AP CalculusLessonBài giảng 0.2 Functions and GraphsHàm số và đồ thị 0.1 0.3

0.2 Functions and Graphs Hàm số và đồ thị

1Functions

Hàm số

Section 0.1 already used some function language. It linked lines in the coordinate plane to their equations, which are linear functions. Here we go through more of the vocabulary of functions and graphs, so these words feel familiar in later chapters.

Vne

Mục 0.1 đã dùng một ít ngôn ngữ hàm số. Mục đó liên kết các đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ với phương trình của chúng, tức là các hàm số tuyến tính. Mục này đi qua thêm các thuật ngữ về hàm số và đồ thị, để các chương sau bạn thấy quen thuộc.

Definition · Function

A function from a set $D$ to a set $R$ is a rule that gives every element of $D$ exactly one element of $R$ .

The inputs, all the values in $D$ , make up the domain. The outputs, all the values in $R$ that come out, make up the range.

We write $f(x)$ for the output that $f$ gives to the input $x$ ; this is function notation. The points $(x, y)$ in the coordinate plane with $y = f(x)$ form the graph of $f$ . Here $x$ is the independent variable and $y$ is the dependent variable.

Vne

Định nghĩa · Hàm số

Hàm số từ tập $D$ đến tập $R$ là một quy tắc gán mỗi phần tử của $D$ với đúng một phần tử của $R$ .

Các giá trị đầu vào, tức mọi giá trị trong $D$ , tạo thành tập xác định (domain). Các giá trị đầu ra, tức mọi giá trị trong $R$ thực sự nhận được, tạo thành tập giá trị (range).

Ta viết $f(x)$ cho giá trị đầu ra mà $f$ gán cho đầu vào $x$ ; đó là ký hiệu hàm số. Các điểm $(x, y)$ trong mặt phẳng tọa độ thỏa $y = f(x)$ tạo thành đồ thị của $f$ . Ở đây $x$ là biến độc lập và $y$ là biến phụ thuộc.

In this course, nearly every function takes real numbers (such as $3$ , $-1.5$ , $\sqrt{2}$ ) to real numbers. You could call the course the calculus of real functions of one real variable. So the domain and the range are subsets of the real numbers. Each is a part of the real numbers, such as all numbers from 0 to 1, and not always all of them.

Vne

Trong khóa học này, gần như mọi hàm số đều đi từ số thực (như $3$ , $-1.5$ , $\sqrt{2}$ ) đến số thực. Có thể gọi khóa học là giải tích của các hàm số thực một biến thực. Vì vậy, tập xác định và tập giá trị là các tập con của tập số thực. Mỗi tập chỉ là một phần của tập số thực, chẳng hạn mọi số từ 0 đến 1, và không phải lúc nào cũng là toàn bộ.

A function as a machine

Think of $f$ as a machine (Figure 0.6): put in a value $x$ and one value $f(x)$ comes out. So each $x$ has exactly one matching $f(x)$ . The reverse need not hold: one value of $f(x)$ can come from several inputs $x_1, x_2, x_3, \dots$ (Figure 0.7(a)).

Vne

Hàm số như một cỗ máy

Hình dung $f$ là một cỗ máy (Hình 0.6): đưa vào một giá trị $x$ thì ra một giá trị $f(x)$ . Nghĩa là mỗi giá trị $x$ có đúng một giá trị $f(x)$ tương ứng. Ngược lại, một giá trị $f(x)$ có thể do nhiều giá trị $x_1, x_2, x_3, \dots$ cùng cho ra (Hình 0.7(a)).

Figure 0.6 · A function as a machine: input x, output f(x)

Vne

Hình 0.6 · Hàm số như một cỗ máy: đầu vào

x

, đầu ra

f(x)

Figure 0.7 · Pairing

D

with

R

Each diagram pairs elements of a set $D$ with elements of a set $R$ . One diagram is a function, the other is not.

Vne

Hình 0.7 · Ghép

D

với

R

Mỗi sơ đồ ghép các phần tử của tập $D$ với các phần tử của tập $R$ . Một sơ đồ là hàm số, sơ đồ kia thì không.

(a) A function. Every element of $D$ has exactly one arrow, so it gets exactly one value in $R$ . Different elements of $D$ may reach the same element of $R$ .

Vne

(a) Là hàm số. Mỗi phần tử của $D$ có đúng một mũi tên, nên ứng với đúng một giá trị trong $R$ . Nhiều phần tử của $D$ có thể cùng đến một phần tử của $R$ .

Figure 0.7(a) · A function from

D

R

Vne

Hình 0.7(a) · Hàm số từ

D

đến

R

(b) Not a function. One element of $D$ has two arrows, so it would get two values in $R$ .

Vne

(b) Không phải hàm số. Một phần tử của $D$ có hai mũi tên, tức ứng với hai giá trị trong $R$ .

Figure 0.7(b) · Not a function

Vne

Hình 0.7(b) · Không phải hàm số.

Function notation

Euler introduced a symbolic way to say “ $y$ is a function of $x$ ”:

y = f(x)

read “ $y$ equals $f$ of $x$ ”.

With this notation we can name different functions by changing the letters:

the boiling point $b$ of water as a function of the elevation $e$ is written $b = f(e)$ ;
the area of a circle as a function of its radius $r$ is written $A = A(r)$ . The function takes the letter of its output, $A$ .

The notation $y = f(x)$ also lets us write specific values: the value of $f$ at $a$ is $f(a)$ , read “ $f$ of $a$ ”.

