AP CalculusLessonBài giảng 0.1 Linear FunctionsHàm số tuyến tính Home 0.2

0.1 Linear Functions Hàm số tuyến tính

1Increments and Slope

Số gia và hệ số góc

Calculus studies change: if one quantity changes, what happens to another?

Vne

Giải tích nghiên cứu sự thay đổi: một đại lượng thay đổi thì đại lượng khác thay đổi ra sao?

Increments

Số gia

Definition · Increment

The amount a variable changes, say from $x_1$ to $x_2$ , is its increment:

\begin{aligned}\Delta x &= x_2 - x_1\\ \Delta y &= y_2 - y_1\end{aligned}

Say “delta $x$ ” (or “change in $x$ ”) for $\Delta x$ . The symbol $\Delta$ is a capital Greek D, short for difference. An increment may be positive, negative, or zero.

Vne

Định nghĩa · Số gia

Lượng thay đổi của một biến, chẳng hạn từ $x_1$ đến $x_2$ , gọi là số gia của biến đó:

\begin{aligned}\Delta x &= x_2 - x_1\\ \Delta y &= y_2 - y_1\end{aligned}

$\Delta x$ đọc là “đen-ta $x$ ” (hay “độ thay đổi của $x$ ”). Ký hiệu $\Delta$ là chữ D hoa trong tiếng Hy Lạp, viết tắt của difference (hiệu). Số gia có thể dương, âm hoặc bằng 0.

Careful

$\Delta x$ is one symbol, not a product “ $\Delta \cdot x$ ”.

Vne

Lưu ý

$\Delta x$ là một ký hiệu, không phải tích “ $\Delta \cdot x$ ”.

Example 1Computing increments

(a) Going from $(2,-4)$ to $(5,3)$ , what are $\Delta x$ and $\Delta y$ ? Do the same going from $(4,7)$ to $(4,2)$ .

(b) A diver goes from $d_1 = 10$ m down to $d_2 = 30$ m, and the pressure goes from $p_1 = 1.994$ to $p_2 = 3.982$ atmospheres. Find $\Delta d$ and $\Delta p$ .

(a) $\Delta x = 5 - 2 = 3$ , $\Delta y = 3 - (-4) = 7$ .

$\Delta x = 4 - 4 = 0$ , $\Delta y = 2 - 7 = -5$ .

(b) $\Delta d = 30 - 10 = 20$ m, $\Delta p = 3.982 - 1.994 = 1.988$ atm.

(a) from (2, −4) to (5, 3): Δx = 3, Δy = 7

Vne

Ví dụ 1Tính số gia

(a) Đi từ $(2,-4)$ đến $(5,3)$ thì $\Delta x$ , $\Delta y$ bằng bao nhiêu? Làm tương tự khi đi từ $(4,7)$ đến $(4,2)$ .

(b) Thợ lặn xuống từ độ sâu $d_1 = 10$ m đến $d_2 = 30$ m, áp suất đổi từ $p_1 = 1.994$ thành $p_2 = 3.982$ atm. Tính $\Delta d$ và $\Delta p$ .

(a) $\Delta x = 5 - 2 = 3$ , $\Delta y = 3 - (-4) = 7$ .

$\Delta x = 4 - 4 = 0$ , $\Delta y = 2 - 7 = -5$ .

(b) $\Delta d = 30 - 10 = 20$ m, $\Delta p = 3.982 - 1.994 = 1.988$ atm.

(a) từ (2, −4) đến (5, 3): Δx = 3, Δy = 7

Linear functions and slope

Hàm số tuyến tính và hệ số góc

Definition · Linear function

We call $y$ a linear function of $x$ when the ratio $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ is the same for every $\Delta x \ne 0$ :

\frac{\Delta y}{\Delta x} = k

where $k$ is a constant. Equivalently, $\Delta y = k\,\Delta x$ .

Vne

Định nghĩa · Hàm số tuyến tính

$y$ gọi là hàm số tuyến tính của $x$ khi tỉ số $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ luôn bằng nhau với mọi $\Delta x \ne 0$ :

\frac{\Delta y}{\Delta x} = k

trong đó $k$ là hằng số. Nói cách khác, $\Delta y = k\,\Delta x$ .

Tỉ số này cho biết $y$ thay đổi bao nhiêu khi $x$ thay đổi.

That fixed ratio has two names, rate of change and sensitivity: it measures how much $y$ reacts when $x$ changes. Graphed, a linear function is a straight line, and the fixed ratio is the line's slope.

