6.4 Special Right Triangles

QuestionCâu 1Complete the table.

$RT$	$ST$	$RS$
?	?	$11$

Hoàn thành bảng.

$RT$	$ST$	$RS$
?	?	$11$

Complete the table.

$RT$	$ST$	$RS$
?	?	$11$

Vne

Hoàn thành bảng.

$RT$	$ST$	$RS$
?	?	$11$

LessonBài giảng: Special right trianglesTam giác vuông đặc biệt

RT

RT

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

ST

ST

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 2Complete the table.

$GE$	$ME$	$GM$
?	$7$	?

Hoàn thành bảng.

$GE$	$ME$	$GM$
?	$7$	?

Complete the table.

$GE$	$ME$	$GM$
?	$7$	?

Vne

Hoàn thành bảng.

$GE$	$ME$	$GM$
?	$7$	?

LessonBài giảng: Special right trianglesTam giác vuông đặc biệt

GE

GE

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

GM

GM

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 3Complete the table.

$RS$	$ST$	$RT$	$RU$	$TU$	$SU$
?	?	?	?	$6$	?

Hoàn thành bảng.

$RS$	$ST$	$RT$	$RU$	$TU$	$SU$
?	?	?	?	$6$	?

Complete the table.

$RS$	$ST$	$RT$	$RU$	$TU$	$SU$
?	?	?	?	$6$	?

Vne

Hoàn thành bảng.

$RS$	$ST$	$RT$	$RU$	$TU$	$SU$
?	?	?	?	$6$	?

LessonBài giảng: Special triangles inside figuresTam giác đặc biệt trong các hình

ST

ST

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

SU

SU

RU

RU

RS

RS

RT

RT

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 4Complete the table.

$RS$	$ST$	$RT$	$RU$	$TU$	$SU$
$6\sqrt{3}$	?	?	?	?	?

Hoàn thành bảng.

$RS$	$ST$	$RT$	$RU$	$TU$	$SU$
$6\sqrt{3}$	?	?	?	?	?

Complete the table.

$RS$	$ST$	$RT$	$RU$	$TU$	$SU$
$6\sqrt{3}$	?	?	?	?	?

Vne

Hoàn thành bảng.

$RS$	$ST$	$RT$	$RU$	$TU$	$SU$
$6\sqrt{3}$	?	?	?	?	?

LessonBài giảng: Special triangles inside figuresTam giác đặc biệt trong các hình

SU

SU

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

RU

RU

ST

ST

TU

TU

RT

RT

Model solutionLời giải mẫu

$\triangle UST$ (right angle at $S,$ $m\angle T = 60^\circ$ ) and $\triangle RSU$ (right angle at $S,$ $m\angle R = 30^\circ$ ) are 30-60-90 triangles that share the side $\overline{SU}.$ In $\triangle UST$ the shorter leg is $ST$ ; in $\triangle RSU$ it is $SU.$ By Theorem 6-7:

\begin{aligned}6\sqrt{3} &= RS = SU\sqrt{3}\\ SU &= \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\\ RU &= 2 \cdot SU = 2 \cdot 6 = 12\\ ST &= \dfrac{SU}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\\ TU &= 2 \cdot ST = 4\sqrt{3}\\ RT &= RS + ST = 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\end{aligned}

Answer: $SU = 6,$ $RU = 12,$ $ST = 2\sqrt{3},$ $TU = 4\sqrt{3},$ $RT = 8\sqrt{3}.$

$\triangle UST$ (vuông tại $S,$ $m\angle T = 60^\circ$ ) và $\triangle RSU$ (vuông tại $S,$ $m\angle R = 30^\circ$ ) là hai tam giác 30-60-90 có chung cạnh $\overline{SU}.$ Trong $\triangle UST$ cạnh ngắn là $ST$ ; trong $\triangle RSU$ cạnh ngắn là $SU.$ Theo Định lí 6-7:

\begin{aligned}6\sqrt{3} &= RS = SU\sqrt{3}\\ SU &= \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\\ RU &= 2 \cdot SU = 2 \cdot 6 = 12\\ ST &= \dfrac{SU}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\\ TU &= 2 \cdot ST = 4\sqrt{3}\\ RT &= RS + ST = 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\end{aligned}

Đáp án: $SU = 6,$ $RU = 12,$ $ST = 2\sqrt{3},$ $TU = 4\sqrt{3},$ $RT = 8\sqrt{3}.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 5A rhombus has a

60^\circ

angle and a

14

cm side. How long are the diagonals?Một hình thoi có một góc

60^\circ

và cạnh dài

14

cm. Hai đường chéo dài bao nhiêu?

