AP CalculusLessonBài giảng 0.6 Trigonometric FunctionsHàm số lượng giác 0.5 P.1

0.6 Trigonometric Functions Hàm số lượng giác

1Radian Measure

Số đo radian

The radian measure of the angle $ACB$ at the center of the unit circle equals the length of the arc that $ACB$ cuts from the unit circle (Figure 0.36). For a circle of radius $r$ , the ratio $s/r$ gives the same radian measure.

Vne

Số đo radian của góc $ACB$ ở tâm đường tròn đơn vị bằng độ dài cung mà $ACB$ chắn trên đường tròn đơn vị (Hình 0.36). Với đường tròn bán kính $r$ , tỉ số $s/r$ cho cùng số đo radian.

Figure 0.36 · Radian measure

\theta

of angle

ACB

: the arc

AB

on the unit circle centered at

C

Vne

Hình 0.36 · Số đo radian

\theta

của góc

ACB

: cung

AB

trên đường tròn đơn vị tâm

C

Example 1Finding Arc Length

Find the length of an arc subtended on a circle of radius $4$ by a central angle of measure $\dfrac{3\pi}{4}$ .

According to Figure 0.36, if $s$ is the length of the arc, then

s = r\theta = 4\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 3\pi \approx 9.425

Vne

Ví dụ 1Tìm độ dài cung

Tìm độ dài cung chắn trên đường tròn bán kính $4$ bởi góc ở tâm có số đo $\dfrac{3\pi}{4}$ .

Theo Hình 0.36, nếu $s$ là độ dài cung thì

s = r\theta = 4\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 3\pi \approx 9.425

Standard position means the vertex is at the origin and the initial ray is the positive $x$ -axis. When an angle of measure $\theta$ is in standard position at the center of a circle of radius $r$ (Figure 0.37), its six basic trigonometric functions are defined as follows.

Vne

Vị trí chuẩn nghĩa là đỉnh nằm ở gốc tọa độ và tia đầu là tia dương của trục $x$ . Khi một góc có số đo $\theta$ ở vị trí chuẩn tại tâm đường tròn bán kính $r$ (Hình 0.37), sáu hàm lượng giác cơ bản của nó được định nghĩa như sau.

Definition · Six basic trigonometric functions

sine: $\sin\theta = \dfrac{y}{r}$ ; cosine: $\cos\theta = \dfrac{x}{r}$ ; tangent: $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$ ;

cosecant: $\csc\theta = \dfrac{r}{y}$ ; secant: $\sec\theta = \dfrac{r}{x}$ ; cotangent: $\cot\theta = \dfrac{x}{y}$ .

Vne

Định nghĩa · Sáu hàm lượng giác cơ bản

sin: $\sin\theta = \dfrac{y}{r}$ ; cos: $\cos\theta = \dfrac{x}{r}$ ; tan: $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$ ;

csc: $\csc\theta = \dfrac{r}{y}$ ; sec: $\sec\theta = \dfrac{r}{x}$ ; cot: $\cot\theta = \dfrac{x}{y}$ .

Figure 0.37 · An angle

\theta

in standard position: its terminal ray meets the circle of radius

r

P(x, y)

Vne

Hình 0.37 · Góc

\theta

ở vị trí chuẩn: tia cuối cắt đường tròn bán kính

r

tại

P(x, y)

Note · Notation

We omit the parentheses around the input when it is one term or a fraction, such as $\sin\dfrac{\pi}{6}$ . We use standard function notation, such as $\tan(\pi + 1)$ , if the input is more complex.

Vne

Ghi chú · Ký hiệu

Ta bỏ ngoặc quanh đối số khi đối số chỉ là một số hạng hoặc một phân số, chẳng hạn $\sin\dfrac{\pi}{6}$ . Ta dùng ký hiệu hàm chuẩn, chẳng hạn $\tan(\pi + 1)$ , nếu đối số phức tạp hơn.

2Graphs of Trigonometric Functions

Đồ thị của hàm lượng giác

When we graph trigonometric functions in the coordinate plane, we usually write the independent variable (in radians) as $x$ instead of $\theta$ . Figure 0.38 shows the graphs of the six basic functions.

Vne

Khi vẽ hàm lượng giác trong mặt phẳng tọa độ, ta thường đặt tên biến độc lập (đo bằng radian) là $x$ thay vì $\theta$ . Hình 0.38 cho đồ thị của sáu hàm cơ bản.

