AP CalculusLessonBài giảng 1.2 Limits Involving InfinityGiới hạn liên quan đến vô cực 1.1 1.3

1.2 Limits Involving Infinity Giới hạn liên quan đến vô cực

1Finite Limits as x → ±∞

Giới hạn hữu hạn khi x → ±∞

Definition · Limits at infinity

The symbol $\infty$ is not a real number. We write $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ if we can make $f(x)$ as close to $L$ as we like by taking $x$ large and positive. We write $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ if we can do this by taking $x$ large and negative. The limit may or may not exist.

Vne

Định nghĩa · Giới hạn khi x tiến tới vô cực

Ký hiệu $\infty$ không phải là số thực. Ta viết $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ nếu ta có thể làm $f(x)$ gần $L$ tùy ý, bằng cách lấy $x$ lớn và dương. Ta viết $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ nếu làm được điều đó bằng cách lấy $x$ lớn và âm. Giới hạn có thể tồn tại hoặc không.

Look at $f(x) = \dfrac{1}{x}$ in Figure 1.9. As $x \to \infty$ , $\dfrac{1}{x} \to 0$ , so $\lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x} = 0$ . As $x \to -\infty$ , $\dfrac{1}{x} \to 0$ , so $\lim_{x \to -\infty}\dfrac{1}{x} = 0$ .

Figure 1.9 ·

f(x) = \dfrac{1}{x}

: values approach

0

|x|

grows

Vne

Xét $f(x) = \dfrac{1}{x}$ trong Hình 1.9. Khi $x \to \infty$ , $\dfrac{1}{x} \to 0$ , nên $\lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x} = 0$ . Khi $x \to -\infty$ , $\dfrac{1}{x} \to 0$ , nên $\lim_{x \to -\infty}\dfrac{1}{x} = 0$ .

Hình 1.9 ·

f(x) = \dfrac{1}{x}

: các giá trị tiến tới

0

khi

|x|

tăng

Definition · Horizontal asymptote

The line $y = b$ is a horizontal asymptote of the graph of $y = f(x)$ if $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$ or $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$ .

Vne

Định nghĩa · Tiệm cận ngang

Đường thẳng $y = b$ là một tiệm cận ngang của đồ thị $y = f(x)$ nếu $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$ .

So the line $y = 0$ is a horizontal asymptote of $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .

Vne

Vậy đường thẳng $y = 0$ là một tiệm cận ngang của $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .

The graph of $f(x) = 2 + \dfrac{1}{x}$ has one horizontal asymptote, $y = 2$ , because $\lim_{x \to \infty}\left(2 + \dfrac{1}{x}\right) = 2$ and $\lim_{x \to -\infty}\left(2 + \dfrac{1}{x}\right) = 2$ . A function can have more than one horizontal asymptote, as Example 1 shows.

Vne

Đồ thị của $f(x) = 2 + \dfrac{1}{x}$ có một tiệm cận ngang duy nhất là $y = 2$ , vì $\lim_{x \to \infty}\left(2 + \dfrac{1}{x}\right) = 2$ và $\lim_{x \to -\infty}\left(2 + \dfrac{1}{x}\right) = 2$ . Một hàm số có thể có nhiều hơn một tiệm cận ngang, như Ví dụ 1 cho thấy.

Example 1Horizontal asymptotes of a square-root quotient

Use graphs and tables to find $\lim_{x \to \infty} f(x)$ and $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ . Then identify all horizontal asymptotes of $f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}}$ .

Figure 1.10(a) ·

f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}}

, dashed lines at

y = \pm 2

$x$	$f(x)$
$-10$	$-1.9612$
$-6$	$-1.8974$
$-2$	$-1.4142$
$0$	$0$
$2$	$1.4142$
$6$	$1.8974$
$10$	$1.9612$

Table 1.10(b) · Selected values of

f

The graph climbs toward the line $y = 2$ as $x$ moves to the right.

The table agrees: $f(10) \approx 1.9612$ .

So $\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$ .

As $x$ moves to the left, the graph falls toward the line $y = -2$ .

The table shows $f(-10) \approx -1.9612$ .

So $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2$ .

The horizontal asymptotes are $y = 2$ and $y = -2$ .

Vne

Ví dụ 1Tìm các tiệm cận ngang của một thương chứa căn

Dùng đồ thị và bảng giá trị để tìm $\lim_{x \to \infty} f(x)$ và $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ . Sau đó xác định mọi tiệm cận ngang của $f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}}$ .