Vne

Ký hiệu hàm số

Euler đưa ra một cách ký hiệu để viết “ $y$ là hàm số của $x$ ”:

y = f(x)

đọc là “ $y$ bằng $f$ của $x$ ”.

Nhờ ký hiệu này, ta đặt được tên khác nhau cho các hàm số bằng cách đổi chữ cái:

nhiệt độ sôi $b$ của nước là hàm số của độ cao $e$ được viết $b = f(e)$ ;
diện tích hình tròn là hàm số của bán kính $r$ được viết $A = A(r)$ , ở đây hàm số được đặt tên theo đại lượng đầu ra là $A$ .

Ký hiệu $y = f(x)$ còn cho phép viết các giá trị cụ thể: giá trị của $f$ tại $a$ là $f(a)$ , đọc là “ $f$ của $a$ ”.

Example 1Circle area from the radius

Write a formula that gives the area of a circle as a function of its radius. Then use it to find the area of a circle of radius $5$ cm.

If the radius is $r$ , the area $A(r)$ is given by

A(r) = \pi r^2.

To find the area for radius $5$ cm, evaluate the function at $r = 5$ :

A(5) = \pi (5)^2 = 25\pi.

The area of a circle of radius $5$ cm is $25\pi$ square centimeters.

Vne

Ví dụ 1Diện tích hình tròn theo bán kính

Viết công thức cho diện tích hình tròn như một hàm số của bán kính. Sau đó dùng công thức để tính diện tích hình tròn bán kính $5$ cm.

Nếu bán kính là $r$ thì diện tích $A(r)$ được cho bởi

A(r) = \pi r^2.

Để tìm diện tích khi bán kính bằng $5$ cm, tính giá trị của hàm số tại $r = 5$ :

A(5) = \pi (5)^2 = 25\pi.

Diện tích hình tròn bán kính $5$ cm là $25\pi$ xăng-ti-mét vuông.

2Domains and Ranges

Tập xác định và tập giá trị

We often define a function with an equation, such as $y = x^2 + 3$ . We then take $y$ to be a function of $x$ , with $x$ the independent variable and $y$ the dependent variable.

Vne

Ta thường xác định một hàm số bằng một phương trình, chẳng hạn $y = x^2 + 3$ . Khi đó ta hiểu $y$ là hàm số của $x$ , trong đó $x$ là biến độc lập và $y$ là biến phụ thuộc.

Definition · Implied domain and relevant domain

If a formula is given and the domain is neither stated nor limited by context, the domain is the largest set of $x$ values for which the formula gives real $y$ values. This is the implied domain.

Sometimes the context limits the domain. In the circle-area function $A(r) = \pi r^2$ of Example 1, $r$ is a radius, so it cannot be negative. A domain restricted by context is the relevant domain.

Vne

Định nghĩa · Tập xác định ngầm định và tập xác định theo ngữ cảnh

Nếu cho một công thức mà tập xác định không được nêu và cũng không bị ngữ cảnh hạn chế, thì tập xác định là tập lớn nhất các giá trị $x$ để công thức cho giá trị $y$ thực. Đây là tập xác định ngầm định (implied domain).

Đôi khi ngữ cảnh hạn chế tập xác định. Ở hàm diện tích hình tròn $A(r) = \pi r^2$ trong Ví dụ 1, $r$ là bán kính nên không thể âm. Tập xác định bị ngữ cảnh hạn chế gọi là tập xác định theo ngữ cảnh (relevant domain).

A domain can also be restricted in the definition of the function itself, as in $v(t) = 24t + 10$ for $t \ge 0$ .

Vne

Tập xác định cũng có thể bị hạn chế ngay trong định nghĩa của hàm số, như $v(t) = 24t + 10$ với $t \ge 0$ .

The domain and range of many real-valued functions of a real variable are intervals, or combinations of intervals. An interval may be open, closed, or half-open (Figures 0.8 and 0.9), and finite or infinite (Figure 0.10).

Vne

Tập xác định và tập giá trị của nhiều hàm số thực của một biến thực là các khoảng, hoặc hợp của các khoảng. Một khoảng có thể mở, đóng hoặc nửa mở (Hình 0.8 và 0.9), hữu hạn hoặc vô hạn (Hình 0.10).

Figures 0.8–0.10 · Intervals on the number line

$(-\infty,\infty)$

-\infty\lt x\lt \infty

All real numbers

$(a,b)$

a\lt x\lt b

Open interval

$[a,b]$

a\le x\le b

Closed interval

$[a,b)$

a\le x\lt b

Closed at

a

, open at

b

$(a,b]$

a\lt x\le b

Open at

a

, closed at

b

$(a,\infty)$

x\gt a

Numbers greater than

a

$[a,\infty)$

x\ge a

Numbers greater than or equal to

a

$(-\infty,b)$

x\lt b

Numbers less than

b

$(-\infty,b]$

x\le b

Numbers less than or equal to

b

Vne

Hình 0.8–0.10 · Các khoảng trên trục số

$(-\infty,\infty)$

-\infty\lt x\lt \infty

Mọi số thực

$(a,b)$

a\lt x\lt b

Khoảng mở

$[a,b]$

a\le x\le b

Khoảng đóng

$[a,b)$

a\le x\lt b

Đóng ở

a

, mở ở

b

$(a,b]$

a\lt x\le b

Mở ở

a

, đóng ở

b

$(a,\infty)$

x\gt a

Các số lớn hơn

a

$[a,\infty)$

x\ge a

Các số lớn hơn hoặc bằng

a

$(-\infty,b)$

x\lt b

Các số nhỏ hơn

b

$(-\infty,b]$

x\le b

Các số nhỏ hơn hoặc bằng

b

Careful

The symbol $\infty$ (infinity) is only a convenient notation. It does not mean there is a number $\infty$ .