A rhombus has a $60^\circ$ angle and a $14$ cm side. How long are the diagonals?

Vne

Một hình thoi có một góc $60^\circ$ và cạnh dài $14$ cm. Hai đường chéo dài bao nhiêu?

LessonBài giảng: Special triangles inside figuresTam giác đặc biệt trong các hình, Special right trianglesTam giác vuông đặc biệt

Shorter diagonal (cm)Đường chéo ngắn (cm)

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

Longer diagonal (cm)Đường chéo dài (cm)

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 6The figure is a trapezoid. Find

WX.

Hình bên là hình thang. Tìm

WX.

The figure is a trapezoid. Find $WX.$

Vne

Hình bên là hình thang. Tìm $WX.$

LessonBài giảng: Special triangles inside figuresTam giác đặc biệt trong các hình, Special right trianglesTam giác vuông đặc biệt

WX

WX

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

Model solutionLời giải mẫu

Draw the altitudes $\overline{ZH}$ and $\overline{YK}$ to line $WX.$ $ZHKY$ is a rectangle, so $HK = ZY = 8$ and $ZH = YK.$

$\overline{ZY} \parallel \overline{WX},$ so $m\angle WXY = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ and $m\angle YXK = 60^\circ.$ $\triangle XKY$ is 30-60-90 with hypotenuse $YX = 6$ ; by Theorem 6-7:

\begin{aligned}XK &= \dfrac{YX}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\\ YK &= XK\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\end{aligned}

$\triangle WHZ$ is 45-45-90 with leg $ZH = YK = 3\sqrt{3},$ so $WH = ZH = 3\sqrt{3}$ (Theorem 6-6). Then:

\begin{aligned}WX &= WH + HK - XK = 3\sqrt{3} + 8 - 3 = 5 + 3\sqrt{3}\end{aligned}

Answer: $WX = 5 + 3\sqrt{3}.$

Vẽ các đường cao $\overline{ZH}$ và $\overline{YK}$ xuống đường thẳng $WX.$ $ZHKY$ là hình chữ nhật nên $HK = ZY = 8$ và $ZH = YK.$

Vì $\overline{ZY} \parallel \overline{WX}$ nên $m\angle WXY = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ và $m\angle YXK = 60^\circ.$ $\triangle XKY$ là tam giác 30-60-90 có cạnh huyền $YX = 6$ ; theo Định lí 6-7:

\begin{aligned}XK &= \dfrac{YX}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\\ YK &= XK\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\end{aligned}

$\triangle WHZ$ là tam giác 45-45-90 có cạnh góc vuông $ZH = YK = 3\sqrt{3},$ nên $WH = ZH = 3\sqrt{3}$ (Định lí 6-6). Khi đó:

\begin{aligned}WX &= WH + HK - XK = 3\sqrt{3} + 8 - 3 = 5 + 3\sqrt{3}\end{aligned}

Đáp án: $WX = 5 + 3\sqrt{3}.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 7The corners are cut off a

10

cm square to form a regular octagon. Find the value of

x.

Cắt bỏ các góc của một hình vuông cạnh

10

cm để được một bát giác đều. Tìm giá trị của

x.

The corners are cut off a $10$ cm square to form a regular octagon. Find the value of $x.$

Vne

Cắt bỏ các góc của một hình vuông cạnh $10$ cm để được một bát giác đều. Tìm giá trị của $x.$

LessonBài giảng: Special triangles in a regular octagonTam giác đặc biệt trong bát giác đều

x

x

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 8Each side of a regular octagon is

6

cm long.

A

and

B

are midpoints of two directly opposite sides. Find

AB.

Mỗi cạnh của một bát giác đều dài

6

cm.

A

và

B

là trung điểm của hai cạnh đối diện nhau. Tìm

AB.

Each side of a regular octagon is $6$ cm long. $A$ and $B$ are midpoints of two directly opposite sides. Find $AB.$

Vne

Mỗi cạnh của một bát giác đều dài $6$ cm. $A$ và $B$ là trung điểm của hai cạnh đối diện nhau. Tìm $AB.$

LessonBài giảng: Special triangles in a regular octagonTam giác đặc biệt trong bát giác đều

AB

(cm)

AB

(cm)

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

6.4 Special Right Triangles Tam giác vuông đặc biệt

A special right triangleMột tam giác vuông đặc biệt

Two triangles sharing a sideHai tam giác chung một cạnh

Special triangles inside a figureTam giác đặc biệt trong một hình

A regular octagonBát giác đều