Hình 1.10(a) ·

f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}}

, các đường nét đứt

y = \pm 2

$x$	$f(x)$
$-10$	$-1.9612$
$-6$	$-1.8974$
$-2$	$-1.4142$
$0$	$0$
$2$	$1.4142$
$6$	$1.8974$
$10$	$1.9612$

Bảng 1.10(b) · Một số giá trị của

f

Đồ thị đi lên gần đường thẳng $y = 2$ khi $x$ chuyển động sang phải.

Bảng giá trị phù hợp: $f(10) \approx 1.9612$ .

Vậy $\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$ .

Khi $x$ chuyển động sang trái, đồ thị đi xuống gần đường thẳng $y = -2$ .

Bảng cho $f(-10) \approx -1.9612$ .

Vậy $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2$ .

Các tiệm cận ngang là $y = 2$ và $y = -2$ .

2Squeeze Theorem Revisited

Định lý kẹp, xét lại

The Squeeze Theorem also holds for limits as $x \to \pm\infty$ .

Vne

Định lý kẹp cũng đúng cho các giới hạn khi $x \to \pm\infty$ .

Example 2A limit of

\cos x

over

x

Find $\lim_{x \to \infty}\dfrac{\cos x}{x}$ and $\lim_{x \to -\infty}\dfrac{\cos x}{x}$ .

Figure 1.11(a) ·

y = \dfrac{\cos x}{x}

: the swings shrink as

|x|

grows

$x$	$\dfrac{\cos x}{x}$
100	0.00862
200	0.00244
300	$-0.00007$
400	$-0.00131$
500	$-0.00177$

Table 1.11(b) · Values of

\dfrac{\cos x}{x}

for large

x

Since $-1 \le \cos x \le 1$ , for $x \gt 0$ we divide by $x$ and get

-\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\cos x}{x} \le \dfrac{1}{x}

Since $\lim_{x \to \infty}\left(-\dfrac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x} = 0$ , the Squeeze Theorem gives

\lim_{x \to \infty}\dfrac{\cos x}{x} = 0

For $x \lt 0$ , dividing by $x$ reverses the inequalities: $\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\cos x}{x} \le -\dfrac{1}{x}$ .

The same argument gives $\lim_{x \to -\infty}\dfrac{\cos x}{x} = 0$ .

The table agrees, so $y = 0$ is a horizontal asymptote of $\dfrac{\cos x}{x}$ .

Vne

Ví dụ 2Giới hạn của

\cos x

chia cho

x

Tìm $\lim_{x \to \infty}\dfrac{\cos x}{x}$ và $\lim_{x \to -\infty}\dfrac{\cos x}{x}$ .

Hình 1.11(a) ·

y = \dfrac{\cos x}{x}

: các dao động co lại khi

|x|

tăng

$x$	$\dfrac{\cos x}{x}$
100	0.00862
200	0.00244
300	$-0.00007$
400	$-0.00131$
500	$-0.00177$

Bảng 1.11(b) · Các giá trị của

\dfrac{\cos x}{x}

khi

x

lớn

Vì $-1 \le \cos x \le 1$ , với $x \gt 0$ ta chia cho $x$ và được

-\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\cos x}{x} \le \dfrac{1}{x}

Vì $\lim_{x \to \infty}\left(-\dfrac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x} = 0$ , định lý kẹp cho ta

\lim_{x \to \infty}\dfrac{\cos x}{x} = 0

Với $x \lt 0$ , chia cho $x$ làm đổi chiều các bất đẳng thức: $\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\cos x}{x} \le -\dfrac{1}{x}$ .

Lập luận tương tự cho $\lim_{x \to -\infty}\dfrac{\cos x}{x} = 0$ .

Bảng giá trị phù hợp, nên $y = 0$ là một tiệm cận ngang của $\dfrac{\cos x}{x}$ .

Notation. $\lim_{x \to \infty} f(x)$ means the same as $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ . When a rule applies to both ends, we write $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ .

Vne

Ký hiệu. $\lim_{x \to \infty} f(x)$ có cùng nghĩa với $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ . Khi một quy tắc áp dụng cho cả hai đầu, ta viết $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ .

