6.5 The Tangent Ratio Tỉ số lượng giác tang

Góc vuông tại $C.$ Với $\angle A,$ cạnh đối là $BC = 5,$ cạnh kề là $AC = 9$; với $\angle B$ hai cạnh đổi vai trò:

Đáp án: $\tan A = \dfrac{5}{9},$ $\tan B = \dfrac{9}{5}.$

Góc vuông tại $C,$ cạnh huyền $AB = 4$ và một cạnh góc vuông $CA = 3.$ Trước hết tìm cạnh $BC$ theo định lí Pythagoras:

Với $\angle A,$ cạnh đối là $BC,$ cạnh kề là $CA$; với $\angle B$ hai cạnh đổi vai trò:

Đáp án: $\tan A = \dfrac{\sqrt{7}}{3},$ $\tan B = \dfrac{3\sqrt{7}}{7}.$

Đường cao $15$ chia tam giác thành hai tam giác vuông. Hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông (HL) (hai cạnh huyền bằng nhau, đường cao là cạnh góc vuông chung), nên đường cao chia cạnh đáy thành hai phần bằng nhau $x$ và $x.$

Trong tam giác vuông bên trái, $15$ là cạnh đối của góc $56^\circ,$ $x$ là cạnh kề:

Đáp án: $x \approx 10.1,$ $y \approx 20.2.$

Đường cao $x$ là cạnh góc vuông của cả hai tam giác vuông. Trong tam giác bên trái, $x$ là cạnh đối của góc $34^\circ,$ $9$ là cạnh kề:

Trong tam giác bên phải, $x$ là cạnh đối của góc $50^\circ,$ $y$ là cạnh kề:

Đáp án: $x \approx 6.1,$ $y \approx 5.1.$

Gọi $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB = 14,$ $BC = 20,$ hai đường chéo cắt nhau tại $O.$ Góc nhỏ hơn tại $O$ là $\angle AOB,$ đối diện cạnh ngắn.

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $B,$ $BC$ là cạnh đối của $\angle BAC,$ $AB$ là cạnh kề:

Giá trị này gần $\tan 55^\circ \approx 1.4281$ nhất, nên $m\angle BAC \approx 55^\circ.$

Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $OA = OB$ và $\triangle AOB$ cân tại $O$: $m\angle OBA = m\angle OAB \approx 55^\circ.$ Khi đó:

Đáp án: khoảng $70^\circ.$

Gọi $ABCD$ là hình thoi có $AC = 16,$ $BD = 10,$ hai đường chéo cắt nhau tại $O.$ Hai đường chéo của hình thoi vuông góc, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và là phân giác các góc của hình thoi. Vậy $\triangle AOB$ vuông tại $O,$ $AO = 8$ và $BO = 5.$

Trong $\triangle AOB,$ $BO$ là cạnh đối của $\angle OAB,$ $AO$ là cạnh kề:

Giá trị này gần $\tan 32^\circ \approx 0.6249$ nhất, nên $m\angle OAB \approx 32^\circ.$ Đường chéo $\overline{AC}$ là phân giác của $\angle A,$ và hai góc kề một cạnh của hình thoi có tổng $180^\circ$:

Đáp án: các góc khoảng $64^\circ,$ $116^\circ,$ $64^\circ$ và $116^\circ.$

Các tam giác tạo bởi $O$ và các cạnh bằng nhau theo c.c.c (SSS) (các đoạn từ $O$ bằng nhau, các cạnh của đa giác bằng nhau), nên các góc tại $O$ bằng nhau. Mỗi tam giác đó cân tại $O,$ nên đoạn từ $O$ vuông góc với một cạnh chia đôi cạnh đó và chia đôi góc tại $O.$

Góc tại $O$ chắn một cạnh bằng $\dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ$; một nửa là $36^\circ,$ và nửa cạnh bằng $5.$ Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $OT$ và $5$:

Đáp án: $OT \approx 6.9.$

Các tam giác tạo bởi $P$ và các cạnh bằng nhau theo c.c.c (SSS) (các đoạn từ $P$ bằng nhau, các cạnh của đa giác bằng nhau), nên các góc tại $P$ bằng nhau. Mỗi tam giác đó cân tại $P,$ nên đoạn từ $P$ vuông góc với một cạnh chia đôi cạnh đó và chia đôi góc tại $P.$

Góc tại $P$ chắn một cạnh bằng $\dfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ$; một nửa là $18^\circ.$ Trong tam giác vuông có cạnh góc vuông $15$ xuất phát từ $P$ và nửa cạnh $h$:

Đáp án: chu vi khoảng $97.5.$