Vne

Tỉ số cố định đó có hai tên gọi: tốc độ thay đổi (rate of change) và độ nhạy (sensitivity). Nó đo mức $y$ phản ứng khi $x$ thay đổi. Đồ thị của hàm tuyến tính là một đường thẳng, và tỉ số cố định ấy là hệ số góc của đường thẳng.

Definition · Slope

Take any two points $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ on the line, with $x_1 \ne x_2$ . Its slope is

m = \frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

In Figure 0.1, $\Delta x$ is the run and $\Delta y$ is the rise.

Vne

Định nghĩa · Hệ số góc

Lấy hai điểm bất kỳ $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ trên đường thẳng, với $x_1 \ne x_2$ . Hệ số góc là

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

tức là độ cao chia độ dài ngang (rise / run). Trên Hình 0.1, $\Delta x$ là độ dài ngang (run) và $\Delta y$ là độ cao (rise).

Figure 0.1 ·

m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}

Vne

Hình 0.1 ·

m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}

, độ cao chia độ dài ngang.

$m > 0$
rises left to right

$m < 0$
falls left to right

$m = 0$ ( $\Delta y = 0$ )
horizontal

$\Delta x = 0$
vertical: no slope

Vne

$m > 0$
tăng từ trái sang phải

$m < 0$
giảm từ trái sang phải

$m = 0$ ( $\Delta y = 0$ )
nằm ngang

$\Delta x = 0$
thẳng đứng: không có hệ số góc

Example 2From slope to a missing coordinate

A line with slope $m = -3$ goes through $(1, 4)$ . What is its y-value at $x = 2.5$ ?

$\Delta x = 2.5 - 1 = 1.5$ .

Since $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = -3$ : $\Delta y = -3 \cdot 1.5 = -4.5$ .

So the y-value is $4 + (-4.5) = -0.5$ .

Vne

Ví dụ 2Từ hệ số góc tìm tọa độ còn thiếu

Đường thẳng có hệ số góc $m = -3$ đi qua $(1, 4)$ . Tại hoành độ $x = 2.5$ , tung độ trên đường thẳng là bao nhiêu?

$\Delta x = 2.5 - 1 = 1.5$ .

Vì $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = -3$ nên $\Delta y = -3 \cdot 1.5 = -4.5$ .

Vậy tung độ là $4 + (-4.5) = -0.5$ .

Example 3More values from a linear function

A diver's pressure $p$ depends linearly on depth $d$ . It is 1.994 atm at 10 m, and every extra 4 m adds 0.3976 atm. What is the pressure at 15 m, 30 m, and 6 m?

Because the function is linear, $\Delta p / \Delta d$ stays the same:

\frac{\Delta p}{\Delta d} = \frac{0.3976}{4} = 0.0994 \text{ atm/m}

Hence $\Delta p = 0.0994\,\Delta d$ .

Measuring from $d = 10$ , $p = 1.994$ :

Depth	$\Delta d$	$\Delta p$	Pressure (atm)
15 m	5	0.497	1.994 + 0.497 = 2.491
30 m	20	1.988	1.994 + 1.988 = 3.982
6 m	−4	−0.3976	1.994 − 0.3976 = 1.5964

Vne

Ví dụ 3Tính thêm giá trị của hàm tuyến tính

Áp suất $p$ của thợ lặn phụ thuộc tuyến tính vào độ sâu $d$ . Ở độ sâu 10 m, áp suất là 1.994 atm; cứ xuống thêm 4 m, áp suất tăng thêm 0.3976 atm. Áp suất ở 15 m, 30 m và 6 m là bao nhiêu?

Vì hàm số tuyến tính nên $\Delta p / \Delta d$ không đổi:

\frac{\Delta p}{\Delta d} = \frac{0.3976}{4} = 0.0994 \text{ atm/m}

Do đó $\Delta p = 0.0994\,\Delta d$ .

Lấy mốc $d = 10$ , $p = 1.994$ :

Độ sâu	$\Delta d$	$\Delta p$	Áp suất (atm)
15 m	5	0.497	1.994 + 0.497 = 2.491
30 m	20	1.988	1.994 + 1.988 = 3.982
6 m	−4	−0.3976	1.994 − 0.3976 = 1.5964

Example 4Writing the linear model

Using the data of Example 3, write the equation for $p$ in terms of $d$ .

Going from depth 10 to a general depth $d$ , the pressure goes from 1.994 to $p$ .

Thus $\Delta p = p - 1.994$ , $\Delta d = d - 10$ , and their ratio is again 0.0994:

\begin{aligned}\frac{p - 1.994}{d - 10} &= 0.0994, \quad d \ne 10\\ p &= 1.994 + 0.0994(d - 10)\end{aligned}

Check: $d = 30 \Rightarrow p = 1.994 + 1.988 = 3.982$ ✓ (as in Example 3)

Vne

Ví dụ 4Viết phương trình mô hình

Dùng số liệu của Ví dụ 3, viết phương trình biểu diễn $p$ theo $d$ .

