6.1 Geometric Means · Exercises

QuestionCâu 1The diagram shows a right triangle with the altitude drawn to the hypotenuse. Find the values of

x,

y

and

z.

Hình vẽ cho một tam giác vuông với đường cao kẻ tới cạnh huyền. Tìm giá trị của

x,

y

và

z.

The diagram shows a right triangle with the altitude drawn to the hypotenuse. Find the values of $x,$ $y$ and $z.$

Vne

Hình vẽ cho một tam giác vuông với đường cao kẻ tới cạnh huyền. Tìm giá trị của $x,$ $y$ và $z.$

LessonBài giảng: Altitude to the hypotenuseĐường cao ứng với cạnh huyền, Simplest form of a radicalDạng đơn giản nhất của căn thức

x

x

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

y

y

z

z

Model solutionLời giải mẫu

In right $\triangle ABC$ (right angle at $C$ ) let $h = CH,$ $c_1 = AH,$ $c_2 = HB,$ $c = AB = c_1 + c_2,$ $b = AC$ and $a = BC.$ Here $c_1 = 4$ and $c_2 = 12.$

Corollary 1 gives the altitude $x = h$ :

\begin{aligned}h^2 &= c_1 \cdot c_2 = 4 \cdot 12 = 48\\ x = h &= \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\end{aligned}

The hypotenuse is $c = c_1 + c_2 = 4 + 12 = 16.$ Corollary 2 gives the legs $y = b$ and $z = a$ :

\begin{aligned}b^2 &= c \cdot c_1 = 16 \cdot 4 = 64\\ y = b &= \sqrt{64} = 8\\ a^2 &= c \cdot c_2 = 16 \cdot 12 = 192\\ z = a &= \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}\end{aligned}

Answer: $x = 4\sqrt{3},$ $y = 8,$ $z = 8\sqrt{3}.$

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $C,$ đặt $h = CH,$ $c_1 = AH,$ $c_2 = HB,$ $c = AB = c_1 + c_2,$ $b = AC$ và $a = BC.$ Ở đây $c_1 = 4$ và $c_2 = 12.$

Hệ quả 1 cho đường cao $x = h$ :

\begin{aligned}h^2 &= c_1 \cdot c_2 = 4 \cdot 12 = 48\\ x = h &= \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\end{aligned}

Cạnh huyền là $c = c_1 + c_2 = 4 + 12 = 16.$ Hệ quả 2 cho các cạnh góc vuông $y = b$ và $z = a$ :

\begin{aligned}b^2 &= c \cdot c_1 = 16 \cdot 4 = 64\\ y = b &= \sqrt{64} = 8\\ a^2 &= c \cdot c_2 = 16 \cdot 12 = 192\\ z = a &= \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}\end{aligned}

Đáp án: $x = 4\sqrt{3},$ $y = 8,$ $z = 8\sqrt{3}.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 2The diagram shows a right triangle with the altitude drawn to the hypotenuse. Find the values of

x,

y

and

z.

Hình vẽ cho một tam giác vuông với đường cao kẻ tới cạnh huyền. Tìm giá trị của

x,

y

và

z.

The diagram shows a right triangle with the altitude drawn to the hypotenuse. Find the values of $x,$ $y$ and $z.$

Vne

Hình vẽ cho một tam giác vuông với đường cao kẻ tới cạnh huyền. Tìm giá trị của $x,$ $y$ và $z.$

LessonBài giảng: Altitude to the hypotenuseĐường cao ứng với cạnh huyền

x

x

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

y

y

z

z

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 3The diagram shows a right triangle with the altitude drawn to the hypotenuse. Find the values of

x,

y

and

z.

Hình vẽ cho một tam giác vuông với đường cao kẻ tới cạnh huyền. Tìm giá trị của

x,

y

và

z.

