AP CalculusLessonBài giảng 0.3 Exponential FunctionsHàm số mũ 0.2 0.4

0.3 Exponential Functions Hàm số mũ

You will be able to model exponential growth and decay with functions of the form $y = k \cdot a^x$ and recognize exponential growth and decay in algebraic, numerical, and graphical representations.

Exponential functions
Rules of exponents
Applications of exponential functions (growth and decay)
Compound interest
The number $e$

Vne

Bạn sẽ có thể mô hình hóa tăng trưởng và phân rã mũ bằng hàm số dạng $y = k \cdot a^x$ , và nhận biết tăng trưởng và phân rã mũ trong biểu diễn đại số, bằng số và bằng đồ thị.

Hàm số mũ
Quy tắc số mũ
Ứng dụng của hàm số mũ (tăng trưởng và phân rã)
Lãi kép
Số $e$

1Exponential Growth

Tăng trưởng mũ

Table 0.1 shows the growth of 500 dollars invested in 2010 at an interest rate of 4%, with interest added once a year (compounded annually).

Vne

Bảng 0.1 cho thấy số tiền tăng lên của 500 đô la gửi vào năm 2010 với lãi suất 4% một năm, lãi được cộng vào tài khoản mỗi năm (ghép lãi hằng năm).

Table 0.1 · Savings account growth

Year	Amount (dollars)	Increase (dollars)
2010	500	—
2011	$500(1.04) = 520.00$	20.00
2012	$500(1.04)^2 = 540.80$	20.80
2013	$500(1.04)^3 \approx 562.43$	21.63
2014	$500(1.04)^4 \approx 584.93$	22.50

Vne

Bảng 0.1 · Tăng trưởng của tài khoản tiết kiệm

Năm	Số tiền (đô la)	Số tiền tăng thêm (đô la)
2010	500	—
2011	$500(1.04) = 520.00$	20.00
2012	$500(1.04)^2 = 540.80$	20.80
2013	$500(1.04)^3 \approx 562.43$	21.63
2014	$500(1.04)^4 \approx 584.93$	22.50

After the first year, the amount is always 1.04 times the amount of the year before. After $n$ years, the amount is $y = 500 \cdot (1.04)^n$ , where $y$ is the amount in dollars and $n$ is the number of years after 2010.

Vne

Sau năm đầu tiên, số tiền luôn gấp 1.04 lần số tiền của năm trước. Sau $n$ năm, số tiền là $y = 500 \cdot (1.04)^n$ , trong đó $y$ là số tiền tính bằng đô la và $n$ là số năm kể từ năm 2010.

Compound interest is an example of exponential growth. It is modeled by $y = P \cdot a^x$ . Here $P$ is the principal (the first investment). $a$ is 1 plus the interest rate written as a decimal. $x$ is the number of years, the same as $n$ above.

Vne

Lãi kép là một ví dụ của tăng trưởng mũ. Lãi kép được mô hình hóa bằng $y = P \cdot a^x$ . Trong đó, $P$ là tiền gốc (khoản gửi ban đầu). $a$ bằng 1 cộng với lãi suất viết dưới dạng số thập phân. $x$ là số năm, cũng chính là $n$ ở trên.

The ratio of the amounts in two consecutive years is always the same: $\dfrac{500(1.04)^{n+1}}{500(1.04)^n} = 1.04$ . This constant ratio is a key feature of exponential growth.

Vne

Tỉ số giữa số tiền của hai năm liên tiếp luôn không đổi: $\dfrac{500(1.04)^{n+1}}{500(1.04)^n} = 1.04$ . Tỉ số không đổi này là đặc điểm quan trọng của tăng trưởng mũ.

Exploration 1 · Exponential Functions

Graph $y = a^x$ for $a = 3, 4, 6$ in the viewing window where $x$ runs from $-3$ to $3$ and $y$ runs from $-1$ to $9$ (the window [-3, 3] by [-1, 9]).
For what values of $x$ is $3^x \lt 4^x \lt 6^x$ ?
For what values of $x$ is $3^x \gt 4^x \gt 6^x$ ?
For what values of $x$ is $3^x = 4^x = 6^x$ ?
Graph $y = (1/a)^x = a^{-x}$ for $a = 3, 4, 6$ , in the same window.
Repeat parts 2 to 4 for the functions in part 5.