Vne

Lưu ý

Ký hiệu $\infty$ (vô cực) chỉ là một cách viết tiện lợi. Nó không có nghĩa là có một số $\infty$ .

Definition · Boundary and interior

The endpoints of an interval form its boundary and are called boundary points. The remaining points form its interior and are called interior points.

Closed intervals contain their boundary points. Open intervals contain no boundary points; every point of an open interval is an interior point.

Vne

Định nghĩa · Biên và phần trong

Các đầu mút của một khoảng tạo thành biên (boundary) của nó và gọi là điểm biên. Các điểm còn lại tạo thành phần trong (interior) và gọi là điểm trong.

Khoảng đóng chứa các điểm biên của nó. Khoảng mở không chứa điểm biên nào; mọi điểm của khoảng mở đều là điểm trong.

3Viewing and Interpreting Graphs

Xem và đọc đồ thị

The points $(x, y)$ whose coordinates are the input-output pairs of a function $y = f(x)$ make up its graph. For example, the graph of $y = x - 3$ is the set of points $(x, y)$ for which $y$ equals $x - 3$ .

Vne

Các điểm $(x, y)$ có tọa độ là các cặp đầu vào – đầu ra của hàm số $y = f(x)$ tạo thành đồ thị của nó. Chẳng hạn, đồ thị của $y = x - 3$ là tập các điểm $(x, y)$ mà $y$ bằng $x - 3$ .

Example 2(a)Domain and range of

y = \dfrac{2}{x}

Find the domain and range of $y = \dfrac{2}{x}$ , and sketch its graph.

(a) The formula gives a real $y$ for every real $x$ except $x = 0$ (we cannot divide by $0$ ).

So the domain is $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ , where $\cup$ means “together with”.

The value $y$ is never $0$ , because $2/x$ is never $0$ .

Every other real value occurs: for $c \ne 0$ , we get $y = c$ when $x = 2/c$ .

So the range is also $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

A sketch is in Figure 0.11(a).

Figure 0.11(a) ·

y = \dfrac{2}{x}

: domain and range

(-\infty, 0) \cup (0, \infty)

Vne

Ví dụ 2(a)Tập xác định và tập giá trị của

y = \dfrac{2}{x}

Tìm tập xác định và tập giá trị của $y = \dfrac{2}{x}$ , rồi vẽ phác đồ thị của nó.

(a) Công thức cho $y$ thực với mọi $x$ thực trừ $x = 0$ (không chia được cho $0$ ).

Vậy tập xác định là $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ , trong đó $\cup$ nghĩa là “hợp với”.

Giá trị $y$ không bao giờ bằng $0$ , vì $2/x$ không bao giờ bằng $0$ .

Mọi giá trị thực khác đều xuất hiện: với $c \ne 0$ , ta có $y = c$ khi $x = 2/c$ .

Vậy tập giá trị cũng là $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

Hình vẽ phác ở Hình 0.11(a).

Hình 0.11(a) ·

y = \dfrac{2}{x}

: tập xác định và tập giá trị

(-\infty, 0) \cup (0, \infty)

Example 2(b)Domain and range of

y = 2\sqrt{x}

Find the domain and range of $y = 2\sqrt{x}$ , and sketch its graph.

(b) The formula gives a real number only when $x$ is positive or zero, so the domain is $[0, \infty)$ .

Since $\sqrt{x}$ is the nonnegative square root of $x$ , $y \ge 0$ .

For $c \ge 0$ , we get $y = c$ when $x = (c/2)^2$ , so the range is also $[0, \infty)$ .

A sketch is in Figure 0.11(b).

Figure 0.11(b) ·

y = 2\sqrt{x}

: domain and range

[0, \infty)

Vne

Ví dụ 2(b)Tập xác định và tập giá trị của

y = 2\sqrt{x}

Tìm tập xác định và tập giá trị của $y = 2\sqrt{x}$ , rồi vẽ phác đồ thị của nó.

(b) Công thức chỉ cho số thực khi $x$ dương hoặc bằng $0$ , nên tập xác định là $[0, \infty)$ .

Vì $\sqrt{x}$ là căn bậc hai không âm của $x$ , nên $y \ge 0$ .

Với $c \ge 0$ , ta có $y = c$ khi $x = (c/2)^2$ , nên tập giá trị cũng là $[0, \infty)$ .

Hình vẽ phác ở Hình 0.11(b).

Hình 0.11(b) ·

y = 2\sqrt{x}

: tập xác định và tập giá trị

[0, \infty)

Definition · Power function

Any function that can be written in the form $f(x) = kx^a$ , where $k$ and $a$ are nonzero constants, is a power function.

Vne

Định nghĩa · Hàm lũy thừa

Mọi hàm số viết được dưới dạng $f(x) = kx^a$ , trong đó $k$ và $a$ là các hằng số khác $0$ , đều là một hàm lũy thừa.

Graph viewing skills

Reading a graph well takes four skills:

recognize that the graph is reasonable;
see all the important characteristics of the graph;
interpret those characteristics;
recognize grapher failure (a grapher is a graphing calculator or graphing software).

Recognizing that a graph is reasonable takes experience. You need to know the basic functions and their graphs, and how changes in their equations affect the graphs.