The diagram shows a right triangle with the altitude drawn to the hypotenuse. Find the values of $x,$ $y$ and $z.$

Vne

Hình vẽ cho một tam giác vuông với đường cao kẻ tới cạnh huyền. Tìm giá trị của $x,$ $y$ và $z.$

LessonBài giảng: Altitude to the hypotenuseĐường cao ứng với cạnh huyền, Simplest form of a radicalDạng đơn giản nhất của căn thức

x

x

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

y

y

z

z

Model solutionLời giải mẫu

In right $\triangle ABC$ (right angle at $C$ ) let $h = CH,$ $c_1 = AH,$ $c_2 = HB,$ $c = AB = c_1 + c_2,$ $b = AC$ and $a = BC.$ Here $b = 6$ and $c_1 = 4.$

Corollary 2, $b^2 = c \cdot c_1,$ gives the hypotenuse $x = c$ :

\begin{aligned}x = c &= \dfrac{b^2}{c_1} = \dfrac{6^2}{4} = 9\end{aligned}

Then $c_2 = c - c_1 = 9 - 4 = 5.$ Corollary 1 gives $y = h$ :

\begin{aligned}h^2 &= c_1 \cdot c_2 = 4 \cdot 5 = 20\\ y = h &= \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\end{aligned}

Corollary 2 gives $z = a$ :

\begin{aligned}a^2 &= c \cdot c_2 = 9 \cdot 5 = 45\\ z = a &= \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\end{aligned}

Answer: $x = 9,$ $y = 2\sqrt{5},$ $z = 3\sqrt{5}.$

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $C,$ đặt $h = CH,$ $c_1 = AH,$ $c_2 = HB,$ $c = AB = c_1 + c_2,$ $b = AC$ và $a = BC.$ Ở đây $b = 6$ và $c_1 = 4.$

Hệ quả 2, $b^2 = c \cdot c_1,$ cho cạnh huyền $x = c$ :

\begin{aligned}x = c &= \dfrac{b^2}{c_1} = \dfrac{6^2}{4} = 9\end{aligned}

Suy ra $c_2 = c - c_1 = 9 - 4 = 5.$ Hệ quả 1 cho $y = h$ :

\begin{aligned}h^2 &= c_1 \cdot c_2 = 4 \cdot 5 = 20\\ y = h &= \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\end{aligned}

Hệ quả 2 cho $z = a$ :

\begin{aligned}a^2 &= c \cdot c_2 = 9 \cdot 5 = 45\\ z = a &= \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\end{aligned}

Đáp án: $x = 9,$ $y = 2\sqrt{5},$ $z = 3\sqrt{5}.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 4The diagram shows a right triangle with the altitude drawn to the hypotenuse. Find the values of

x,

y

and

z.

Hình vẽ cho một tam giác vuông với đường cao kẻ tới cạnh huyền. Tìm giá trị của

x,

y

và

z.

The diagram shows a right triangle with the altitude drawn to the hypotenuse. Find the values of $x,$ $y$ and $z.$

Vne

Hình vẽ cho một tam giác vuông với đường cao kẻ tới cạnh huyền. Tìm giá trị của $x,$ $y$ và $z.$

LessonBài giảng: Altitude to the hypotenuseĐường cao ứng với cạnh huyền

x

x

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

y

y

z

z

Model solutionLời giải mẫu

In right $\triangle ABC$ (right angle at $C$ ) let $h = CH,$ $c_1 = AH,$ $c_2 = HB,$ $c = AB = c_1 + c_2,$ $b = AC$ and $a = BC.$ Here $b = 12$ and $c = 20.$

Corollary 2, $b^2 = c \cdot c_1,$ gives $x = c_1$ :

\begin{aligned}x = c_1 &= \dfrac{b^2}{c} = \dfrac{12^2}{20} = 7.2\end{aligned}

Then $c_2 = c - c_1 = 20 - 7.2 = 12.8.$ Corollary 1 gives $y = h$ :

\begin{aligned}h^2 &= c_1 \cdot c_2 = 7.2 \cdot 12.8 = 92.16\\ y = h &= \sqrt{92.16} = 9.6\end{aligned}

Corollary 2 gives $z = a$ :

\begin{aligned}a^2 &= c \cdot c_2 = 20 \cdot 12.8 = 256\\ z = a &= \sqrt{256} = 16\end{aligned}

Answer: $x = 7.2,$ $y = 9.6,$ $z = 16.$

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $C,$ đặt $h = CH,$ $c_1 = AH,$ $c_2 = HB,$ $c = AB = c_1 + c_2,$ $b = AC$ và $a = BC.$ Ở đây $b = 12$ và $c = 20.$

Hệ quả 2, $b^2 = c \cdot c_1,$ cho $x = c_1$ :

\begin{aligned}x = c_1 &= \dfrac{b^2}{c} = \dfrac{12^2}{20} = 7.2\end{aligned}

Suy ra $c_2 = c - c_1 = 20 - 7.2 = 12.8.$ Hệ quả 1 cho $y = h$ :

\begin{aligned}h^2 &= c_1 \cdot c_2 = 7.2 \cdot 12.8 = 92.16\\ y = h &= \sqrt{92.16} = 9.6\end{aligned}