Theorem 5 · Properties of Limits as

x \to \pm\infty

If $L$ , $M$ and $k$ are real numbers, $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ and $\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = M$ , then:

Sum rule: $\lim_{x \to \pm\infty}\bigl(f(x) + g(x)\bigr) = L + M$ .
Difference rule: $\lim_{x \to \pm\infty}\bigl(f(x) - g(x)\bigr) = L - M$ .
Product rule: $\lim_{x \to \pm\infty}\bigl(f(x) \cdot g(x)\bigr) = L \cdot M$ .
Constant multiple rule: $\lim_{x \to \pm\infty}\bigl(k \cdot f(x)\bigr) = k \cdot L$ .
Quotient rule: $\lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ , provided $M \ne 0$ .
Power rule: If $r$ and $s$ are integers and $s \ne 0$ , then $\lim_{x \to \pm\infty}\bigl(f(x)\bigr)^{r/s} = L^{r/s}$ , provided $L^{r/s}$ is a real number and $L \gt 0$ if $s$ is even.

Vne

Định lý 5 · Các tính chất của giới hạn khi

x \to \pm\infty

Nếu $L$ , $M$ và $k$ là các số thực, $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ và $\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = M$ , thì:

Quy tắc tổng: $\lim_{x \to \pm\infty}\bigl(f(x) + g(x)\bigr) = L + M$ .
Quy tắc hiệu: $\lim_{x \to \pm\infty}\bigl(f(x) - g(x)\bigr) = L - M$ .
Quy tắc tích: $\lim_{x \to \pm\infty}\bigl(f(x) \cdot g(x)\bigr) = L \cdot M$ .
Quy tắc nhân hằng số: $\lim_{x \to \pm\infty}\bigl(k \cdot f(x)\bigr) = k \cdot L$ .
Quy tắc thương: $\lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ , với điều kiện $M \ne 0$ .
Quy tắc lũy thừa: Nếu $r$ và $s$ là số nguyên và $s \ne 0$ thì $\lim_{x \to \pm\infty}\bigl(f(x)\bigr)^{r/s} = L^{r/s}$ , với điều kiện $L^{r/s}$ là số thực và $L \gt 0$ nếu $s$ chẵn.

Check the limits first

Theorem 5 needs each limit to be a real number, $L$ or $M$ . If $f(x)$ and $g(x)$ both grow without bound, the quotient rule does not apply, even if $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}$ exists. Split the fraction first, as in Example 3.

Vne

Kiểm tra các giới hạn trước

Định lý 5 cần mỗi giới hạn là một số thực, $L$ hoặc $M$ . Nếu $f(x)$ và $g(x)$ đều tăng không giới hạn, quy tắc thương không áp dụng được, ngay cả khi $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}$ tồn tại. Hãy tách phân số trước, như ở Ví dụ 3.

Example 3A limit with

\cos x

at infinity

Find $\lim_{x \to \infty}\dfrac{3x - \cos x}{x}$ .

Split the fraction:

\dfrac{3x - \cos x}{x} = \dfrac{3x}{x} - \dfrac{\cos x}{x} = 3 - \dfrac{\cos x}{x}

Use the difference rule from Theorem 5, the limit of a constant, and Example 2:

\lim_{x \to \infty}\left(3 - \dfrac{\cos x}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} 3 - \lim_{x \to \infty}\dfrac{\cos x}{x} = 3 - 0 = 3

Vne

Ví dụ 3Giới hạn với

\cos x

khi x tiến tới vô cực

Tìm $\lim_{x \to \infty}\dfrac{3x - \cos x}{x}$ .

Tách phân số:

\dfrac{3x - \cos x}{x} = \dfrac{3x}{x} - \dfrac{\cos x}{x} = 3 - \dfrac{\cos x}{x}

Dùng quy tắc hiệu trong Định lý 5, giới hạn của một hằng số và Ví dụ 2:

\lim_{x \to \infty}\left(3 - \dfrac{\cos x}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} 3 - \lim_{x \to \infty}\dfrac{\cos x}{x} = 3 - 0 = 3

3Infinite Limits as x → a

Giới hạn vô cực khi x → a

If the values of $f(x)$ grow beyond every positive bound as $x$ approaches a number $a$ , we write $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ . If they become large and negative, beyond every negative bound, we write $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ .

Vne

Nếu các giá trị của $f(x)$ vượt qua mọi cận dương khi $x$ tiến tới một số $a$ , ta viết $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ . Nếu chúng trở nên lớn và âm, vượt qua mọi cận âm, ta viết $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ .

Look at $f(x) = \dfrac{1}{x}$ again. As $x \to 0^+$ , $\dfrac{1}{x} \to \infty$ , so $\lim_{x \to 0^+}\dfrac{1}{x} = \infty$ . As $x \to 0^-$ , $\dfrac{1}{x} \to -\infty$ , so $\lim_{x \to 0^-}\dfrac{1}{x} = -\infty$ .