Vne

Khám phá 1 · Hàm số mũ

Vẽ đồ thị $y = a^x$ với $a = 3, 4, 6$ trong cửa sổ quan sát có $x$ từ $-3$ đến $3$ và $y$ từ $-1$ đến $9$ (cửa sổ [-3, 3] theo [-1, 9]).
Với những giá trị nào của $x$ thì $3^x \lt 4^x \lt 6^x$ ?
Với những giá trị nào của $x$ thì $3^x \gt 4^x \gt 6^x$ ?
Với những giá trị nào của $x$ thì $3^x = 4^x = 6^x$ ?
Vẽ đồ thị $y = (1/a)^x = a^{-x}$ với $a = 3, 4, 6$ , trong cùng cửa sổ.
Lặp lại các câu 2 đến 4 với các hàm số ở câu 5.

Definition · Exponential function

Let $a$ be a positive real number other than 1. The function $f(x) = a^x$ is the exponential function with base $a$ .

Vne

Định nghĩa · Hàm số mũ

Cho $a$ là số thực dương khác 1. Hàm số $f(x) = a^x$ là hàm số mũ với cơ số $a$ .

The domain of $f$ is $(-\infty, \infty)$ and the range is $(0, \infty)$ . If $a \gt 1$ , the graph of $f$ looks like Figure 0.20(a). If $0 \lt a \lt 1$ , it looks like Figure 0.20(b).

Vne

Tập xác định của $f$ là $(-\infty, \infty)$ và tập giá trị là $(0, \infty)$ . Nếu $a \gt 1$ , đồ thị của $f$ có dạng như Hình 0.20(a). Nếu $0 \lt a \lt 1$ , đồ thị có dạng như Hình 0.20(b).

Figure 0.20 · Graphs of two exponential functions

Figure 0.20(a) ·

y = 3^x

, increasing

Figure 0.20(b) ·

y = 3^{-x}

, decreasing

Vne

Hình 0.20 · Đồ thị của hai hàm số mũ

Hình 0.20(a) ·

y = 3^x

, tăng

Hình 0.20(b) ·

y = 3^{-x}

, giảm

Example 1Graphing a Transformation of an Exponential Function

Graph the function $y = 3(2^x) - 5$ . State its domain and range.

Start with the graph of $y = 2^x$ .

Figure 0.21(a) ·

y = 2^x

Multiply by 3 to get $y = 3 \cdot 2^x$ ;

this stretches the graph vertically.

Figure 0.21(b) ·

y = 3 \cdot 2^x

Subtract 5 to get $y = 3(2^x) - 5$ ;

this moves the graph down 5 units.

Figure 0.21(c) ·

y = 3(2^x) - 5

Domain. $2^x$ is defined for every real $x$ , so the domain is $(-\infty, \infty)$ .

Range. $2^x \gt 0$ for all $x$ , so $3(2^x) \gt 0$ and $y = 3(2^x) - 5 \gt -5$ .

The value $3(2^x)$ takes every positive value, so $y$ takes every value greater than $-5$ .

The range is $(-5, \infty)$ .

Vne

Ví dụ 1Vẽ đồ thị một phép biến đổi của hàm số mũ

Vẽ đồ thị hàm số $y = 3(2^x) - 5$ . Nêu tập xác định và tập giá trị của hàm số.

Bắt đầu từ đồ thị $y = 2^x$ .

Hình 0.21(a) ·

y = 2^x

Nhân với 3 để được $y = 3 \cdot 2^x$ ;

việc này kéo giãn đồ thị theo chiều dọc.

Hình 0.21(b) ·

y = 3 \cdot 2^x

Trừ 5 để được $y = 3(2^x) - 5$ ;

việc này dịch chuyển đồ thị xuống 5 đơn vị.

Hình 0.21(c) ·

y = 3(2^x) - 5

Tập xác định. $2^x$ có nghĩa với mọi số thực $x$ , nên tập xác định là $(-\infty, \infty)$ .

Tập giá trị. Với mọi $x$ , $2^x \gt 0$ nên $3(2^x) \gt 0$ và $y = 3(2^x) - 5 \gt -5$ .

Biểu thức $3(2^x)$ nhận mọi giá trị dương, nên $y$ nhận mọi giá trị lớn hơn $-5$ .

Tập giá trị là $(-5, \infty)$ .

Example 2Finding Zeros

Find the zeros of $f(x) = 8 - 3 \cdot 2^x$ graphically. A zero of $f$ is a value of $x$ with $f(x) = 0$ .