Đi từ độ sâu 10 đến độ sâu $d$ bất kỳ, áp suất đi từ 1.994 đến $p$ .

Do đó $\Delta p = p - 1.994$ , $\Delta d = d - 10$ , và tỉ số của chúng vẫn là 0.0994:

\begin{aligned}\frac{p - 1.994}{d - 10} &= 0.0994, \quad d \ne 10\\ p &= 1.994 + 0.0994(d - 10)\end{aligned}

Kiểm tra: $d = 30 \Rightarrow p = 1.994 + 1.988 = 3.982$ ✓ (khớp Ví dụ 3)

2Point-Slope Equation

Phương trình dạng điểm – hệ số góc

There are several ways to write a linear relationship. For calculus, the most useful is the point-slope equation, which needs only a point on the line and its slope.

Suppose $(x_0, y_0)$ lies on the line. Any other point $(x, y)$ on it gives the slope $\dfrac{y - y_0}{x - x_0} = m$ . Clearing the denominator gives an equation that is true at $(x_0, y_0)$ as well.

Vne

Một quan hệ tuyến tính có thể viết theo vài cách. Với giải tích, hữu ích nhất là phương trình dạng điểm – hệ số góc: chỉ cần một điểm trên đường thẳng và hệ số góc của nó.

Giả sử $(x_0, y_0)$ thuộc đường thẳng. Mọi điểm $(x, y)$ khác trên đường thẳng đều cho hệ số góc $\dfrac{y - y_0}{x - x_0} = m$ . Khử mẫu, ta được một phương trình đúng cả tại $(x_0, y_0)$ .

Definition · Point-slope equation

The line through $(x_0, y_0)$ with slope $m$ has point-slope equation

y = y_0 + m(x - x_0)

which is the same as $y - y_0 = m(x - x_0)$ .

Vne

Định nghĩa · Phương trình dạng điểm – hệ số góc

Đường thẳng đi qua $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $m$ có phương trình

y = y_0 + m(x - x_0)

tương đương $y - y_0 = m(x - x_0)$ .

Why prefer it to $y = mx + b$ ?

The formula shows a point $(x_0, y_0)$ of the line right away.
It is used often in calculus.

Vne

Vì sao ưu tiên dạng này hơn $y = mx + b$ ?

Công thức cho thấy ngay một điểm $(x_0, y_0)$ của đường thẳng.
Dạng này được dùng thường xuyên trong giải tích.

Example 5Writing a point-slope equation

Write the point-slope equation of the line through $(3, -2)$ with slope 4.

With $m = 4$ and $(x_0, y_0) = (3, -2)$ :

y = -2 + 4(x - 3)

Watch the denominator

The answer $\dfrac{y + 2}{x - 3} = 4$ is wrong.

At $x = 3$ it is undefined, so the point $(3, -2)$ is missing from its graph.

Vne

Ví dụ 5Viết phương trình dạng điểm – hệ số góc

Viết phương trình dạng điểm – hệ số góc của đường thẳng qua $(3, -2)$ , có hệ số góc 4.

Với $m = 4$ và $(x_0, y_0) = (3, -2)$ :

y = -2 + 4(x - 3)

Coi chừng mẫu số

Đáp án $\dfrac{y + 2}{x - 3} = 4$ là sai.

Tại $x = 3$ biểu thức không xác định, nên đồ thị bị thiếu điểm $(3, -2)$ .

A horizontal line through $(a, b)$ has slope 0: $y = b + 0(x - a)$ , which is just $y = b$ .

A vertical line through $(a, b)$ has no slope; its equation is $x = a$ .

Vne

Đường nằm ngang qua $(a, b)$ có hệ số góc 0: $y = b + 0(x - a)$ , gọn lại là $y = b$ .

Đường thẳng đứng qua $(a, b)$ không có hệ số góc; phương trình của nó là $x = a$ .

Figure 0.2 ·

x = 3

and

y = -2

through

(3, -2)

Vne

Hình 0.2 ·

x = 3

và

y = -2

qua

(3, -2)

3Other Linear Equation Forms

Các dạng khác của phương trình đường thẳng

Since the point-slope equation does almost everything we need, two other familiar forms will rarely appear. For reference, here they are.