Figure 0.38 · Six basic trigonometric graphs (

k

is an integer)

(a)

y = \cos x

: domain

(-\infty, \infty)

, range

[-1, 1]

, period

2\pi

(b)

y = \sin x

: domain

(-\infty, \infty)

, range

[-1, 1]

, period

2\pi

(c)

y = \tan x

: domain

x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi

, range

(-\infty, \infty)

, period

\pi

(d)

y = \sec x

: domain

x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi

, range

(-\infty, -1] \cup [1, \infty)

, period

2\pi

(e)

y = \csc x

: domain

x \ne k\pi

, range

(-\infty, -1] \cup [1, \infty)

, period

2\pi

(f)

y = \cot x

: domain

x \ne k\pi

, range

(-\infty, \infty)

, period

\pi

Vne

Hình 0.38 · Đồ thị sáu hàm lượng giác cơ bản (

k

là số nguyên)

(a)

y = \cos x

: tập xác định

(-\infty, \infty)

, tập giá trị

[-1, 1]

, chu kỳ

2\pi

(b)

y = \sin x

: tập xác định

(-\infty, \infty)

, tập giá trị

[-1, 1]

, chu kỳ

2\pi

(c)

y = \tan x

: tập xác định

x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi

, tập giá trị

(-\infty, \infty)

, chu kỳ

\pi

(d)

y = \sec x

: tập xác định

x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi

, tập giá trị

(-\infty, -1] \cup [1, \infty)

, chu kỳ

2\pi

(e)

y = \csc x

: tập xác định

x \ne k\pi

, tập giá trị

(-\infty, -1] \cup [1, \infty)

, chu kỳ

2\pi

(f)

y = \cot x

: tập xác định

x \ne k\pi

, tập giá trị

(-\infty, \infty)

, chu kỳ

\pi

Exploration 1 · Unwrapping Trigonometric Functions (parts 1–2)

Set your grapher in radian mode, parametric mode, and simultaneous mode. Enter the parametric equations $x_1 = \cos t$ , $y_1 = \sin t$ , and $x_2 = t$ , $y_2 = \sin t$ .

Graph for $0 \le t \le 2\pi$ in a viewing window with $x$ from $-1.5$ to $2\pi$ and $y$ from $-2.5$ to $2.5$ . Describe the two curves. (You may wish to make the viewing window square.)
Use TRACE to compare the $y$ values of the two curves.

Vne

Khám phá 1 · Mở rộng hàm lượng giác (câu 1–2)

Đặt máy vẽ đồ thị ở chế độ radian, chế độ tham số và chế độ đồng thời. Nhập các phương trình tham số $x_1 = \cos t$ , $y_1 = \sin t$ , và $x_2 = t$ , $y_2 = \sin t$ .

Vẽ với $0 \le t \le 2\pi$ trong cửa sổ quan sát có $x$ từ $-1.5$ đến $2\pi$ và $y$ từ $-2.5$ đến $2.5$ . Mô tả hai đường cong. (Bạn có thể muốn làm cửa sổ quan sát vuông.)
Dùng TRACE để so sánh các giá trị $y$ của hai đường cong.

Exploration 1 · Unwrapping Trigonometric Functions (parts 3–5)

Repeat part 2 in a viewing window with $x$ from $-1.5$ to $4\pi$ and $y$ from $-5$ to $5$ , using the parameter interval $0 \le t \le 4\pi$ .
Let $y_2 = \cos t$ . Use TRACE to compare the $x$ values of curve 1 (the unit circle) with the $y$ values of curve 2, using the parameter intervals $[0, 2\pi]$ and $[0, 4\pi]$ .
Set $y_2 = \tan t$ , $\csc t$ , $\sec t$ , and $\cot t$ . Graph each in a viewing window with $x$ from $-1.5$ to $2\pi$ and $y$ from $-2.5$ to $2.5$ , using $0 \le t \le 2\pi$ . How is a $y$ value of curve 2 related to the corresponding point on curve 1? (Use TRACE to explore the curves.)

Vne

Khám phá 1 · Mở rộng hàm lượng giác (câu 3–5)

Lặp lại câu 2 trong cửa sổ quan sát có $x$ từ $-1.5$ đến $4\pi$ và $y$ từ $-5$ đến $5$ , với khoảng tham số $0 \le t \le 4\pi$ .
Cho $y_2 = \cos t$ . Dùng TRACE để so sánh các giá trị $x$ của đường cong 1 (đường tròn đơn vị) với các giá trị $y$ của đường cong 2, với các khoảng tham số $[0, 2\pi]$ và $[0, 4\pi]$ .
Đặt $y_2 = \tan t$ , $\csc t$ , $\sec t$ và $\cot t$ . Vẽ từng hàm trong cửa sổ quan sát có $x$ từ $-1.5$ đến $2\pi$ và $y$ từ $-2.5$ đến $2.5$ , với $0 \le t \le 2\pi$ . Giá trị $y$ của đường cong 2 liên hệ thế nào với điểm tương ứng trên đường cong 1? (Dùng TRACE để khám phá các đường cong.)