Hệ quả 2 cho $z = a$ :

\begin{aligned}a^2 &= c \cdot c_2 = 20 \cdot 12.8 = 256\\ z = a &= \sqrt{256} = 16\end{aligned}

Đáp án: $x = 7.2,$ $y = 9.6,$ $z = 16.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 5In the diagram,

\overline{CH}

is the altitude to the hypotenuse of right

\triangle ABC

and

\overline{HK}

is the altitude to the hypotenuse of right

\triangle CHB.

Find the values of

x,

y

and

z.

Trên hình,

\overline{CH}

là đường cao ứng với cạnh huyền của

\triangle ABC

vuông và

\overline{HK}

là đường cao ứng với cạnh huyền của

\triangle CHB

vuông. Tìm giá trị của

x,

y

và

z.

In the diagram, $\overline{CH}$ is the altitude to the hypotenuse of right $\triangle ABC$ and $\overline{HK}$ is the altitude to the hypotenuse of right $\triangle CHB.$ Find the values of $x,$ $y$ and $z.$

Vne

Trên hình, $\overline{CH}$ là đường cao ứng với cạnh huyền của $\triangle ABC$ vuông và $\overline{HK}$ là đường cao ứng với cạnh huyền của $\triangle CHB$ vuông. Tìm giá trị của $x,$ $y$ và $z.$

LessonBài giảng: A second altitude, and proofsĐường cao thứ hai và chứng minh

x

x

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

y

y

z

z

Model solutionLời giải mẫu

In right $\triangle ABC$ (right angle at $C$ ) let $h = CH,$ $c_1 = AH,$ $c_2 = HB,$ $c = AB = c_1 + c_2,$ $b = AC$ and $a = BC.$ Here $c_1 = 4.5$ and $c_2 = 8,$ so $c = c_1 + c_2 = 4.5 + 8 = 12.5.$

Corollary 1 gives $x = h$ :

\begin{aligned}h^2 &= c_1 \cdot c_2 = 4.5 \cdot 8 = 36\\ x = h &= \sqrt{36} = 6\end{aligned}

Corollary 2 gives $y = a = CB$ :

\begin{aligned}a^2 &= c \cdot c_2 = 12.5 \cdot 8 = 100\\ y = a &= \sqrt{100} = 10\end{aligned}

In right $\triangle CHB$ (right angle at $H$ ) the segment $\overline{HK}$ is the altitude to the hypotenuse $\overline{CB}.$ Its legs are $CH$ and $HB,$ and $CB = CK + KB.$ Corollary 2 in $\triangle CHB$ gives $CK,$ and then $KB$ :

\begin{aligned}CK &= \dfrac{CH^2}{CB} = \dfrac{6^2}{10} = 3.6\\ KB &= CB - CK = 10 - 3.6 = 6.4\end{aligned}

Corollary 1 in $\triangle CHB$ gives $z = HK$ :

\begin{aligned}HK^2 &= CK \cdot KB = 3.6 \cdot 6.4 = 23.04\\ z = HK &= \sqrt{23.04} = 4.8\end{aligned}

Answer: $x = 6,$ $y = 10,$ $z = 4.8.$

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $C,$ đặt $h = CH,$ $c_1 = AH,$ $c_2 = HB,$ $c = AB = c_1 + c_2,$ $b = AC$ và $a = BC.$ Ở đây $c_1 = 4.5$ và $c_2 = 8,$ nên $c = c_1 + c_2 = 4.5 + 8 = 12.5.$

Hệ quả 1 cho $x = h$ :

\begin{aligned}h^2 &= c_1 \cdot c_2 = 4.5 \cdot 8 = 36\\ x = h &= \sqrt{36} = 6\end{aligned}

Hệ quả 2 cho $y = a = CB$ :

\begin{aligned}a^2 &= c \cdot c_2 = 12.5 \cdot 8 = 100\\ y = a &= \sqrt{100} = 10\end{aligned}