Vne

Vì dạng điểm – hệ số góc đáp ứng gần như mọi nhu cầu, hai dạng quen thuộc khác sẽ ít khi được dùng. Để tham khảo, đó là:

Definition · Slope-intercept and general forms

Slope-intercept equation (slope $m$ , through $(0, b)$ ):

y = mx + b

$b$ is the y-intercept. Likewise, if the line crosses the x-axis at $(a, 0)$ , then $a$ is the x-intercept.

General linear equation:

Ax + By = C

( $A$ , $B$ not both $0$ )

Vne

Định nghĩa · Dạng hệ số góc – tung độ gốc và dạng tổng quát

Dạng hệ số góc – tung độ gốc (hệ số góc $m$ , đi qua $(0, b)$ ):

y = mx + b

$b$ gọi là tung độ gốc (y-intercept). Tương tự, nếu đường thẳng cắt trục Ox tại $(a, 0)$ thì $a$ gọi là hoành độ giao điểm với trục Ox (x-intercept).

Dạng tổng quát:

Ax + By = C

(với $A$ , $B$ không đồng thời bằng $0$ )

Figure 0.3 · slope

m

, y-intercept

b

Vne

Hình 0.3 · hệ số góc

m

, tung độ gốc

b

Slope-intercept suits real situations made of a fixed amount plus a proportional amount. For example, a weekly pay $y = mx + b$ is a base salary $b$ plus a commission rate $m$ times sales $x$ (for example $m = 0.05$ means 5%). A nonvertical line can be written in this form in exactly one way.
General form is handy when solving systems of linear equations. Only this form can write a vertical line, because the others need a number for the slope $m$ . A vertical line is not the graph of a function: one $x$ would give many $y$ -values.

Vne

Dạng hệ số góc – tung độ gốc hợp với tình huống thực tế. Đó là một khoản cố định cộng một khoản tỉ lệ. Ví dụ, tiền lương tuần $y = mx + b$ gồm lương cơ bản $b$ cộng hoa hồng bằng $m$ nhân doanh số $x$ (ví dụ $m = 0.05$ ứng với 5%). Mỗi đường thẳng không thẳng đứng chỉ viết được theo dạng này một cách duy nhất.
Dạng tổng quát tiện khi giải hệ phương trình bậc nhất. Chỉ dạng này viết được đường thẳng đứng, vì các dạng kia cần một số làm hệ số góc $m$ . Đường thẳng đứng không phải đồ thị của hàm số: một giá trị $x$ sẽ cho nhiều giá trị $y$ .

4Parallel and Perpendicular Lines

Đường thẳng song song và vuông góc

Parallel lines

m_1 = m_2

equal slopes

Parallel: lines at equal angles to the x-axis have equal slopes. The reverse also holds: equal slopes mean equal angles, so the lines are parallel.

Figure 0.4 · slope triangles of parallel lines

Vne

Hai đường song song

m_1 = m_2

hệ số góc bằng nhau

Song song: hai đường tạo với trục Ox các góc bằng nhau thì có hệ số góc bằng nhau. Điều ngược lại cũng đúng: hệ số góc bằng nhau thì góc bằng nhau, nên hai đường song song.

Hình 0.4 · tam giác hệ số góc của hai đường thẳng song song.

Perpendicular lines

m_1 m_2 = -1 \;\Leftrightarrow\; m_2 = -\frac{1}{m_1}

negative reciprocals (both lines have slopes; a horizontal and a vertical line are also perpendicular)

Perpendicular: $L_1$ has slope $\dfrac{a}{b}$ : go $b$ across, $a$ up. The triangle on $L_2$ is the same triangle turned 90°, so rise and run swap and the sign flips: $L_2$ has slope $-\dfrac{b}{a}$ , and $\dfrac{a}{b}\cdot\left(-\dfrac{b}{a}\right) = -1$ . The angle where the lines meet is made of the two acute angles of the right triangle. Those two angles add up to 90°.

Figure 0.5 · slope triangles of perpendicular lines

Vne

Hai đường vuông góc

m_1 m_2 = -1 \;\Leftrightarrow\; m_2 = -\frac{1}{m_1}

số đối của nghịch đảo của

m_1

(lật ngược rồi đổi dấu; cả hai đường đều có hệ số góc; đường nằm ngang và đường thẳng đứng cũng vuông góc)

Vuông góc: $L_1$ có hệ số góc $\dfrac{a}{b}$ : đi ngang $b$ , đi lên $a$ . Tam giác trên $L_2$ là tam giác đó xoay 90°. Vì vậy độ cao và độ dài ngang đổi chỗ, và dấu bị đảo: $L_2$ có hệ số góc $-\dfrac{b}{a}$ . Ta có $\dfrac{a}{b}\cdot\left(-\dfrac{b}{a}\right) = -1$ . Góc giao nhau của hai đường được tạo bởi hai góc nhọn của tam giác vuông. Hai góc này có tổng bằng 90°.