Exploration 1 · Answers

1. Curve 1 is the unit circle, traced once counterclockwise from $(1, 0)$ .

Curve 2 is the sine wave $y = \sin x$ for $0 \le x \le 2\pi$ .

2. At each $t$ , $y_1 = \sin t = y_2$ , so TRACE shows the same $y$ values.

3. For $0 \le t \le 4\pi$ the circle is traced twice, and the sine wave runs over two periods.

The $y$ values still match at each $t$ .

4. The $x$ value of curve 1 is $\cos t$ , and the $y$ value of curve 2 is $\cos t$ .

They match at each $t$ .

5. On curve 1, $(x, y) = (\cos t, \sin t)$ , so $\tan t = \dfrac{y}{x}$ , $\csc t = \dfrac{1}{y}$ , $\sec t = \dfrac{1}{x}$ , and $\cot t = \dfrac{x}{y}$ .

Each $y$ value of curve 2 is one of these ratios of the coordinates of the point on curve 1.

Vne

Khám phá 1 · Đáp án

1. Đường cong 1 là đường tròn đơn vị, được vẽ một vòng ngược chiều kim đồng hồ từ $(1, 0)$ .

Đường cong 2 là sóng sin $y = \sin x$ với $0 \le x \le 2\pi$ .

2. Với mỗi $t$ , $y_1 = \sin t = y_2$ , nên TRACE cho cùng giá trị $y$ .

3. Với $0 \le t \le 4\pi$ , đường tròn được vẽ hai vòng, và sóng sin chạy qua hai chu kỳ.

Các giá trị $y$ vẫn khớp nhau tại mỗi $t$ .

4. Giá trị $x$ của đường cong 1 là $\cos t$ , và giá trị $y$ của đường cong 2 là $\cos t$ .

Chúng khớp nhau tại mỗi $t$ .

5. Trên đường cong 1, $(x, y) = (\cos t, \sin t)$ , nên $\tan t = \dfrac{y}{x}$ , $\csc t = \dfrac{1}{y}$ , $\sec t = \dfrac{1}{x}$ và $\cot t = \dfrac{x}{y}$ .

Mỗi giá trị $y$ của đường cong 2 là một trong các tỉ số này của tọa độ điểm trên đường cong 1.

Angle convention: use radians

From now on in this text, all angles are measured in radians unless degrees or another unit is stated explicitly. When we talk about the angle $\pi/3$ , we mean $\pi/3$ radians, which is $60°$ , not $\pi/3$ degrees. When you do calculus, keep your calculator in radian mode.

Vne

Quy ước góc: dùng radian

Từ đây trở đi, mọi góc được đo bằng radian, trừ khi nêu rõ là độ hoặc đơn vị khác. Khi nói góc $\pi/3$ , ta hiểu là $\pi/3$ radian, tức $60°$ , chứ không phải $\pi/3$ độ. Khi làm giải tích, hãy đặt máy tính ở chế độ radian.

3Periodicity

Tính tuần hoàn

When an angle of measure $\theta$ and an angle of measure $\theta + 2\pi$ are in standard position, their terminal rays coincide. So the two angles have the same trigonometric function values:

\begin{aligned}\cos(\theta + 2\pi) &= \cos\theta, & \sin(\theta + 2\pi) &= \sin\theta, & \tan(\theta + 2\pi) &= \tan\theta \\ \sec(\theta + 2\pi) &= \sec\theta, & \csc(\theta + 2\pi) &= \csc\theta, & \cot(\theta + 2\pi) &= \cot\theta\end{aligned}\tag{1}

Similarly, $\cos(\theta - 2\pi) = \cos\theta$ , $\sin(\theta - 2\pi) = \sin\theta$ , and so on. The values of the trigonometric functions repeat at regular intervals. We describe this by saying that the six basic trigonometric functions are periodic.