Vne

Kỹ năng xem đồ thị

Đọc đồ thị tốt cần bốn kỹ năng:

nhận ra đồ thị hợp lý;
thấy đầy đủ các đặc điểm quan trọng của đồ thị;
giải thích các đặc điểm đó;
nhận ra khi máy vẽ đồ thị bị lỗi (máy vẽ đồ thị là máy tính vẽ đồ thị hoặc phần mềm vẽ đồ thị).

Nhận ra một đồ thị hợp lý cần có kinh nghiệm. Bạn cần biết các hàm số cơ bản và đồ thị của chúng, và biết phương trình thay đổi thì đồ thị thay đổi như thế nào.

Grapher failure

A grapher is a graphing calculator or graphing software. Grapher failure occurs when the graph produced by a grapher is less than precise, or even incorrect. This usually comes from the limited screen resolution of the grapher.

Vne

Lỗi của máy vẽ đồ thị

Máy vẽ đồ thị (grapher) là máy tính vẽ đồ thị hoặc phần mềm vẽ đồ thị. Lỗi của máy vẽ đồ thị xảy ra khi đồ thị do máy vẽ ra kém chính xác, thậm chí sai. Lỗi này thường do độ phân giải màn hình của máy bị giới hạn.

Graphing

y = x^{4/3}

: possible grapher failure

On some graphing calculators you need to enter this function as $y = (x^4)^{1/3}$ or $y = (x^{1/3})^4$ to obtain a correct graph. Try graphing this function on your grapher.

Vne

Đồ thị

y = x^{4/3}

: có thể máy vẽ bị lỗi

Một số máy tính vẽ đồ thị cần nhập hàm số này dưới dạng $y = (x^4)^{1/3}$ hoặc $y = (x^{1/3})^4$ để có đồ thị đúng. Hãy thử vẽ hàm số này trên máy vẽ đồ thị của bạn.

Example 3(a)Reading domain and range from a grapher

Use a grapher to find the domain and range of $y = \sqrt{9 - x^2}$ , then sketch its graph.

(a) Read the graph in Figure 0.12(a), drawn on the window $[-5, 5]$ by $[-1, 4]$ with equal scales. It looks like the upper half of a circle. The domain looks like $[-3, 3]$ and the range looks like $[0, 3]$ .

Check the domain: the square root needs $9 - x^2 \ge 0$ , so $-3 \le x \le 3$ . The domain is $[-3, 3]$ .

Check the range: a square root is never negative, so $y \ge 0$ . The largest value of $9 - x^2$ is $9$ , at $x = 0$ , so the largest $y$ is $\sqrt{9} = 3$ . The range is $[0, 3]$ .

Figure 0.12(a) ·

y = \sqrt{9 - x^2}

Vne

Ví dụ 3(a)Đọc tập xác định và tập giá trị từ máy vẽ đồ thị

Dùng máy vẽ đồ thị để tìm tập xác định và tập giá trị của $y = \sqrt{9 - x^2}$ , sau đó vẽ đồ thị của nó.

(a) Đọc đồ thị trong Hình 0.12(a), vẽ trên cửa sổ $[-5, 5]$ × $[-1, 4]$ với thang đo hai trục bằng nhau. Đồ thị giống nửa trên của một đường tròn. Tập xác định có vẻ là $[-3, 3]$ và tập giá trị có vẻ là $[0, 3]$ .

Kiểm tra tập xác định: căn bậc hai cần $9 - x^2 \ge 0$ , nên $-3 \le x \le 3$ . Tập xác định là $[-3, 3]$ .

Kiểm tra tập giá trị: căn bậc hai không bao giờ âm, nên $y \ge 0$ . Giá trị lớn nhất của $9 - x^2$ là $9$ , đạt tại $x = 0$ , nên $y$ lớn nhất là $\sqrt{9} = 3$ . Tập giá trị là $[0, 3]$ .

Hình 0.12(a) ·

y = \sqrt{9 - x^2}

Example 3(b)Reading domain and range from a grapher

Use a grapher to find the domain and range of $y = x^{4/3}$ , then sketch its graph.

(b) Figure 0.12(b) shows the graph on the viewing window $[-5, 5]$ by $[-2, 9]$ , with equal scales on both axes.

The domain appears to be $(-\infty, \infty)$ .

We can verify this because $x^{4/3} = (\sqrt[3]{x})^4$ , and the cube root of every real number exists.

The range appears to be $[0, \infty)$ .

This also follows from $(\sqrt[3]{x})^4 \ge 0$ , and every $c \ge 0$ is reached: for $x = c^{3/4}$ we get $y = c$ .

Figure 0.12(b) ·

y = x^{4/3}

Vne

Ví dụ 3(b)Đọc tập xác định và tập giá trị từ máy vẽ đồ thị

Dùng máy vẽ đồ thị để tìm tập xác định và tập giá trị của $y = x^{4/3}$ , sau đó vẽ đồ thị của nó.

(b) Hình 0.12(b) là đồ thị trên cửa sổ quan sát $[-5, 5]$ × $[-2, 9]$ , với thang đo hai trục bằng nhau.

Tập xác định có vẻ là $(-\infty, \infty)$ .

Ta kiểm tra được điều này vì $x^{4/3} = (\sqrt[3]{x})^4$ , và căn bậc ba của mọi số thực đều tồn tại.

Tập giá trị có vẻ là $[0, \infty)$ .

Điều này cũng suy ra từ $(\sqrt[3]{x})^4 \ge 0$ , và mọi $c \ge 0$ đều đạt được: với $x = c^{3/4}$ ta có $y = c$ .