Hình 0.5 · tam giác hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc.

Example 6(a)A parallel line

Write an equation of the line through $(2,-1)$ that is parallel to $y = 3x + 4$ .

Slope: $y = 3x + 4$ has slope 3.

A parallel line has the same slope, so $m = 3$ .

Point: $(x_0, y_0) = (2, -1)$ .

Apply the formula: $y - y_0 = m(x - x_0)$

\begin{aligned} y - (-1) &= 3(x - 2)\\ y + 1 &= 3(x - 2)\\ y &= 3(x - 2) - 1\\ &= 3x - 7 \end{aligned}

Check: $x = 2 \Rightarrow y = 6 - 7 = -1$ ✓

(a)

y = 3x + 4

and

y = 3x - 7

, parallel

Vne

Ví dụ 6(a)Đường thẳng song song

Viết phương trình đường thẳng đi qua $(2,-1)$ và song song với $y = 3x + 4$ .

Hệ số góc: $y = 3x + 4$ có hệ số góc 3.

Đường thẳng song song có cùng hệ số góc, nên $m = 3$ .

Điểm: $(x_0, y_0) = (2, -1)$ .

Áp dụng công thức: $y - y_0 = m(x - x_0)$

\begin{aligned} y - (-1) &= 3(x - 2)\\ y + 1 &= 3(x - 2)\\ y &= 3(x - 2) - 1\\ &= 3x - 7 \end{aligned}

Kiểm tra: $x = 2 \Rightarrow y = 6 - 7 = -1$ ✓

(a)

y = 3x + 4

và

y = 3x - 7

, song song

Example 6(b)A perpendicular line

Write an equation of the line with x-intercept 4 that is perpendicular to $3x + y = 5$ .

Slope: $3x + y = 5 \\Leftrightarrow y = -3x + 5$ , slope $-3$ .

Flip and change the sign: $m = \tfrac13$ .

Check: $(-3)\cdot\tfrac13 = -1$ ✓

Point: x-intercept 4 means $(x_0, y_0) = (4, 0)$ , since $y = 0$ on the x-axis.

Apply the formula: $y - y_0 = m(x - x_0)$

\begin{aligned} y - 0 &= \tfrac13(x - 4)\\ y &= \tfrac13(x - 4)\\ &= \tfrac13 x - \tfrac43 \end{aligned}

(b)

y = -3x + 5

and

y = \\tfrac13 x - \\tfrac43

, perpendicular

Vne

Ví dụ 6(b)Đường thẳng vuông góc

Viết phương trình đường thẳng có hoành độ giao điểm với trục Ox bằng 4 và vuông góc với $3x + y = 5$ .

Hệ số góc: $3x + y = 5 \\Leftrightarrow y = -3x + 5$ , hệ số góc $-3$ .

Lật ngược và đổi dấu: $m = \tfrac13$ .

Kiểm tra: $(-3)\cdot\tfrac13 = -1$ ✓

Điểm: hoành độ giao điểm với trục Ox bằng 4 nghĩa là $(x_0, y_0) = (4, 0)$ , vì trên trục Ox thì $y = 0$ .

Áp dụng công thức: $y - y_0 = m(x - x_0)$

\begin{aligned} y - 0 &= \tfrac13(x - 4)\\ y &= \tfrac13(x - 4)\\ &= \tfrac13 x - \tfrac43 \end{aligned}

(b)

y = -3x + 5

và

y = \\tfrac13 x - \\tfrac43

, vuông góc

Example 6(c)A perpendicular bisector

Write an equation of the perpendicular bisector of the segment joining $(1,2)$ and $(7,10)$ .

The perpendicular bisector passes through the midpoint and is perpendicular to the segment.

Point: average the endpoints: $\left(\tfrac{1+7}{2}, \tfrac{2+10}{2}\right) = (4,6)$ .

Slope: the segment has slope $\tfrac{10-2}{7-1} = \tfrac86 = \tfrac43$ .

Flip and change the sign: $m = -\tfrac34$ .

Apply the formula: $y - y_0 = m(x - x_0)$

\begin{aligned} y - 6 &= -\tfrac34(x - 4)\\ y &= -\tfrac34(x - 4) + 6\\ &= -\tfrac34 x + 3 + 6\\ &= -\tfrac34 x + 9 \end{aligned}

Check: $x = 4 \Rightarrow y = -3 + 9 = 6$ ✓

AB

with

A(1, 2)

B(7, 10)

, and its perpendicular bisector

y = -\tfrac34 x + 9

Vne

Ví dụ 6(c)Đường trung trực

Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng nối $(1,2)$ và $(7,10)$ .