Vne

Khi góc có số đo $\theta$ và góc có số đo $\theta + 2\pi$ cùng ở vị trí chuẩn, các tia cuối của chúng trùng nhau. Vì vậy hai góc có cùng giá trị hàm lượng giác:

\begin{aligned}\cos(\theta + 2\pi) &= \cos\theta, & \sin(\theta + 2\pi) &= \sin\theta, & \tan(\theta + 2\pi) &= \tan\theta \\ \sec(\theta + 2\pi) &= \sec\theta, & \csc(\theta + 2\pi) &= \csc\theta, & \cot(\theta + 2\pi) &= \cot\theta\end{aligned}\tag{1}

Tương tự, $\cos(\theta - 2\pi) = \cos\theta$ , $\sin(\theta - 2\pi) = \sin\theta$ , và cứ thế. Giá trị của các hàm lượng giác lặp lại theo các khoảng đều nhau. Ta nói sáu hàm lượng giác cơ bản là tuần hoàn (periodic).

Definition · Periodic function, period

A function $f(x)$ is periodic if there is a positive number $p$ such that $f(x + p) = f(x)$ for every value of $x$ . The smallest such value of $p$ is the period of $f$ .

Vne

Định nghĩa · Hàm tuần hoàn, chu kỳ

Hàm số $f(x)$ là tuần hoàn nếu có một số dương $p$ sao cho $f(x + p) = f(x)$ với mọi giá trị của $x$ . Giá trị nhỏ nhất của $p$ như vậy là chu kỳ của $f$ .

As we can see in Figure 0.38, the functions $\cos x$ , $\sin x$ , $\sec x$ , and $\csc x$ are periodic with period $2\pi$ . The functions $\tan x$ and $\cot x$ are periodic with period $\pi$ .

Vne

Như Hình 0.38 cho thấy, các hàm $\cos x$ , $\sin x$ , $\sec x$ và $\csc x$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ . Các hàm $\tan x$ và $\cot x$ tuần hoàn với chu kỳ $\pi$ .

4Even and Odd Trigonometric Functions

Hàm lượng giác chẵn và lẻ

The graphs in Figure 0.38 suggest that $\cos x$ and $\sec x$ are even functions, because their graphs are symmetric about the $y$ -axis. The other four basic trigonometric functions are odd.

Vne

Các đồ thị trong Hình 0.38 gợi ý rằng $\cos x$ và $\sec x$ là hàm số chẵn, vì đồ thị của chúng đối xứng qua trục $y$ . Bốn hàm lượng giác cơ bản còn lại là hàm số lẻ.

Example 2Confirming Even and Odd

Show that cosine is an even function and sine is an odd function.

From Figure 0.39 it follows that

$\cos(-\theta) = \dfrac{x}{r} = \cos\theta$	Cosine is even.
$\sin(-\theta) = \dfrac{-y}{r} = -\sin\theta$	Sine is odd.

so cosine is an even function and sine is an odd function.

Figure 0.39 · Angles

\theta

and

-\theta

P(x, y)

and

P'(x, -y)

are mirror images across the

x

-axis

Vne

Ví dụ 2Kiểm tra tính chẵn và lẻ

Chứng minh hàm cosin là hàm chẵn và hàm sin là hàm lẻ.

Từ Hình 0.39 suy ra

$\cos(-\theta) = \dfrac{x}{r} = \cos\theta$	Cosin là hàm chẵn.
$\sin(-\theta) = \dfrac{-y}{r} = -\sin\theta$	Sin là hàm lẻ.

nên cosin là hàm chẵn và sin là hàm lẻ.

Hình 0.39 · Góc

\theta

và

-\theta

P(x, y)

và

P'(x, -y)

đối xứng nhau qua trục

x

5Finding Trigonometric Values

Tìm giá trị lượng giác

Example 3Finding Trigonometric Values

Find all the trigonometric values of $\theta$ if $\sin\theta = -\dfrac{5}{13}$ and $\tan\theta \lt 0$ .

The angle $\theta$ is in the fourth quadrant (Figure 0.40).

Sine is negative in quadrants III and IV, and tangent is negative in quadrants II and IV, so $\theta$ is in quadrant IV.

From this figure we can read that

$\cos\theta = \dfrac{12}{13}$
$\tan\theta = -\dfrac{5}{12}$
$\csc\theta = -\dfrac{13}{5}$
$\sec\theta = \dfrac{13}{12}$
$\cot\theta = -\dfrac{12}{5}$

Figure 0.40 · The angle

\theta

in standard position, with

(12, -5)

on a circle of radius

13

Vne

Ví dụ 3Tìm giá trị lượng giác

Tìm tất cả các giá trị lượng giác của $\theta$ nếu $\sin\theta = -\dfrac{5}{13}$ và $\tan\theta \lt 0$ .

Góc $\theta$ nằm ở góc phần tư thứ tư (Hình 0.40).

Sin âm ở góc phần tư III và IV, còn tan âm ở góc phần tư II và IV, nên $\theta$ nằm ở góc phần tư IV.