Trong $\triangle CHB$ vuông tại $H,$ đoạn $\overline{HK}$ là đường cao ứng với cạnh huyền $\overline{CB}.$ Các cạnh góc vuông là $CH$ và $HB,$ và $CB = CK + KB.$ Hệ quả 2 trong $\triangle CHB$ cho $CK,$ rồi suy ra $KB$ :

\begin{aligned}CK &= \dfrac{CH^2}{CB} = \dfrac{6^2}{10} = 3.6\\ KB &= CB - CK = 10 - 3.6 = 6.4\end{aligned}

Hệ quả 1 trong $\triangle CHB$ cho $z = HK$ :

\begin{aligned}HK^2 &= CK \cdot KB = 3.6 \cdot 6.4 = 23.04\\ z = HK &= \sqrt{23.04} = 4.8\end{aligned}

Đáp án: $x = 6,$ $y = 10,$ $z = 4.8.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 6In the diagram,

\overline{CH}

is the altitude to the hypotenuse of right

\triangle ABC

and

\overline{HK}

is the altitude to the hypotenuse of right

\triangle CHB.

Find the values of

x,

y

and

z.

Trên hình,

\overline{CH}

là đường cao ứng với cạnh huyền của

\triangle ABC

vuông và

\overline{HK}

là đường cao ứng với cạnh huyền của

\triangle CHB

vuông. Tìm giá trị của

x,

y

và

z.

In the diagram, $\overline{CH}$ is the altitude to the hypotenuse of right $\triangle ABC$ and $\overline{HK}$ is the altitude to the hypotenuse of right $\triangle CHB.$ Find the values of $x,$ $y$ and $z.$

Vne

Trên hình, $\overline{CH}$ là đường cao ứng với cạnh huyền của $\triangle ABC$ vuông và $\overline{HK}$ là đường cao ứng với cạnh huyền của $\triangle CHB$ vuông. Tìm giá trị của $x,$ $y$ và $z.$

LessonBài giảng: A second altitude, and proofsĐường cao thứ hai và chứng minh

x

x

Enter the exact value in simplest form: a whole number, a decimal, a fraction in lowest terms, or a root such as

3\sqrt{5}

(use the √ key of the keyboard).Nhập giá trị chính xác ở dạng đơn giản nhất: số nguyên, số thập phân, phân số tối giản hoặc căn như

3\sqrt{5}

(dùng phím √ của bàn phím).

y

y

z

z

Model solutionLời giải mẫu

In right $\triangle CHB$ (right angle at $H$ ) the segment $\overline{HK}$ is the altitude to the hypotenuse $\overline{CB}.$ Its legs are $CH$ and $HB,$ and $CB = CK + KB.$ Here $CK = 2$ and $KB = 6,$ so $CB = CK + KB = 2 + 6 = 8.$

Corollary 2 in $\triangle CHB$ gives the legs $x = CH$ and $y = HB$ :

\begin{aligned}CH^2 &= CB \cdot CK = 8 \cdot 2 = 16\\ x = CH &= \sqrt{16} = 4\\ HB^2 &= CB \cdot KB = 8 \cdot 6 = 48\\ y = HB &= \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\end{aligned}

Now use right $\triangle ABC$ (right angle at $C$ ), where $CH$ is the altitude to the hypotenuse $\overline{AB},$ with $h = CH = 4,$ $c_1 = AH$ and $c_2 = HB = 4\sqrt{3}.$

Corollary 1, $h^2 = c_1 \cdot c_2,$ gives $z = c_1$ :

\begin{aligned}z = c_1 &= \dfrac{h^2}{c_2} = \dfrac{16}{4\sqrt{3}} = \dfrac{4}{\sqrt{3}}\\ &= \dfrac{4}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\end{aligned}

Answer: $x = 4,$ $y = 4\sqrt{3},$ $z = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$

Trong $\triangle CHB$ vuông tại $H,$ đoạn $\overline{HK}$ là đường cao ứng với cạnh huyền $\overline{CB}.$ Các cạnh góc vuông là $CH$ và $HB,$ và $CB = CK + KB.$ Ở đây $CK = 2$ và $KB = 6,$ nên $CB = CK + KB = 2 + 6 = 8.$

Hệ quả 2 trong $\triangle CHB$ cho các cạnh góc vuông $x = CH$ và $y = HB$ :

\begin{aligned}CH^2 &= CB \cdot CK = 8 \cdot 2 = 16\\ x = CH &= \sqrt{16} = 4\\ HB^2 &= CB \cdot KB = 8 \cdot 6 = 48\\ y = HB &= \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\end{aligned}