Figure 0.22(a) shows the graph of $f$ .

Since $f(1) = 2 \gt 0$ and $f(2) = -4 \lt 0$ , $f$ has a zero between $x = 1$ and $x = 2$ , closer to 1.

The zero feature of a grapher (graphing calculator) gives the zero as approximately $x = 1.415$ , rounded to three decimals.

Figure 0.22(a) ·

f(x) = 8 - 3 \cdot 2^x

Vne

Ví dụ 2Tìm nghiệm

Tìm các nghiệm của $f(x) = 8 - 3 \cdot 2^x$ bằng đồ thị. Không điểm (zero) của $f$ là giá trị $x$ mà $f(x) = 0$ .

Hình 0.22(a) cho đồ thị của $f$ .

Vì $f(1) = 2 \gt 0$ và $f(2) = -4 \lt 0$ , nên $f$ có một nghiệm nằm giữa $x = 1$ và $x = 2$ , gần 1 hơn.

Chức năng tìm nghiệm của máy vẽ đồ thị (grapher) cho kết quả xấp xỉ $x = 1.415$ , làm tròn đến ba chữ số thập phân.

Hình 0.22(a) ·

f(x) = 8 - 3 \cdot 2^x

We list the rules for exponents. They are useful when we work with exponential functions.

Vne

Dưới đây là các quy tắc số mũ, hữu ích khi làm việc với hàm số mũ.

Rules for Exponents

If $a \gt 0$ and $b \gt 0$ , the following rules hold for all real numbers $x$ and $y$ .

$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$
$\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$
$(a^x)^y = (a^y)^x = a^{xy}$
$a^x \cdot b^x = (ab)^x$
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \dfrac{a^x}{b^x}$

Vne

Quy tắc số mũ

Nếu $a \gt 0$ và $b \gt 0$ , các quy tắc sau đúng với mọi số thực $x$ và $y$ .

$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$
$\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$
$(a^x)^y = (a^y)^x = a^{xy}$
$a^x \cdot b^x = (ab)^x$
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \dfrac{a^x}{b^x}$

2Exponential Decay

Phân rã mũ

Exponential functions can also model a decrease over time, such as radioactive decay. The half-life of a radioactive substance is the time it takes for half of the substance to become nonradioactive by giving off energy as radiation.

The model is $A(t) = P \cdot (1/2)^{t/h}$ . Here $A(t)$ is the amount left at time $t$ , and $P$ is the amount at the start ( $t = 0$ ). The letter $h$ is the half-life. Use the same time unit for $t$ and $h$ .

Vne

Hàm số mũ cũng có thể mô hình hóa sự giảm theo thời gian, chẳng hạn như phân rã phóng xạ. Chu kỳ bán rã của một chất phóng xạ là thời gian để một nửa lượng chất đó phân rã, phát ra năng lượng dưới dạng bức xạ.

Mô hình là $A(t) = P \cdot (1/2)^{t/h}$ . Trong đó, $A(t)$ là lượng chất còn lại tại thời điểm $t$ , và $P$ là lượng chất ban đầu ( $t = 0$ ). Ký hiệu $h$ là chu kỳ bán rã. Dùng cùng một đơn vị thời gian cho $t$ và $h$ .

Example 3Modeling Radioactive Decay

Suppose the half-life of a certain radioactive substance is 12 days and 6 grams are present initially. When will there be only 1 gram of the substance remaining?

The number of grams remaining after 12 days is $6 \cdot \dfrac{1}{2} = 3$ . After 24 days it is $6\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{2}$ .

Let $y_1 = 6\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/12}$ , where $t$ is the time in days and $y_1$ is the grams remaining.

Let $y_2 = 1$ (1 gram).

Figure 0.23 shows that the graphs meet when $t$ is approximately 31.020.

So 1 gram remains after about 31.020 days, or about 31 days and 28 minutes.

Figure 0.23 ·

y_1 = 6(1/2)^{t/12}

and

y_2 = 1

meet at

t \approx 31.020

, window [0, 60] by [-9, 15]

Vne

Ví dụ 3Mô hình phân rã phóng xạ

Giả sử chu kỳ bán rã của một chất phóng xạ là 12 ngày và ban đầu có 6 gam chất đó. Khi nào chỉ còn lại 1 gam chất đó?