Từ hình này ta đọc được

$\cos\theta = \dfrac{12}{13}$
$\tan\theta = -\dfrac{5}{12}$
$\csc\theta = -\dfrac{13}{5}$
$\sec\theta = \dfrac{13}{12}$
$\cot\theta = -\dfrac{12}{5}$

Hình 0.40 · Góc

\theta

ở vị trí chuẩn, với

(12, -5)

trên đường tròn bán kính

13

6Transformations of Trigonometric Graphs

Phép biến đổi của đồ thị hàm lượng giác

Transformations

The rules for shifting, stretching, shrinking, and reflecting the graph of a function apply to the trigonometric functions. In $y = a \cdot f(b(x - c)) + d$ , the parameters control the following:

$a$ : vertical stretch or shrink; reflection about the $x$ -axis.
$b$ : horizontal stretch or shrink; reflection about the $y$ -axis.
$c$ : horizontal shift.
$d$ : vertical shift.

Vne

Phép biến đổi

Các quy tắc dịch chuyển, kéo giãn, co và phản chiếu đồ thị của một hàm số cũng áp dụng cho các hàm lượng giác. Trong $y = a \cdot f(b(x - c)) + d$ , các tham số điều khiển như sau:

$a$ : kéo giãn hoặc co theo phương đứng; phản chiếu qua trục $x$ .
$b$ : kéo giãn hoặc co theo phương ngang; phản chiếu qua trục $y$ .
$c$ : dịch chuyển ngang.
$d$ : dịch chuyển đứng.

The general sine function, or sinusoid, can be written in the form $f(x) = A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ , where $|A|$ is the amplitude, $\left|\dfrac{2\pi}{B}\right|$ is the period, $C$ is the horizontal shift, and $D$ is the vertical shift.

Vne

Hàm sin tổng quát, hay sóng sin (sinusoid), có dạng $f(x) = A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ , trong đó $|A|$ là biên độ (amplitude), $\left|\dfrac{2\pi}{B}\right|$ là chu kỳ, $C$ là dịch chuyển ngang và $D$ là dịch chuyển đứng.

Example 4Graphing a Trigonometric Function

Determine the (a) period, (b) domain, (c) range, and (d) draw the graph of the function $y = 2\cos(2x - \pi) + 1$ .

We can rewrite the function in the form $y = 2\cos\left(2\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)\right) + 1$ .

(a) The period is given by $\left|\dfrac{2\pi}{B}\right|$ , where $B = 2$ .

The period is $\pi$ .

(b) The domain is $(-\infty, \infty)$ .

(c) The graph is a basic cosine curve with amplitude $2$ that has been shifted right $\dfrac{\pi}{2}$ units and up $1$ unit.

Thus the range is $[-1, 3]$ .

(d) Figure 0.41 shows the graph together with $y = \cos x$ .

Figure 0.41 ·

y = 2\cos(2x - \pi) + 1

(shifted right

\dfrac{\pi}{2}

) and

y = \cos x

; viewing window

[-2\pi, 2\pi]

[-4, 6]

Vne

Ví dụ 4Vẽ một hàm lượng giác

Xác định (a) chu kỳ, (b) tập xác định, (c) tập giá trị và (d) vẽ đồ thị của hàm số $y = 2\cos(2x - \pi) + 1$ .

Ta viết lại hàm số dưới dạng $y = 2\cos\left(2\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)\right) + 1$ .

(a) Chu kỳ là $\left|\dfrac{2\pi}{B}\right|$ , với $B = 2$ .

Chu kỳ là $\pi$ .

(b) Tập xác định là $(-\infty, \infty)$ .

(c) Đồ thị là một đường cosin cơ bản có biên độ $2$ , được dịch sang phải $\dfrac{\pi}{2}$ đơn vị và lên trên $1$ đơn vị.

Vậy tập giá trị là $[-1, 3]$ .

(d) Hình 0.41 cho thấy đồ thị cùng với đồ thị $y = \cos x$ .

Hình 0.41 ·

y = 2\cos(2x - \pi) + 1

(dịch phải

\dfrac{\pi}{2}

) và

y = \cos x

; cửa sổ quan sát

[-2\pi, 2\pi]

theo

[-4, 6]

Musical notes are produced by pressure waves in the air. A sinusoid can model such a wave: the amplitude affects the loudness, and the period affects the pitch we hear. The reciprocal of the period is the frequency, which describes the pitch. We measure frequency in cycles per second, or hertz (1 Hz = 1 cycle per second).