Bây giờ dùng $\triangle ABC$ vuông tại $C,$ có $CH$ là đường cao ứng với cạnh huyền $\overline{AB},$ với $h = CH = 4,$ $c_1 = AH$ và $c_2 = HB = 4\sqrt{3}.$

Hệ quả 1, $h^2 = c_1 \cdot c_2,$ cho $z = c_1$ :

\begin{aligned}z = c_1 &= \dfrac{h^2}{c_2} = \dfrac{16}{4\sqrt{3}} = \dfrac{4}{\sqrt{3}}\\ &= \dfrac{4}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\end{aligned}

Đáp án: $x = 4,$ $y = 4\sqrt{3},$ $z = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 7Prove: In a right triangle, the product of the hypotenuse and the altitude drawn to the hypotenuse is equal to the product of the two legs.Chứng minh: Trong một tam giác vuông, tích của cạnh huyền và đường cao kẻ tới cạnh huyền bằng tích của hai cạnh góc vuông.

Prove: In a right triangle, the product of the hypotenuse and the altitude drawn to the hypotenuse is equal to the product of the two legs.

Vne

Chứng minh: Trong một tam giác vuông, tích của cạnh huyền và đường cao kẻ tới cạnh huyền bằng tích của hai cạnh góc vuông.

LessonBài giảng: Altitude to the hypotenuseĐường cao ứng với cạnh huyền, A second altitude, and proofsĐường cao thứ hai và chứng minh

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 8The arithmetic mean between two numbers

r

and

s

is defined to be the number

\dfrac{r + s}{2}.

a.

\overline{CM}

is the median and

\overline{CH}

is the altitude to the hypotenuse of right

\triangle ABC.

Show that

CM

is the arithmetic mean between

AH

and

BH

and that

CH

is the geometric mean between

AH

and

BH.

Then use the diagram to show that the arithmetic mean is greater than the geometric mean. Given that the midpoint

M

of the hypotenuse is equally distant from

A,

B

and

C,

so

CM = \dfrac{1}{2}AB.

b. Show algebraically that the arithmetic mean between two different numbers

r

and

s

is greater than the geometric mean. (Hint: The geometric mean is

\sqrt{rs}.

Work from

\dfrac{r + s}{2} > \sqrt{rs}

to

(r - s)^2 > 0

and then reverse the steps.)Trung bình cộng của hai số

r

và

s

được định nghĩa là số

\dfrac{r + s}{2}.

a.

\overline{CM}

là đường trung tuyến và

\overline{CH}

là đường cao ứng với cạnh huyền của

\triangle ABC

vuông. Chứng tỏ rằng

CM

là trung bình cộng của

AH

và

BH,

còn

CH

là trung bình nhân của

AH

và

BH.

Sau đó dùng hình vẽ để chứng tỏ trung bình cộng lớn hơn trung bình nhân. Biết rằng trung điểm

M

của cạnh huyền cách đều

A,

B

và

C,

nên

CM = \dfrac{1}{2}AB.

b. Chứng tỏ bằng đại số rằng trung bình cộng của hai số dương khác nhau

r

và

s

lớn hơn trung bình nhân của chúng. (Gợi ý: Trung bình nhân là

\sqrt{rs}.

Biến đổi từ

\dfrac{r + s}{2} > \sqrt{rs}

về

(r - s)^2 > 0

rồi đi ngược lại các bước.)

The arithmetic mean between two numbers $r$ and $s$ is defined to be the number $\dfrac{r + s}{2}.$

a. $\overline{CM}$ is the median and $\overline{CH}$ is the altitude to the hypotenuse of right $\triangle ABC.$ Show that $CM$ is the arithmetic mean between $AH$ and $BH$ and that $CH$ is the geometric mean between $AH$ and $BH.$ Then use the diagram to show that the arithmetic mean is greater than the geometric mean. Given that the midpoint $M$ of the hypotenuse is equally distant from $A,$ $B$ and $C,$ so $CM = \dfrac{1}{2}AB.$

b. Show algebraically that the arithmetic mean between two different numbers $r$ and $s$ is greater than the geometric mean. (Hint: The geometric mean is $\sqrt{rs}.$ Work from $\dfrac{r + s}{2} > \sqrt{rs}$ to $(r - s)^2 > 0$ and then reverse the steps.)