Hình 0.12(b) ·

y = x^{4/3}

4Even and Odd Functions: Symmetry

Hàm số chẵn và hàm số lẻ: đối xứng

Even and odd functions have graphs with important symmetry properties.

Vne

Hàm số chẵn và hàm số lẻ có đồ thị với những tính chất đối xứng quan trọng.

Definition · Even function, odd function

A function $y = f(x)$ is an even function of $x$ if $f(-x) = f(x)$ for every $x$ in the function's domain.

It is an odd function of $x$ if $f(-x) = -f(x)$ for every $x$ in the function's domain.

Vne

Định nghĩa · Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hàm số $y = f(x)$ là hàm số chẵn theo $x$ nếu $f(-x) = f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định của hàm số.

Hàm số là hàm số lẻ theo $x$ nếu $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định của hàm số.

The names come from powers of $x$ . If $y$ is an even power of $x$ , such as $y = x^2$ or $y = x^4$ , then $y$ is an even function of $x$ . This is because $(-x)^2 = x^2$ and $(-x)^4 = x^4$ . If $y$ is an odd power of $x$ , such as $y = x$ or $y = x^3$ , then $y$ is an odd function of $x$ . This is because $(-x)^1 = -x$ and $(-x)^3 = -x^3$ .

Vne

Tên gọi “chẵn” và “lẻ” xuất phát từ số mũ của $x$ . Nếu $y$ là lũy thừa chẵn của $x$ , như $y = x^2$ hoặc $y = x^4$ , thì $y$ là hàm số chẵn theo $x$ . Lý do là $(-x)^2 = x^2$ và $(-x)^4 = x^4$ . Nếu $y$ là lũy thừa lẻ của $x$ , như $y = x$ hoặc $y = x^3$ , thì $y$ là hàm số lẻ theo $x$ . Lý do là $(-x)^1 = -x$ và $(-x)^3 = -x^3$ .

Figure 0.13 · Symmetry of even and odd graphs

The graph of an even function is symmetric about the $y$ -axis. Since $f(-x) = f(x)$ , the point $(x, y)$ lies on the graph if and only if the point $(-x, y)$ lies on the graph (Figure 0.13(a)).

The graph of an odd function is symmetric about the origin. Since $f(-x) = -f(x)$ , the point $(x, y)$ lies on the graph if and only if the point $(-x, -y)$ lies on the graph (Figure 0.13(b)). Equivalently, the graph is symmetric about the origin if a rotation of $180°$ about the origin leaves it unchanged.

Vne

Hình 0.13 · Đối xứng của đồ thị hàm số chẵn và lẻ

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục $y$ . Vì $f(-x) = f(x)$ , điểm $(x, y)$ thuộc đồ thị khi và chỉ khi điểm $(-x, y)$ thuộc đồ thị (Hình 0.13(a)).

Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. Vì $f(-x) = -f(x)$ , điểm $(x, y)$ thuộc đồ thị khi và chỉ khi điểm $(-x, -y)$ thuộc đồ thị (Hình 0.13(b)). Nói cách khác, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ nếu phép quay $180°$ quanh gốc tọa độ không làm đồ thị thay đổi.

Figure 0.13(a) ·

y = x^2

, even: symmetric about the

y

-axis

Figure 0.13(b) ·

y = x^3

, odd: symmetric about the origin

Vne

Hình 0.13(a) ·

y = x^2

, chẵn: đối xứng qua trục

y

; cửa sổ

[-5, 5] \times [-1, 9]

Hình 0.13(b) ·

y = x^3

, lẻ: đối xứng qua gốc tọa độ; cửa sổ

[-3, 3] \times [-3, 3]

Example 4Recognizing even and odd functions

Decide whether each function is even, odd, or neither.

$f(x) = x^4$
$f(x) = x^4 - 2$
$f(x) = x^5$
$f(x) = x^3 + 2$

$f(x) = x^4$ : even. $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$ for all $x$ . The graph is symmetric about the $y$ -axis.
$f(x) = x^4 - 2$ : even. $f(-x) = (-x)^4 - 2 = x^4 - 2 = f(x)$ for all $x$ . The graph is symmetric about the $y$ -axis (Figure 0.14(a)).
$f(x) = x^5$ : odd. $f(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -f(x)$ for all $x$ . The graph is symmetric about the origin.
$f(x) = x^3 + 2$ : not odd. $f(-x) = -x^3 + 2$ , but $-f(x) = -x^3 - 2$ . The two are not equal. Not even either: $f(-x) = -x^3 + 2 \ne x^3 + 2 = f(x)$ for all $x \ne 0$ (Figure 0.14(b)). So this function is neither even nor odd.

Figure 0.14(a) ·

y = x^4

and

y = x^4 - 2

: both even

Figure 0.14(b) ·

y = x^3

and

y = x^3 + 2

y = x^3

is odd;

y = x^3 + 2

is neither even nor odd, since adding 2 destroys the symmetry about the origin

Vne

Ví dụ 4Nhận biết hàm số chẵn và hàm số lẻ

Xác định mỗi hàm số dưới đây là chẵn, là lẻ, hay không chẵn cũng không lẻ.