Đường trung trực đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng.

Điểm: trung bình cộng tọa độ hai đầu mút: $\left(\tfrac{1+7}{2}, \tfrac{2+10}{2}\right) = (4,6)$ .

Hệ số góc: đoạn thẳng có hệ số góc $\tfrac{10-2}{7-1} = \tfrac86 = \tfrac43$ .

Lật ngược và đổi dấu: $m = -\tfrac34$ .

Áp dụng công thức: $y - y_0 = m(x - x_0)$

\begin{aligned} y - 6 &= -\tfrac34(x - 4)\\ y &= -\tfrac34(x - 4) + 6\\ &= -\tfrac34 x + 3 + 6\\ &= -\tfrac34 x + 9 \end{aligned}

Kiểm tra: $x = 4 \Rightarrow y = -3 + 9 = 6$ ✓

AB

với

A(1, 2)

B(7, 10)

, và đường trung trực

y = -\tfrac34 x + 9

Example 7Same line, different forms

Each equation below is an answer from Example 6 written in another form, or it matches none of them. Find the matching answer, or write “none”.

(a) $x - 3y = 4$ (b) $3x + 4y = 36$ (c) $y = -0.75x - 9$ (d) $y + 7 = 3x$

	Solve for $y$	Answer
(a)	$y = \tfrac13 x - \tfrac43$	6(b)
(b)	$y = -\tfrac34 x + 9$	6(c)
(c)	$y = -\tfrac34 x - 9$	none: same slope as 6(c), different intercept
(d)	$y = 3x - 7$	6(a)

Vne

Ví dụ 7Cùng một đường thẳng, khác dạng viết

Mỗi phương trình dưới đây là một đáp án của Ví dụ 6 viết ở dạng khác, hoặc không khớp đáp án nào. Tìm đáp án tương ứng, hoặc ghi “không có”.

(a) $x - 3y = 4$ (b) $3x + 4y = 36$ (c) $y = -0.75x - 9$ (d) $y + 7 = 3x$

	Rút $y$	Đáp án
(a)	$y = \tfrac13 x - \tfrac43$	6(b)
(b)	$y = -\tfrac34 x + 9$	6(c)
(c)	$y = -\tfrac34 x - 9$	không có: cùng hệ số góc với 6(c), khác tung độ gốc
(d)	$y = 3x - 7$	6(a)

5Applications of Linear Functions

Ứng dụng của hàm số tuyến tính

Linear relationships show up often when variables measure real things. A relationship is linear when equal steps in the independent variable (the input) always produce equal steps in the dependent variable. Here is a classic linear model.

Vne

Khi các biến đo những đại lượng thực tế, quan hệ tuyến tính xuất hiện khá thường xuyên. Một quan hệ là tuyến tính khi những bước bằng nhau của biến độc lập (đầu vào) luôn cho ra những bước bằng nhau của biến phụ thuộc. Sau đây là một mô hình tuyến tính kinh điển.

Example 8(a)Celsius and Fahrenheit

Celsius and Fahrenheit readings are related linearly.

(a) Write an equation that turns Celsius into Fahrenheit, and one that turns Fahrenheit into Celsius.

Note

Water freezes at $0$ °C and $32$ °F, and boils at $100$ °C and $212$ °F.

(a) Write the points as $(C, F)$ : freezing water, 0°C = 32°F, gives $(0, 32)$ ;

boiling water, 100°C = 212°F, gives $(100, 212)$ .

Slope: $\dfrac{212 - 32}{100 - 0} = \dfrac95$ , so through $(0, 32)$ the point-slope equation is

F = 32 + \tfrac95 C

Solving for $C$ : $C = \tfrac59(F - 32)$ .

Vne

Ví dụ 8(a)Độ C và độ F

Số đo độ C và độ F liên hệ tuyến tính với nhau.

(a) Viết phương trình đổi từ độ C sang độ F, và từ độ F sang độ C.

Ghi chú

Nhiệt độ đóng băng là $0$ độ C và $32$ độ F, nhiệt độ nước sôi là $100$ độ C và $212$ độ F.

(a) Viết các điểm dưới dạng $(C, F)$ : nước đóng băng, 0°C = 32°F, cho điểm $(0, 32)$ ;

nước sôi, 100°C = 212°F, cho điểm $(100, 212)$ .

Hệ số góc: $\dfrac{212 - 32}{100 - 0} = \dfrac95$ , nên phương trình dạng điểm – hệ số góc qua $(0, 32)$ là

F = 32 + \tfrac95 C

Rút $C$ : $C = \tfrac59(F - 32)$ .

