GeometryBookSách 6.7 Using Trigonometric RatiosSử dụng tỉ số lượng giác 6.6 7.1

6.7 Using Trigonometric Ratios Sử dụng tỉ số lượng giác

Click a card or press Space to turn it over. Arrow keys move between cards.Bấm vào thẻ hoặc nhấn Space để lật thẻ. Phím mũi tên để chuyển thẻ.

1Angles of elevation and depression

Góc nâng và góc hạ

Definition · Elevation and depressionĐịnh nghĩa · Góc nâng và góc hạ

From the top $T$ of a tower, an observer looks down at a boat $B$ . The angle between the horizontal $\overline{TH}$ and the line of sight $\overline{TB}$ is the angle of depression. From $B$ , the angle between the horizontal $\overline{BF}$ and $\overline{BT}$ is the angle of elevation.Từ đỉnh $T$ của một ngọn tháp, người quan sát nhìn xuống một chiếc thuyền $B$ . Góc giữa đường nằm ngang $\overline{TH}$ và tia nhìn $\overline{TB}$ là góc hạ (angle of depression). Từ $B$ , góc giữa đường nằm ngang $\overline{BF}$ và $\overline{BT}$ là góc nâng (angle of elevation).

m\angle HTB = m\angle TBF

WhyVì sao

The two horizontals $\overleftrightarrow{TH}$ and $\overleftrightarrow{BF}$ are parallel, and $\overline{TB}$ is a transversal.Hai đường nằm ngang $\overleftrightarrow{TH}$ và $\overleftrightarrow{BF}$ song song, và $\overline{TB}$ là một cát tuyến.

$\angle HTB$ and $\angle TBF$ are alternate interior angles, so they are equal: the angle of depression equals the angle of elevation. $\angle HTB$ và $\angle TBF$ là hai góc so le trong nên bằng nhau: góc hạ bằng góc nâng.

Example · Two ways to set upVí dụ · Hai cách lập phương trình

The top $T$ of a lighthouse is $25$ m above sea level. From a boat $B$ , the angle of elevation of $T$ is $14^\circ$ . Find the distance $x$ from the boat to the lighthouse, to the nearest meter.Đỉnh $T$ của một ngọn hải đăng cao $25$ m so với mặt biển. Từ thuyền $B$ , góc nâng tới $T$ là $14^\circ$ . Tìm khoảng cách $x$ từ thuyền tới hải đăng, làm tròn đến mét.

AnswerĐáp án

Method 1, at $B$ : $\tan 14^\circ = \dfrac{25}{x}$ , so $x \approx \dfrac{25}{0.2493} \approx 100.3$ (see the table).Cách 1, tại $B$ : $\tan 14^\circ = \dfrac{25}{x}$ , nên $x \approx \dfrac{25}{0.2493} \approx 100.3$ (xem bảng).

Method 2, at $T$ : $m\angle BTF = 90^\circ - 14^\circ = 76^\circ$ and $\tan 76^\circ = \dfrac{x}{25}$ , so $x \approx 25 \cdot 4.0108 \approx 100.3$ .Cách 2, tại $T$ : $m\angle BTF = 90^\circ - 14^\circ = 76^\circ$ và $\tan 76^\circ = \dfrac{x}{25}$ , nên $x \approx 25 \cdot 4.0108 \approx 100.3$ .

Both give about $100$ m. Method 2 is easier by hand: $x$ is in the numerator, so we multiply instead of divide.Cả hai cách đều cho khoảng $100$ m. Cách 2 dễ tính tay hơn: $x$ nằm ở tử số nên ta nhân thay vì chia.

Example · Two lines of sightVí dụ · Hai tia nhìn

From the top $P$ of a building $20$ m high, the angle of depression of the foot $F$ of a tower is $30^\circ$ and the angle of elevation of its top $U$ is $40^\circ$ . How tall is the tower, to the nearest meter?Từ nóc $P$ của một tòa nhà cao $20$ m, góc hạ tới chân $F$ của một ngọn tháp là $30^\circ$ và góc nâng tới đỉnh $U$ của tháp là $40^\circ$ . Tháp cao bao nhiêu, làm tròn đến mét?

AnswerĐáp án

$\overline{PK}$ is horizontal, so $KF = 20$ and $PK = QF$ . In $\triangle PKF$ , $m\angle PFK = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ : $\overline{PK}$ nằm ngang nên $KF = 20$ và $PK = QF$ . Trong $\triangle PKF$ , $m\angle PFK = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ :

PK = 20 \tan 60^\circ \approx 34.64

In $\triangle PKU$ : $KU = PK \tan 40^\circ \approx 34.64 \cdot 0.8391 \approx 29.07$ (see the table).Trong $\triangle PKU$ : $KU = PK \tan 40^\circ \approx 34.64 \cdot 0.8391 \approx 29.07$ (xem bảng).

$FU = KF + KU \approx 20 + 29.07 = 49.07$ . Answer: about $49$ m. $FU = KF + KU \approx 20 + 29.07 = 49.07$ . Đáp án: khoảng $49$ m.

1 / 3PracticeBài tập: 1 2 3 4

2From one ratio to the other two

Từ một tỉ số tìm hai tỉ số còn lại

Example · Given one ratioVí dụ · Biết một tỉ số

$\sin A = \dfrac{5}{8}$ . Find $\cos A$ and $\tan A$ . $\sin A = \dfrac{5}{8}$ . Tìm $\cos A$ và $\tan A$ .

AnswerĐáp án

1. Sketch a right triangle: the leg opposite $\angle A$ is $5$ , the hypotenuse is $8$ .1. Vẽ phác tam giác vuông: cạnh đối của $\angle A$ bằng $5$ , cạnh huyền bằng $8$ .

2. Pythagorean Theorem: $x^2 + 25 = 64$ , so $x = \sqrt{39}$ .2. Định lí Pythagoras: $x^2 + 25 = 64$ , nên $x = \sqrt{39}$ .

3. The other two ratios:3. Hai tỉ số còn lại:

\begin{gathered}\cos A = \dfrac{\sqrt{39}}{8} \\ \tan A = \dfrac{5}{\sqrt{39}} = \dfrac{5\sqrt{39}}{39}\end{gathered}

1 / 1PracticeBài tập: 5 6

3Regular polygons

Đa giác đều

Example · From the centre to a vertexVí dụ · Từ tâm tới một đỉnh

Point $O$ is equidistant from the ten vertices of a regular decagon with sides of $10$ . Find $r = OB$ , the distance from $O$ to a vertex, to the nearest tenth.Điểm $O$ cách đều mười đỉnh của một thập giác đều có cạnh $10$ . Tìm $r = OB$ , khoảng cách từ $O$ tới một đỉnh, làm tròn đến hàng phần mười.

AnswerĐáp án

The ten triangles at $O$ are congruent (SSS): $m\angle AOB = \dfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ$ , so $m\angle TOB = 18^\circ$ and $TB = 5$ .Mười tam giác ở $O$ bằng nhau (SSS): $m\angle AOB = \dfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ$ , nên $m\angle TOB = 18^\circ$ và $TB = 5$ .

$r$ is the hypotenuse, so we use the sine (table): $r$ là cạnh huyền nên ta dùng sin (bảng):

\begin{gathered}\sin 18^\circ = \dfrac{5}{r} \\ r \approx \dfrac{5}{0.3090} \approx 16.2\end{gathered}

1 / 1PracticeBài tập: 7 8