$f(x) = x^4$
$f(x) = x^4 - 2$
$f(x) = x^5$
$f(x) = x^3 + 2$

$f(x) = x^4$ : chẵn. $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$ với mọi $x$ . Đồ thị đối xứng qua trục $y$ .
$f(x) = x^4 - 2$ : chẵn. $f(-x) = (-x)^4 - 2 = x^4 - 2 = f(x)$ với mọi $x$ . Đồ thị đối xứng qua trục $y$ (Hình 0.14(a)).
$f(x) = x^5$ : lẻ. $f(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -f(x)$ với mọi $x$ . Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
$f(x) = x^3 + 2$ : không lẻ. $f(-x) = -x^3 + 2$ , nhưng $-f(x) = -x^3 - 2$ . Hai giá trị này không bằng nhau. Cũng không chẵn: $f(-x) = -x^3 + 2 \ne x^3 + 2 = f(x)$ với mọi $x \ne 0$ (Hình 0.14(b)). Vậy hàm số này không chẵn cũng không lẻ.

Hình 0.14(a) ·

y = x^4

và

y = x^4 - 2

: cả hai đều chẵn

Hình 0.14(b) ·

y = x^3

và

y = x^3 + 2

y = x^3

là hàm số lẻ;

y = x^3 + 2

không chẵn cũng không lẻ, vì cộng 2 làm mất đối xứng qua gốc tọa độ

It is useful in graphing to recognize even and odd functions. Once we know the graph of either type of function on one side of the $y$ -axis, we know its graph on both sides.

Vne

Khi vẽ đồ thị, việc nhận ra hàm số chẵn và hàm số lẻ rất hữu ích. Khi đã biết đồ thị của một trong hai loại hàm số ở một phía của trục $y$ , ta biết đồ thị ở cả hai phía.

5Piecewise-Defined Functions

Hàm số xác định theo từng khúc

Although some functions are defined by a single formula, others are defined by applying different formulas to different parts of their domains.

Vne

Một số hàm số chỉ dùng một công thức, còn những hàm số khác dùng các công thức khác nhau cho từng phần của tập xác định.

Example 5Graphing a piecewise-defined function

Graph $y = f(x)$ , where

f(x) = \begin{cases} -2x, & x \lt 0 \\ x^2, & 0 \le x \le 2 \\ 4, & x \gt 2. \end{cases}

The values of $f$ come from three separate formulas: $y = -2x$ when $x \lt 0$ , $y = x^2$ when $0 \le x \le 2$ , and $y = 4$ when $x \gt 2$ .

However, $f$ is just one function, whose domain is the entire set of real numbers.

Its graph is shown in Figure 0.15.

Figure 0.15 · The piecewise-defined function

f(x)

from Example 5

Vne

Ví dụ 5Vẽ đồ thị hàm số xác định theo từng khúc

Vẽ đồ thị $y = f(x)$ , với

f(x) = \begin{cases} -2x, & x \lt 0 \\ x^2, & 0 \le x \le 2 \\ 4, & x \gt 2. \end{cases}

Các giá trị của $f$ được cho bởi ba công thức riêng biệt: $y = -2x$ khi $x \lt 0$ , $y = x^2$ khi $0 \le x \le 2$ , và $y = 4$ khi $x \gt 2$ .

Tuy vậy, $f$ vẫn chỉ là một hàm số, có tập xác định là toàn bộ tập số thực.

Đồ thị của nó được cho ở Hình 0.15.

Hình 0.15 · Hàm số

f(x)

xác định theo từng khúc của Ví dụ 5

Example 6Piecewise formula from two segments

Write a formula for $y = f(x)$ whose graph consists of two line segments (Figure 0.16). The left segment goes from $(0, 0)$ to $(2, 4)$ and does not include $(2, 4)$ . The right segment goes from $(2, 1)$ to $(4, 5)$ and includes both endpoints.

Figure 0.16 · The two segments of Example 6: the left one does not contain

(2, 4)

, the right one contains both its endpoints

Step 1: draw the segment from $(0, 0)$ to $(2, 4)$ . Its slope is $m = \dfrac{4 - 0}{2 - 0} = 2$ and its $y$ -intercept is $0$ , so its equation is $y = 2x$ . The segment includes $(0, 0)$ but not $(2, 4)$ , so $y = 2x$ holds for $0 \le x \lt 2$ .

Step 2: draw the segment from $(2, 1)$ to $(4, 5)$ . Its slope is $m = \dfrac{5 - 1}{4 - 2} = 2$ , and it passes through $(2, 1)$ , so $y - 1 = 2(x - 2)$ , that is, $y = 2x - 3$ . The segment includes both endpoints, so $y = 2x - 3$ holds for $2 \le x \le 4$ .

Step 3: combine the two formulas.

f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \lt 2 \\ 2x - 3, & 2 \le x \le 4. \end{cases}

Vne

Ví dụ 6Công thức từng khúc từ hai đoạn thẳng

Viết công thức cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị gồm hai đoạn thẳng (Hình 0.16). Đoạn bên trái đi từ $(0, 0)$ đến $(2, 4)$ và không chứa $(2, 4)$ . Đoạn bên phải đi từ $(2, 1)$ đến $(4, 5)$ và chứa cả hai đầu mút.

Hình 0.16 · Hai đoạn thẳng của Ví dụ 6: đoạn bên trái không chứa

(2, 4)

, đoạn bên phải chứa cả hai đầu mút

Bước 1: vẽ đoạn từ $(0, 0)$ đến $(2, 4)$ . Hệ số góc là $m = \dfrac{4 - 0}{2 - 0} = 2$ , tung độ gốc là $0$ , nên phương trình là $y = 2x$ . Đoạn chứa $(0, 0)$ nhưng không chứa $(2, 4)$ , nên $y = 2x$ đúng với $0 \le x \lt 2$ .