Sau 12 ngày, lượng còn lại là $6 \cdot \dfrac{1}{2} = 3$ gam. Sau 24 ngày, lượng còn lại là $6\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{2}$ gam.

Đặt $y_1 = 6\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/12}$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng ngày và $y_1$ là số gam còn lại.

Đặt $y_2 = 1$ (1 gam).

Hình 0.23 cho thấy hai đồ thị gặp nhau khi $t$ xấp xỉ 31.020.

Vậy sau khoảng 31.020 ngày, còn lại 1 gam, tức là khoảng 31 ngày 28 phút.

Hình 0.23 ·

y_1 = 6(1/2)^{t/12}

và

y_2 = 1

gặp nhau tại

t \approx 31.020

, cửa sổ [0, 60] theo [-9, 15]

Definition · Exponential growth and decay

The function $y = k \cdot a^x$ , with $k \gt 0$ , is a model for exponential growth if $a \gt 1$ , and a model for exponential decay if $0 \lt a \lt 1$ .

Vne

Định nghĩa · Tăng trưởng mũ và phân rã mũ

Hàm số $y = k \cdot a^x$ , với $k \gt 0$ , là mô hình của tăng trưởng mũ nếu $a \gt 1$ , và là mô hình của phân rã mũ nếu $0 \lt a \lt 1$ .

Compound interest, population growth, and radioactive decay are all examples of exponential growth and decay.

Vne

Lãi kép, tăng dân số và phân rã phóng xạ đều là ví dụ của tăng trưởng và phân rã mũ.

3Compound Interest

Lãi kép

An account paying 4% annual interest multiplies by 1.04 every year, so an account with principal $P$ is worth $P(1.04)^t$ after $t$ years.

Some accounts pay interest several times a year, which increases the compounding effect. An account earning 4.2% annual interest, compounded monthly, earns one-twelfth of the annual rate each month: $4.2\% \div 12 = 0.35\%$ . After $t$ years, it is worth $P(1.0035)^{12t}$ .

Vne

Tài khoản trả lãi 4% một năm nhân với 1.04 mỗi năm, nên một tài khoản có tiền gốc $P$ sẽ có giá trị $P(1.04)^t$ sau $t$ năm.

Một số tài khoản trả lãi nhiều lần trong năm, làm hiệu ứng ghép lãi mạnh hơn. Tài khoản có lãi suất 4.2% một năm, ghép lãi hằng tháng, mỗi tháng nhận một phần mười hai lãi suất năm: $4.2\% \div 12 = 0.35\%$ . Sau $t$ năm, tài khoản có giá trị $P(1.0035)^{12t}$ .

Compound Interest Formula

If an account begins with principal $P$ and earns an annual interest rate $r$ , written as a decimal, compounded $n$ times per year, then the value of the account after $t$ years is

P\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^{nt}

Vne

Công thức lãi kép

Nếu một tài khoản bắt đầu với tiền gốc $P$ , có lãi suất năm $r$ viết dưới dạng số thập phân, và được ghép lãi $n$ lần mỗi năm, thì giá trị của tài khoản sau $t$ năm là

P\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^{nt}

Example 4Compound Interest

Ana deposits 3000 dollars in an account earning 4.8% annual interest. Find the value of the account in 8 years if the interest is compounded (a) annually; (b) quarterly; (c) monthly.

(a) Annually, $n = 1$ : $3000(1 + 0.048)^{8} \approx 4365.27$ , so the account is worth 4365.27 dollars.

(b) Quarterly, $n = 4$ : $3000\left(1 + \dfrac{0.048}{4}\right)^{4 \cdot 8} = 3000(1.012)^{32} \approx 4394.38$ , so the account is worth 4394.38 dollars.

(c) Monthly, $n = 12$ : $3000\left(1 + \dfrac{0.048}{12}\right)^{12 \cdot 8} = 3000(1.004)^{96} \approx 4401.06$ , so the account is worth 4401.06 dollars.

Vne

Ví dụ 4Lãi kép

Ana gửi 3000 đô la vào một tài khoản có lãi suất 4.8% một năm. Tính giá trị của tài khoản sau 8 năm nếu lãi được ghép (a) hằng năm; (b) hằng quý; (c) hằng tháng.

(a) Hằng năm, $n = 1$ : $3000(1 + 0.048)^{8} \approx 4365.27$ , nên tài khoản có giá trị 4365.27 đô la.