Example 8(b)–(c)Converting and comparing

Celsius and Fahrenheit readings are related linearly.

Use the conversion formulas from Example 8(a).

(b) Express 25°C in °F, and 104°F in °C.
(c) Which single temperature reads the same on both scales?

(b) $C = 25$ : $F = 32 + \tfrac95(25) = 77$ , so 25°C = 77°F.

$F = 104$ : $C = \tfrac59(104 - 32) = 40$ , so 104°F = 40°C.

(c) Setting $F = C$ gives $C = \tfrac95 C + 32$ , so $C = -40$ .

At −40°, both scales show the same number.

Vne

Ví dụ 8(b)–(c)Đổi nhiệt độ và so sánh

Số đo độ C và độ F liên hệ tuyến tính với nhau.

Dùng các công thức đổi nhiệt độ ở Ví dụ 8(a).

(b) 25°C bằng bao nhiêu °F? 104°F bằng bao nhiêu °C?
(c) Nhiệt độ nào có cùng số đo trên cả hai thang?

(b) $C = 25$ : $F = 32 + \tfrac95(25) = 77$ , vậy 25°C = 77°F.

$F = 104$ : $C = \tfrac59(104 - 32) = 40$ , vậy 104°F = 40°C.

(c) Cho $F = C$ : $C = \tfrac95 C + 32$ , nên $C = -40$ .

Ở −40°, hai thang cho cùng một con số.

6Solving Two Linear Equations Simultaneously

Giải hệ hai phương trình bậc nhất

Sometimes we want the points $(x, y)$ that make two linear equations true together. Three things can happen:

no point: the lines are parallel and different;
one point: the lines cross;
infinitely many points: the lines coincide.

Example 9 solves one system of two equations in two unknowns in four ways.

Vne

Đôi khi ta cần các điểm $(x, y)$ làm cho hai phương trình bậc nhất cùng đúng. Có ba khả năng:

không có điểm nào: hai đường song song và khác nhau;
một điểm duy nhất: hai đường cắt nhau;
vô số điểm: hai đường trùng nhau.

Ví dụ 9 giải một hệ hai phương trình hai ẩn theo bốn cách.

Example 9One system, methods 1 and 2

Solve the system:

\begin{aligned} 4x - 3y &= 26\\ 3x + 2y &= 11 \end{aligned}

Method 1 · Substitution

From the first equation, $x = \tfrac34 y + \tfrac{13}{2}$ .

Put this into the second: $3\left(\tfrac34 y + \tfrac{13}{2}\right) + 2y = 11$ , which gives $y = -2$ .

Then either original equation gives $x = 5$ .

Solution: $(5, -2)$ .

Method 2 · Elimination

Multiply the first equation by 3 and the second by −4.

Now the $x$ -terms cancel when we add:

\begin{array}{rcr} 12x - 9y &=& 78\\ -12x - 8y &=& -44\\ \hline -17y &=& 34 \end{array}

Hence $y = -2$ , and we finish as in Method 1.

Vne

Ví dụ 9Một hệ, các cách 1 và 2

Giải hệ:

\begin{aligned} 4x - 3y &= 26\\ 3x + 2y &= 11 \end{aligned}

Cách 1 · Phương pháp thế

Từ phương trình đầu, $x = \tfrac34 y + \tfrac{13}{2}$ .

Thay vào phương trình sau: $3\left(\tfrac34 y + \tfrac{13}{2}\right) + 2y = 11$ , suy ra $y = -2$ .

Thay vào một phương trình ban đầu bất kỳ, được $x = 5$ .

Nghiệm: $(5, -2)$ .

Cách 2 · Phương pháp cộng đại số

Nhân phương trình đầu với 3, phương trình sau với −4.

Khi cộng lại, các số hạng chứa $x$ triệt tiêu:

\begin{array}{rcr} 12x - 9y &=& 78\\ -12x - 8y &=& -44\\ \hline -17y &=& 34 \end{array}

Do đó $y = -2$ , rồi làm tiếp như Cách 1.

Example 9One system, methods 3 and 4

Solve the same system:

\begin{aligned} 4x - 3y &= 26\\ 3x + 2y &= 11 \end{aligned}

Method 3 · Check with a graph

This is a check, not a method for solving. First solve the system by Method 1 or 2. Then draw both lines and see whether their crossing point matches the answer.

y_1 = \tfrac43 x - \tfrac{26}{3}, \qquad y_2 = -\tfrac32 x + \tfrac{11}{2}

The lines cross at $(5, -2)$ , which agrees with the answer. If the answer is a fraction or a decimal, the graph shows only an approximate position, so the exact value must come from the algebra.