Vne

Trung bình cộng của hai số $r$ và $s$ được định nghĩa là số $\dfrac{r + s}{2}.$

a. $\overline{CM}$ là đường trung tuyến và $\overline{CH}$ là đường cao ứng với cạnh huyền của $\triangle ABC$ vuông. Chứng tỏ rằng $CM$ là trung bình cộng của $AH$ và $BH,$ còn $CH$ là trung bình nhân của $AH$ và $BH.$ Sau đó dùng hình vẽ để chứng tỏ trung bình cộng lớn hơn trung bình nhân. Biết rằng trung điểm $M$ của cạnh huyền cách đều $A,$ $B$ và $C,$ nên $CM = \dfrac{1}{2}AB.$

b. Chứng tỏ bằng đại số rằng trung bình cộng của hai số dương khác nhau $r$ và $s$ lớn hơn trung bình nhân của chúng. (Gợi ý: Trung bình nhân là $\sqrt{rs}.$ Biến đổi từ $\dfrac{r + s}{2} > \sqrt{rs}$ về $(r - s)^2 > 0$ rồi đi ngược lại các bước.)

LessonBài giảng: Altitude to the hypotenuseĐường cao ứng với cạnh huyền, A second altitude, and proofsĐường cao thứ hai và chứng minh

Model solutionLời giải mẫu

a. Let $c_1 = AH$ and $c_2 = BH,$ so $AB = c_1 + c_2.$

1. $CM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{c_1 + c_2}{2}$ (given), so $CM$ is the arithmetic mean between $AH$ and $BH.$

2. $CH^2 = c_1 \cdot c_2$ by Corollary 1, so $CH = \sqrt{c_1 \cdot c_2}$ is the geometric mean between $AH$ and $BH.$

3. When $AH \neq BH,$ the point $M$ is not $H,$ and $\triangle CHM$ has a right angle at $H.$ The right angle is its largest angle, so the side opposite it is the longest: $CM > CH.$ Hence $\dfrac{c_1 + c_2}{2} > \sqrt{c_1 \cdot c_2}.$

b. Let $r$ and $s$ be different positive numbers. Then $r - s \neq 0,$ so $(r - s)^2 > 0.$

Expanding: $r^2 - 2rs + s^2 > 0.$ Adding $4rs$ to both sides: $r^2 + 2rs + s^2 > 4rs,$ that is $(r + s)^2 > 4rs.$

Both $r + s$ and $2\sqrt{rs}$ are positive, so taking square roots gives $r + s > 2\sqrt{rs},$ and dividing by $2$ : $\dfrac{r + s}{2} > \sqrt{rs}.$

a. Đặt $c_1 = AH$ và $c_2 = BH,$ nên $AB = c_1 + c_2.$

1. $CM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{c_1 + c_2}{2}$ (giả thiết), nên $CM$ là trung bình cộng của $AH$ và $BH.$

2. $CH^2 = c_1 \cdot c_2$ theo Hệ quả 1, nên $CH = \sqrt{c_1 \cdot c_2}$ là trung bình nhân của $AH$ và $BH.$

3. Khi $AH \neq BH,$ điểm $M$ không trùng $H$ và $\triangle CHM$ vuông tại $H.$ Góc vuông là góc lớn nhất của tam giác nên cạnh đối diện nó dài nhất: $CM > CH.$ Vậy $\dfrac{c_1 + c_2}{2} > \sqrt{c_1 \cdot c_2}.$

b. Cho $r$ và $s$ là hai số dương khác nhau. Khi đó $r - s \neq 0$ nên $(r - s)^2 > 0.$

Khai triển: $r^2 - 2rs + s^2 > 0.$ Cộng $4rs$ vào hai vế: $r^2 + 2rs + s^2 > 4rs,$ tức là $(r + s)^2 > 4rs.$

Vì $r + s$ và $2\sqrt{rs}$ đều dương nên lấy căn hai vế được $r + s > 2\sqrt{rs},$ rồi chia cho $2$ : $\dfrac{r + s}{2} > \sqrt{rs}.$

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

6.1 Geometric Means Trung bình nhân hình học

Corollary 1 · The altitudeHệ quả 1 · Đường cao

Corollary 2 · The legsHệ quả 2 · Cạnh góc vuông

Two altitudes: the corollaries againHai đường cao: dùng lại các hệ quả

A proof about a right triangleChứng minh về tam giác vuông