(b) Hằng quý, $n = 4$ : $3000\left(1 + \dfrac{0.048}{4}\right)^{4 \cdot 8} = 3000(1.012)^{32} \approx 4394.38$ , nên tài khoản có giá trị 4394.38 đô la.

(c) Hằng tháng, $n = 12$ : $3000\left(1 + \dfrac{0.048}{12}\right)^{12 \cdot 8} = 3000(1.004)^{96} \approx 4401.06$ , nên tài khoản có giá trị 4401.06 đô la.

4The Number e

Số e

In Example 4, the value grows as interest is compounded more often each year. But the value does not grow without bound. For a fixed rate $r$ , the expression below approaches $e^r$ (where $e$ is defined in the next paragraph) as $n$ approaches infinity:

\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^n \to e^r \quad \text{as } n \to \infty

Here $e$ is a fixed number. We estimate it with $\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$ for increasing values of $x$ (Figure 0.24). The number $e$ is approximately 2.71828. It is one of the most important numbers in mathematics. Like $\pi$ , it is irrational.

One place where $e$ appears is the formula for continuously compounded interest.

Vne

Trong Ví dụ 4, giá trị tăng khi số lần ghép lãi mỗi năm tăng. Nhưng giá trị không tăng vô hạn. Với lãi suất $r$ cố định, biểu thức dưới đây tiến tới $e^r$ (số $e$ được định nghĩa ở đoạn sau) khi $n$ tiến tới vô cực:

\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^n \to e^r \quad \text{khi } n \to \infty

Ở đây $e$ là một số cố định. Ta ước lượng $e$ bằng $\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$ với các giá trị $x$ tăng dần (Hình 0.24). Số $e$ xấp xỉ 2.71828. Đây là một trong những số quan trọng nhất của toán học. Giống như $\pi$ , $e$ là số vô tỉ.

Số $e$ xuất hiện trong công thức lãi kép liên tục.

Figure 0.24 · Graph and table of values

$x$	$f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$
1000	2.7169
2000	2.7176
3000	2.7178
4000	2.7179
5000	2.7180
6000	2.7181
7000	2.7181

Figure 0.24 ·

f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x

approaches

e \approx 2.718

x

grows

Vne

Hình 0.24 · Đồ thị và bảng giá trị

$x$	$f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$
1000	2.7169
2000	2.7176
3000	2.7178
4000	2.7179
5000	2.7180
6000	2.7181
7000	2.7181

Hình 0.24 ·

f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x

tiến tới

e \approx 2.718

khi

x

tăng

Continuously Compounded Interest Formula

If an account begins with principal $P$ and earns an annual interest rate $r$ compounded continuously, then the value of the account after $t$ years is $P e^{rt}$ .

Vne

Công thức lãi kép liên tục

Nếu một tài khoản bắt đầu với tiền gốc $P$ và có lãi suất năm $r$ được ghép lãi liên tục, thì giá trị của tài khoản sau $t$ năm là $P e^{rt}$ .

Example 5Continuously Compounded Interest

Bao deposits 4000 dollars in an account earning 3.6% annual interest. Find the value of the account in 12 years if the interest is compounded (a) daily (365 times per year); (b) continuously.

(a) $4000\left(1 + \dfrac{0.036}{365}\right)^{365 \cdot 12} \approx 6161.21$ , so the account is worth 6161.21 dollars.

(b) $4000e^{0.036 \cdot 12} = 4000e^{0.432} \approx 6161.34$ , so the account is worth 6161.34 dollars.

The difference between daily and continuous compounding is 0.13 dollars, or 13 cents.

Vne

Ví dụ 5Lãi kép liên tục

Bảo gửi 4000 đô la vào một tài khoản có lãi suất 3.6% một năm. Tính giá trị của tài khoản sau 12 năm nếu lãi được ghép (a) hằng ngày (365 lần mỗi năm); (b) liên tục.

(a) $4000\left(1 + \dfrac{0.036}{365}\right)^{365 \cdot 12} \approx 6161.21$ , nên tài khoản có giá trị 6161.21 đô la.

(b) $4000e^{0.036 \cdot 12} = 4000e^{0.432} \approx 6161.34$ , nên tài khoản có giá trị 6161.34 đô la.

Chênh lệch giữa ghép lãi hằng ngày và ghép lãi liên tục là 0.13 đô la, tức 13 cent.