Method 3 · intersection

(5, -2)

Method 4 · Matrix

A system can be written as a table of numbers, called a matrix. Each row is one equation: the coefficient of $x$ , the coefficient of $y$ , then the constant on the right.

\begin{bmatrix} 4 & -3 & 26 \\ 3 & 2 & 11 \end{bmatrix}

A row operation is allowed: swap two rows, multiply a row by a nonzero number, or add a multiple of one row to another. Each one gives an equivalent system with the same solution, so this is Method 2 written as a table.

Goal: turn the left part into the identity matrix $\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ . Then the third column gives the answer.

Step 1. Replace $R_1$ by $R_1 - R_2$ , so the top-left entry becomes 1.

\begin{bmatrix} 1 & -5 & 15 \\ 3 & 2 & 11 \end{bmatrix}

Step 2. Replace $R_2$ by $R_2 - 3R_1$ , so the first entry of row 2 becomes 0.

\begin{bmatrix} 1 & -5 & 15 \\ 0 & 17 & -34 \end{bmatrix}

Step 3. Divide $R_2$ by 17, so the second entry of row 2 becomes 1.

\begin{bmatrix} 1 & -5 & 15 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}

Step 4. Replace $R_1$ by $R_1 + 5R_2$ , so the second entry of row 1 becomes 0.

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}

Read each row as an equation: row 1 says $x = 5$ , row 2 says $y = -2$ . The calculator's rref button does all these steps at once; the steps above show what it does.

Systems of linear equations have much more to them, but that belongs to another course.

For now, knowing one or more of these methods for two equations in two unknowns is enough.

Vne

Ví dụ 9Một hệ, các cách 3 và 4

Giải cùng hệ trên.

\begin{aligned} 4x - 3y &= 26\\ 3x + 2y &= 11 \end{aligned}

Cách 3 · Kiểm chứng bằng đồ thị

Đây là bước kiểm chứng, không phải cách giải. Trước hết giải hệ bằng Cách 1 hoặc 2. Sau đó vẽ hai đường thẳng và xem điểm cắt nhau có khớp với nghiệm không.

y_1 = \tfrac43 x - \tfrac{26}{3}, \qquad y_2 = -\tfrac32 x + \tfrac{11}{2}

Hai đường cắt nhau tại $(5, -2)$ , khớp với nghiệm đã tìm. Nếu nghiệm là phân số hoặc số thập phân, đồ thị chỉ cho vị trí gần đúng, nên giá trị chính xác phải lấy từ đại số.

Cách 3 · giao điểm

(5, -2)

Cách 4 · Ma trận

Hệ phương trình có thể viết thành một bảng số gọi là ma trận. Mỗi hàng là một phương trình: hệ số của $x$ , hệ số của $y$ , rồi đến hằng số ở vế phải.

\begin{bmatrix} 4 & -3 & 26 \\ 3 & 2 & 11 \end{bmatrix}

Được phép biến đổi trên hàng: đổi chỗ hai hàng, nhân một hàng với số khác 0, hoặc cộng vào một hàng bội của hàng khác. Mỗi biến đổi cho một hệ tương đương, có cùng nghiệm; đây chính là cách cộng đại số (Cách 2) viết dưới dạng bảng.

Mục tiêu: đưa phần bên trái về ma trận đơn vị $\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ . Khi đó cột thứ ba cho ngay nghiệm.

Bước 1. Thay $R_1$ bằng $R_1 - R_2$ , để số ở góc trên bên trái thành 1.

\begin{bmatrix} 1 & -5 & 15 \\ 3 & 2 & 11 \end{bmatrix}

Bước 2. Thay $R_2$ bằng $R_2 - 3R_1$ , để số đầu tiên của hàng 2 thành 0.

\begin{bmatrix} 1 & -5 & 15 \\ 0 & 17 & -34 \end{bmatrix}

Bước 3. Chia $R_2$ cho 17, để số thứ hai của hàng 2 thành 1.

\begin{bmatrix} 1 & -5 & 15 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}

Bước 4. Thay $R_1$ bằng $R_1 + 5R_2$ , để số thứ hai của hàng 1 thành 0.

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}

Đọc từng hàng như một phương trình: hàng 1 cho $x = 5$ , hàng 2 cho $y = -2$ . Nút rref của máy tính làm đủ các bước này trong một lần; các bước trên cho thấy máy đã làm gì.

Hệ phương trình bậc nhất còn nhiều điều khác, nhưng đó là nội dung của môn học khác.

Bây giờ, chỉ cần nắm một hoặc vài cách trên cho hệ hai phương trình hai ẩn là đủ.