Vne

Nốt nhạc được tạo ra bởi các sóng áp suất trong không khí. Một sóng sin có thể mô hình hóa sóng này: biên độ ảnh hưởng đến độ to, còn chu kỳ ảnh hưởng đến cao độ (pitch) ta nghe thấy. Nghịch đảo của chu kỳ là tần số (frequency), dùng để mô tả cao độ. Ta đo tần số bằng số chu kỳ mỗi giây, hay héc (hertz; 1 Hz = 1 chu kỳ mỗi giây).

Example 5Finding the Frequency of a Musical Note

A computer analyzes the wave from a tuning fork and gives its pressure displacement as $y = 0.7\sin(2071x - 1.3) + 0.25$ . Here $x$ is time in seconds. Estimate the frequency of the note produced by the tuning fork.

The period is $\dfrac{2\pi}{2071}$ , so the frequency is $\dfrac{2071}{2\pi} \approx 329.61$ Hz.

(The amplitude $0.7$ , the horizontal shift, and the vertical shift do not affect the frequency.)

On a piano tuned to equal temperament with A4 = 440 Hz, the E above middle C is 329.63 Hz.

The fork's note at 329.61 Hz is about 0.02 Hz away from it.

Vne

Ví dụ 5Tìm tần số của một nốt nhạc

Một máy tính phân tích sóng do âm thoa tạo ra và cho độ lệch áp suất là $y = 0.7\sin(2071x - 1.3) + 0.25$ . Ở đây $x$ là thời gian tính bằng giây. Ước lượng tần số của nốt nhạc do âm thoa phát ra.

Chu kỳ là $\dfrac{2\pi}{2071}$ , nên tần số là $\dfrac{2071}{2\pi} \approx 329.61$ Hz.

(Biên độ $0.7$ , dịch chuyển ngang và dịch chuyển đứng không ảnh hưởng đến tần số.)

Trên đàn piano lên dây theo thang âm đều với A4 = 440 Hz, nốt E trên Đô giữa là 329.63 Hz.

Nốt của âm thoa ở 329.61 Hz lệch khoảng 0.02 Hz so với nốt này.

7Inverse Trigonometric Functions

Hàm lượng giác ngược

None of the six basic trigonometric functions graphed in Figure 0.38 is one-to-one, so none has an inverse. However, in each case the domain can be restricted to produce a new function that does have an inverse, as illustrated in Example 6.

Vne

Không hàm lượng giác cơ bản nào trong Hình 0.38 là một-một, nên không hàm nào có hàm ngược. Tuy vậy, trong mỗi trường hợp ta có thể thu hẹp tập xác định để được một hàm mới có hàm ngược, như minh họa trong Ví dụ 6.

Example 6Restricting the Domain of a Sine Function

Show that the function $y = \sin 2x$ , $-\dfrac{\pi}{4} \le x \le \dfrac{\pi}{4}$ , is one-to-one, and graph its inverse.

Figure 0.42a shows the graph of this restricted function using the parametric equations

x_1 = t

y_1 = \sin 2t

-\dfrac{\pi}{4} \le t \le \dfrac{\pi}{4}

As $x$ increases from $-\dfrac{\pi}{4}$ to $\dfrac{\pi}{4}$ , $\sin 2x$ increases from $-1$ to $1$ .

So this restricted function does not repeat any output value and is one-to-one.

It therefore has an inverse, which we graph in Figure 0.42b by interchanging the ordered pairs:

x_2 = \sin 2t

y_2 = t

-\dfrac{\pi}{4} \le t \le \dfrac{\pi}{4}

Figure 0.42a ·

y = \sin 2x

-\dfrac{\pi}{4} \le x \le \dfrac{\pi}{4}

; viewing window

[-3, 3]

[-2, 2]

Figure 0.42b · The inverse,

x = \sin 2t

y = t

; viewing window

[-3, 3]

[-2, 2]

Vne

Ví dụ 6Thu hẹp tập xác định của hàm sin

Chứng minh hàm số $y = \sin 2x$ , $-\dfrac{\pi}{4} \le x \le \dfrac{\pi}{4}$ , là một-một, và vẽ hàm ngược của nó.

Hình 0.42a cho đồ thị của hàm đã thu hẹp bằng phương trình tham số

x_1 = t

y_1 = \sin 2t

-\dfrac{\pi}{4} \le t \le \dfrac{\pi}{4}

Khi $x$ tăng từ $-\dfrac{\pi}{4}$ đến $\dfrac{\pi}{4}$ , $\sin 2x$ tăng từ $-1$ đến $1$ .

Vậy hàm đã thu hẹp không lặp lại giá trị đầu ra nào và là một-một.

