + 6^2 = 100$ , so $d = 10$ km. $d^2 = 8^2 + 6^2 = 100$ , nên $d = 10$ km.

1 / 3PracticeBài tập: 5 6 7 8 9 10

4Two equations, one unknown

Hai phương trình, một ẩn

Example · Two right triangles share hVí dụ · Hai tam giác vuông chung h

In $\triangle RTU$ , $RU = 25$ , $TU = 39$ and $RT = 56$ . The altitude $h = US$ meets $\overline{RT}$ at $S$ . Find $h$ .Trong $\triangle RTU$ , $RU = 25$ , $TU = 39$ và $RT = 56$ . Đường cao $h = US$ cắt $\overline{RT}$ tại $S$ . Tìm $h$ .

AnswerĐáp án

Let $RS = x$ , so $ST = 56 - x$ . Theorem 6-2 in each right triangle gives $h^2$ twice:Đặt $RS = x$ , khi đó $ST = 56 - x$ . Định lí 6-2 trong mỗi tam giác vuông cho $h^2$ hai lần:

25^2 - x^2 = h^2 = 39^2 - (56 - x)^2

$625 - x^2 = 1521 - 3136 + 112x - x^2$ , so $112x = 2240$ and $x = 20$ . $625 - x^2 = 1521 - 3136 + 112x - x^2$ , nên $112x = 2240$ và $x = 20$ .

$h^2 = 25^2 - 20^2 = 225$ , so $h = 15$ . $h^2 = 25^2 - 20^2 = 225$ , nên $h = 15$ .

1 / 1PracticeBài tập: 11 12