Bước 2: vẽ đoạn từ $(2, 1)$ đến $(4, 5)$ . Hệ số góc là $m = \dfrac{5 - 1}{4 - 2} = 2$ , và đoạn đi qua $(2, 1)$ , nên $y - 1 = 2(x - 2)$ , tức $y = 2x - 3$ . Đoạn chứa cả hai đầu mút, nên $y = 2x - 3$ đúng với $2 \le x \le 4$ .

Bước 3: ghép hai công thức lại.

f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \lt 2 \\ 2x - 3, & 2 \le x \le 4. \end{cases}

6Absolute Value Function

Hàm số giá trị tuyệt đối

Definition · Absolute value function

The absolute value function $y = |x|$ is defined piecewise by

|x| = \begin{cases} -x, & x \lt 0 \\ x, & x \ge 0. \end{cases}

The function is even, and its graph (Figure 0.17) is symmetric about the $y$ -axis.

Vne

Định nghĩa · Hàm số giá trị tuyệt đối

Hàm số giá trị tuyệt đối $y = |x|$ được xác định từng khúc bởi

|x| = \begin{cases} -x, & x \lt 0 \\ x, & x \ge 0. \end{cases}

Hàm số này là hàm số chẵn, và đồ thị (Hình 0.17) đối xứng qua trục $y$ .

Figure 0.17 ·

y = |x|

has domain

(-\infty, \infty)

and range

[0, \infty)

Vne

Hình 0.17 ·

y = |x|

có tập xác định

(-\infty, \infty)

và tập giá trị

[0, \infty)

Example 7Using shifts of the absolute value graph

Draw the graph of $f(x) = |x + 3| - 2$ . Then find the domain and range.

The graph of $f$ is the graph of the absolute value function shifted 3 units horizontally to the left and 2 units vertically downward (Figure 0.18).

The domain of $f$ is $(-\infty, \infty)$ .

Since $|x + 3| \ge 0$ , we have $f(x) \ge -2$ , with equality at $x = -3$ .

So the range is $[-2, \infty)$ .

Figure 0.18 · The lowest point of

f(x) = |x + 3| - 2

(-3, -2)

Vne

Ví dụ 7Dùng phép dịch chuyển đồ thị hàm giá trị tuyệt đối

Vẽ đồ thị của $f(x) = |x + 3| - 2$ . Sau đó tìm tập xác định và tập giá trị.

Đồ thị của $f$ là đồ thị của $y = |x|$ dịch sang trái 3 đơn vị và xuống dưới 2 đơn vị (Hình 0.18).

Tập xác định của $f$ là $(-\infty, \infty)$ .

Vì $|x + 3| \ge 0$ nên $f(x) \ge -2$ , và dấu bằng xảy ra khi $x = -3$ .

Vậy tập giá trị là $[-2, \infty)$ .

Hình 0.18 · Điểm thấp nhất của

f(x) = |x + 3| - 2

là

(-3, -2)

7Composite Functions

Hàm hợp

Composition of two functions

Suppose some outputs of a function $g$ can be used as inputs of a function $f$ . Then we can link $g$ and $f$ to form a new function. Its inputs $x$ are inputs of $g$ , and its outputs are the numbers $f(g(x))$ (Figure 0.19).

The function $f(g(x))$ , read “ $f$ of $g$ of $x$ ”, is the composition of $f$ with $g$ . It is what we get when we first apply $g$ to $x$ , and then apply $f$ to the result $g(x)$ . The standard notation for this composition is $f \circ g$ , read “ $f$ of $g$ ”. So $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ .

Vne

Hợp của hai hàm số

Giả sử một số giá trị đầu ra của hàm số $g$ có thể dùng làm đầu vào của hàm số $f$ . Khi đó ta có thể nối $g$ và $f$ thành một hàm số mới. Đầu vào $x$ của hàm mới là đầu vào của $g$ , còn đầu ra là các số $f(g(x))$ (Hình 0.19).

Hàm số $f(g(x))$ , đọc là “ $f$ của $g$ của $x$ ”, là hàm hợp của $f$ với $g$ . Đó là kết quả khi ta áp dụng $g$ cho $x$ trước, rồi áp dụng $f$ cho kết quả $g(x)$ . Ký hiệu chuẩn cho hàm hợp này là $f \circ g$ , đọc là “ $f$ của $g$ ”. Vậy $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ .

Figure 0.19 · Two functions can be composed when part of the range of the first lies in the domain of the second

Vne

Hình 0.19 · Hai hàm số có thể hợp lại khi một phần tập giá trị của hàm thứ nhất nằm trong tập xác định của hàm thứ hai.

Composition is not commutative

Composition is not commutative, meaning that the order matters. In Example 8 below, $(f \circ g)(x) = x^2 - 4$ . Swapping the order gives $(g \circ f)(x) = (x - 4)^2$ , so $f \circ g \ne g \circ f$ .

Vne

Phép hợp hàm số không giao hoán

Phép hợp hàm số không giao hoán, nghĩa là thứ tự quan trọng. Trong Ví dụ 8 bên dưới, $(f \circ g)(x) = x^2 - 4$ . Đổi thứ tự thì được $(g \circ f)(x) = (x - 4)^2$ , nên $f \circ g \ne g \circ f$ .

Example 8Composing functions

Find a formula for $f(g(x))$ if $g(x) = x^2$ and $f(x) = x - 4$ . Then find $f(g(3))$ .

To find $f(g(x))$ , we first apply $g$ to $x$ , which gives $x^2$ .

Then we apply $f$ to this result.

Therefore

f(g(x)) = f(x^2) = x^2 - 4.

To find $f(g(3))$ , substitute $3$ for $x$ :

f(g(3)) = 3^2 - 4 = 5.