Do đó nó có hàm ngược, và ta vẽ hàm ngược trong Hình 0.42b bằng cách đổi chỗ các cặp có thứ tự:

x_2 = \sin 2t

y_2 = t

-\dfrac{\pi}{4} \le t \le \dfrac{\pi}{4}

Hình 0.42a ·

y = \sin 2x

-\dfrac{\pi}{4} \le x \le \dfrac{\pi}{4}

; cửa sổ quan sát

[-3, 3]

theo

[-2, 2]

Hình 0.42b · Hàm ngược,

x = \sin 2t

y = t

; cửa sổ quan sát

[-3, 3]

theo

[-2, 2]

The inverse of the sine function restricted to $-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ is the inverse sine function. The inverse sine of $x$ is the angle in $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ whose sine is $x$ . It is denoted $\sin^{-1} x$ or $\arcsin x$ . Either notation is read “arcsine of $x$ ” or “the inverse sine of $x$ .”

Vne

Hàm ngược của hàm sin thu hẹp trên $-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ là hàm sin ngược (inverse sine function). Sin ngược của $x$ là góc trong $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ có sin bằng $x$ . Ký hiệu là $\sin^{-1} x$ hoặc $\arcsin x$ , đọc là “arcsin của $x$ ” hoặc “hàm sin ngược của $x$ ”.

The domains of the other basic trigonometric functions can also be restricted to produce a function with an inverse. The domains and ranges of the resulting inverse functions become parts of their definitions.

Vne

Tập xác định của các hàm lượng giác cơ bản khác cũng có thể được thu hẹp để có hàm ngược. Tập xác định và tập giá trị của các hàm ngược thu được trở thành một phần của định nghĩa.

Definitions · Inverse trigonometric functions

Function	Domain	Range
$y = \cos^{-1} x$	$-1 \le x \le 1$	$0 \le y \le \pi$
$y = \sin^{-1} x$	$-1 \le x \le 1$	$-\dfrac{\pi}{2} \le y \le \dfrac{\pi}{2}$
$y = \tan^{-1} x$	$-\infty \lt x \lt \infty$	$-\dfrac{\pi}{2} \lt y \lt \dfrac{\pi}{2}$
$y = \sec^{-1} x$	$\lvert x \rvert \ge 1$	$0 \le y \le \pi$ , $y \ne \dfrac{\pi}{2}$
$y = \csc^{-1} x$	$\lvert x \rvert \ge 1$	$-\dfrac{\pi}{2} \le y \le \dfrac{\pi}{2}$ , $y \ne 0$
$y = \cot^{-1} x$	$-\infty \lt x \lt \infty$	$0 \lt y \lt \pi$

Vne

Định nghĩa · Hàm lượng giác ngược

Hàm số	Tập xác định	Tập giá trị
$y = \cos^{-1} x$	$-1 \le x \le 1$	$0 \le y \le \pi$
$y = \sin^{-1} x$	$-1 \le x \le 1$	$-\dfrac{\pi}{2} \le y \le \dfrac{\pi}{2}$
$y = \tan^{-1} x$	$-\infty \lt x \lt \infty$	$-\dfrac{\pi}{2} \lt y \lt \dfrac{\pi}{2}$
$y = \sec^{-1} x$	$\lvert x \rvert \ge 1$	$0 \le y \le \pi$ , $y \ne \dfrac{\pi}{2}$
$y = \csc^{-1} x$	$\lvert x \rvert \ge 1$	$-\dfrac{\pi}{2} \le y \le \dfrac{\pi}{2}$ , $y \ne 0$
$y = \cot^{-1} x$	$-\infty \lt x \lt \infty$	$0 \lt y \lt \pi$

Figure 0.43 · Graphs of the six inverse trigonometric functions (dashed lines mark the boundaries)

(a)

y = \cos^{-1} x

: domain

-1 \le x \le 1

, range

0 \le y \le \pi

(b)

y = \sin^{-1} x

: domain

-1 \le x \le 1

, range

-\dfrac{\pi}{2} \le y \le \dfrac{\pi}{2}

(c)

y = \tan^{-1} x

: domain

-\infty \lt x \lt \infty

, range

-\dfrac{\pi}{2} \lt y \lt \dfrac{\pi}{2}

(d)

y = \sec^{-1} x

: domain

\lvert x \rvert \ge 1

, range

0 \le y \le \pi

y \ne \dfrac{\pi}{2}

(e)

y = \csc^{-1} x

: domain

\lvert x \rvert \ge 1

, range

-\dfrac{\pi}{2} \le y \le \dfrac{\pi}{2}

y \ne 0

(f)

y = \cot^{-1} x

: domain

-\infty \lt x \lt \infty

, range

0 \lt y \lt \pi

Vne

Hình 0.43 · Đồ thị của sáu hàm lượng giác ngược (nét đứt là biên)

(a)

y = \cos^{-1} x

: tập xác định

-1 \le x \le 1

, tập giá trị

0 \le y \le \pi

(b)

y = \sin^{-1} x

: tập xác định

-1 \le x \le 1

, tập giá trị

-\dfrac{\pi}{2} \le y \le \dfrac{\pi}{2}

(c)

y = \tan^{-1} x

: tập xác định

-\infty \lt x \lt \infty

, tập giá trị

-\dfrac{\pi}{2} \lt y \lt \dfrac{\pi}{2}

(d)

y = \sec^{-1} x

: tập xác định

\lvert x \rvert \ge 1

, tập giá trị

0 \le y \le \pi

y \ne \dfrac{\pi}{2}

(e)

y = \csc^{-1} x

: tập xác định

\lvert x \rvert \ge 1

, tập giá trị

-\dfrac{\pi}{2} \le y \le \dfrac{\pi}{2}

y \ne 0

(f)

y = \cot^{-1} x

: tập xác định

-\infty \lt x \lt \infty

, tập giá trị

0 \lt y \lt \pi

Example 7Finding Angles in Degrees and Radians

Find the measure of $\cos^{-1}(-0.6)$ in degrees and in radians.

Put the calculator in degree mode and enter $\cos^{-1}(-0.6)$ .

The calculator returns $126.87$ , which means $126.87$ degrees.

Now put the calculator in radian mode and enter $\cos^{-1}(-0.6)$ .

The calculator returns $2.2143$ , which is the measure of the angle in radians.

Vne

Ví dụ 7Tìm góc theo độ và radian

Tìm số đo của $\cos^{-1}(-0.6)$ theo độ và theo radian.

Đặt máy tính ở chế độ độ và nhập $\cos^{-1}(-0.6)$ .

Máy cho $126.87$ , nghĩa là $126.87$ độ.

Bây giờ đặt máy tính ở chế độ radian và nhập $\cos^{-1}(-0.6)$ .

Máy cho $2.2143$ , là số đo của góc theo radian.

Example 8(a)Using the Inverse Trigonometric Functions

Solve for $x$ : $\sin x = 0.6$ in $0 \le x \lt 2\pi$ .

$x_1 = \sin^{-1}(0.6) \approx 0.6435$	The angle in the first quadrant with sine $0.6$ .
$x_2 = \pi - \sin^{-1}(0.6) \approx 2.4981$	The angle $\pi - x_1$ lies in the second quadrant and has sine $0.6$ .

Both solutions lie in $0 \le x \lt 2\pi$ .

Vne

Ví dụ 8(a)Dùng hàm lượng giác ngược

Giải $x$ : $\sin x = 0.6$ trong $0 \le x \lt 2\pi$ .

$x_1 = \sin^{-1}(0.6) \approx 0.6435$	Góc ở góc phần tư thứ nhất có sin bằng $0.6$ .
$x_2 = \pi - \sin^{-1}(0.6) \approx 2.4981$	Góc $\pi - x_1$ nằm ở góc phần tư thứ hai và có sin bằng $0.6$ .

Cả hai nghiệm nằm trong $0 \le x \lt 2\pi$ .

Example 8(b)Using the Inverse Trigonometric Functions

Solve for $x$ : $\tan x = -3$ in $-\infty \lt x \lt \infty$ .

The angle $x = \tan^{-1}(-3) \approx -1.2490$ is in the fourth quadrant.

It is the only solution in $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ , where $\tan x$ is one-to-one.

Since $\tan x$ is periodic with period $\pi$ , the solutions are of the form

\tan^{-1}(-3) + k\pi \approx -1.2490 + k\pi

where

k

is any integer.

Vne

Ví dụ 8(b)Dùng hàm lượng giác ngược

Giải $x$ : $\tan x = -3$ trong $-\infty \lt x \lt \infty$ .

Góc $x = \tan^{-1}(-3) \approx -1.2490$ nằm ở góc phần tư thứ tư.

Đây là nghiệm duy nhất trong $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ , nơi $\tan x$ là một-một.

Vì $\tan x$ tuần hoàn với chu kỳ $\pi$ , các nghiệm có dạng

\tan^{-1}(-3) + k\pi \approx -1.2490 + k\pi

với

k

là số nguyên bất kỳ.