Vne

Ví dụ 8Hợp của các hàm số

Tìm công thức cho $f(g(x))$ nếu $g(x) = x^2$ và $f(x) = x - 4$ . Sau đó tìm $f(g(3))$ .

Để tìm $f(g(x))$ , trước hết ta áp dụng $g$ cho $x$ , được $x^2$ .

Sau đó áp dụng $f$ cho kết quả này.

Vậy

f(g(x)) = f(x^2) = x^2 - 4.

Để tìm $f(g(3))$ , thay $3$ vào $x$ :

f(g(3)) = 3^2 - 4 = 5.

Exploration 1Composing functions with a grapher: steps 1–2

Some graphers let one function, such as $y_1$ , be used as the independent variable of another function. With such a grapher, we can compose functions.

Enter $y_1 = f(x) = 9 - x^2$ , $y_2 = g(x) = \sqrt{x}$ , $y_3 = y_2(y_1(x))$ , and $y_4 = y_1(y_2(x))$ . Which of $y_3$ and $y_4$ corresponds to $f \circ g$ ? Which corresponds to $g \circ f$ ?
Graph $y_1$ , $y_2$ , and $y_3$ . Make conjectures about the domain and range of $y_3$ .

1. $y_4 = y_1(y_2(x)) = f(g(x))$ , so $y_4$ corresponds to $f \circ g$ .

$y_3 = y_2(y_1(x)) = g(f(x))$ , so $y_3$ corresponds to $g \circ f$ .

2. The graph of $y_3 = \sqrt{9 - x^2}$ is the upper half of a circle.

Its domain appears to be $[-3, 3]$ and its range $[0, 3]$ .

Vne

Khám phá 1Hợp các hàm số bằng máy vẽ đồ thị: bước 1–2

Một số máy vẽ đồ thị cho phép dùng một hàm số, chẳng hạn $y_1$ , làm biến độc lập của hàm số khác. Với máy như vậy, ta có thể hợp các hàm số.

Nhập $y_1 = f(x) = 9 - x^2$ , $y_2 = g(x) = \sqrt{x}$ , $y_3 = y_2(y_1(x))$ và $y_4 = y_1(y_2(x))$ . Trong $y_3$ và $y_4$ , hàm nào ứng với $f \circ g$ ? Hàm nào ứng với $g \circ f$ ?
Vẽ $y_1$ , $y_2$ và $y_3$ . Dự đoán tập xác định và tập giá trị của $y_3$ .

1. $y_4 = y_1(y_2(x)) = f(g(x))$ , nên $y_4$ ứng với $f \circ g$ .

$y_3 = y_2(y_1(x)) = g(f(x))$ , nên $y_3$ ứng với $g \circ f$ .

2. Đồ thị của $y_3 = \sqrt{9 - x^2}$ là nửa trên của một đường tròn.

Tập xác định có vẻ là $[-3, 3]$ và tập giá trị có vẻ là $[0, 3]$ .

Exploration 1Composing functions with a grapher: steps 3–4

Using $y_1 = 9 - x^2$ and $y_2 = \sqrt{x}$ from step 1:

Graph $y_1$ , $y_2$ , and $y_4$ . Make conjectures about the domain and range of $y_4$ .
Confirm your conjectures algebraically by finding formulas for $y_3$ and $y_4$ .

3. The graph of $y_4$ is a straight ray that starts at $(0, 9)$ and goes down to the right.

Its domain appears to be $[0, \infty)$ and its range $(-\infty, 9]$ .

4. For $y_3$ : $y_3 = g(f(x)) = \sqrt{9 - x^2}$ , which needs $9 - x^2 \ge 0$ , so $-3 \le x \le 3$ .

Its range is $[0, 3]$ , because $\sqrt{9 - x^2} \ge 0$ and its largest value is $\sqrt{9} = 3$ , at $x = 0$ .

For $y_4$ : $y_4 = f(g(x)) = 9 - (\sqrt{x})^2 = 9 - x$ , but $g$ only accepts $x \ge 0$ , so the domain is $[0, \infty)$ and the range is $(-\infty, 9]$ .

The conjectures are confirmed.

Vne

Khám phá 1Hợp các hàm số bằng máy vẽ đồ thị: bước 3–4

Dùng $y_1 = 9 - x^2$ và $y_2 = \sqrt{x}$ từ bước 1:

Vẽ $y_1$ , $y_2$ và $y_4$ . Dự đoán tập xác định và tập giá trị của $y_4$ .
Kiểm tra lại các dự đoán bằng đại số, bằng cách tìm công thức của $y_3$ và $y_4$ .

3. Đồ thị của $y_4$ là một tia thẳng bắt đầu từ $(0, 9)$ và đi xuống bên phải.

Tập xác định có vẻ là $[0, \infty)$ và tập giá trị là $(-\infty, 9]$ .

4. Với $y_3$ : $y_3 = g(f(x)) = \sqrt{9 - x^2}$ , cần $9 - x^2 \ge 0$ , tức $-3 \le x \le 3$ .

Tập giá trị là $[0, 3]$ , vì $\sqrt{9 - x^2} \ge 0$ và giá trị lớn nhất là $\sqrt{9} = 3$ , đạt tại $x = 0$ .

Với $y_4$ : $y_4 = f(g(x)) = 9 - (\sqrt{x})^2 = 9 - x$ , nhưng $g$ chỉ nhận $x \ge 0$ , nên tập xác định là $[0, \infty)$ và tập giá trị là $(-\infty, 9]$ .

Như vậy, các dự đoán đã được xác nhận.