Vne

Xét lại $f(x) = \dfrac{1}{x}$ . Khi $x \to 0^+$ , $\dfrac{1}{x} \to \infty$ , nên $\lim_{x \to 0^+}\dfrac{1}{x} = \infty$ . Khi $x \to 0^-$ , $\dfrac{1}{x} \to -\infty$ , nên $\lim_{x \to 0^-}\dfrac{1}{x} = -\infty$ .

Definition · Vertical asymptote

The line $x = a$ is a vertical asymptote of the graph of $y = f(x)$ if $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ or $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$ .

Vne

Định nghĩa · Tiệm cận đứng

Đường thẳng $x = a$ là một tiệm cận đứng của đồ thị $y = f(x)$ nếu $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ hoặc $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$ .

So the line $x = 0$ is a vertical asymptote of $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .

Vne

Vậy đường thẳng $x = 0$ là một tiệm cận đứng của $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .

Example 4Vertical asymptote of a squared denominator

Find the vertical asymptotes of $f(x) = \dfrac{1}{(x - 2)^2}$ . Describe the behavior to the left and right of each vertical asymptote.

Graph of

y = \dfrac{1}{(x - 2)^2}

; the dashed line is

x = 2

The denominator is $0$ only at $x = 2$ , so $x = 2$ is the only candidate.

Because $(x - 2)^2 \gt 0$ for $x \ne 2$ and $(x - 2)^2 \to 0$ , the quotient grows without bound on both sides:

\begin{aligned} \lim_{x \to 2^+}\dfrac{1}{(x - 2)^2} &= \infty \\ \lim_{x \to 2^-}\dfrac{1}{(x - 2)^2} &= \infty \end{aligned}

The line $x = 2$ is the only vertical asymptote.

On both sides of it, the graph goes up without bound.

Vne

Ví dụ 4Tiệm cận đứng của một mẫu số bình phương

Tìm các tiệm cận đứng của $f(x) = \dfrac{1}{(x - 2)^2}$ . Mô tả hành vi của đồ thị bên trái và bên phải của mỗi tiệm cận đứng.

Đồ thị

y = \dfrac{1}{(x - 2)^2}

; đường nét đứt là

x = 2

Mẫu số bằng $0$ chỉ khi $x = 2$ , nên $x = 2$ là ứng viên duy nhất.

Vì $(x - 2)^2 \gt 0$ với $x \ne 2$ và $(x - 2)^2 \to 0$ , thương tăng không giới hạn ở cả hai phía:

\begin{aligned} \lim_{x \to 2^+}\dfrac{1}{(x - 2)^2} &= \infty \\ \lim_{x \to 2^-}\dfrac{1}{(x - 2)^2} &= \infty \end{aligned}

Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng duy nhất.

Ở cả hai phía của nó, đồ thị đi lên không giới hạn.

Example 5Vertical asymptotes of

\tan\dfrac{x}{2}

Find the vertical asymptotes of $f(x) = \tan\dfrac{x}{2}$ . Then find the one-sided limits at each one.

Figure 1.12 ·

f(x) = \tan\dfrac{x}{2}

is undefined at odd multiples of

\pi

$\tan\theta$ is undefined when $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ , where $k$ is an integer.

Here $\theta = \dfrac{x}{2}$ , so $\dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ , which gives $x = \pi + 2k\pi$ .

So the vertical asymptotes are at the odd multiples of $\pi$ : $\ldots, -3\pi, -\pi, \pi, 3\pi, \ldots$

At each odd multiple $a$ of $\pi$ , the one-sided limits are

\begin{aligned} \lim_{x \to a^+}\tan\dfrac{x}{2} &= -\infty \\ \lim_{x \to a^-}\tan\dfrac{x}{2} &= \infty \end{aligned}

as suggested by Figure 1.12.

Vne

Ví dụ 5Các tiệm cận đứng của

\tan\dfrac{x}{2}

Tìm các tiệm cận đứng của $f(x) = \tan\dfrac{x}{2}$ . Sau đó tìm các giới hạn một phía tại mỗi tiệm cận.

Hình 1.12 ·

f(x) = \tan\dfrac{x}{2}

không xác định tại các bội lẻ của

\pi

$\tan\theta$ không xác định khi $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ , với $k$ là số nguyên.

Ở đây $\theta = \dfrac{x}{2}$ , nên $\dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ , tức là $x = \pi + 2k\pi$ .

Vậy các tiệm cận đứng nằm tại các bội lẻ của $\pi$ : $\ldots, -3\pi, -\pi, \pi, 3\pi, \ldots$

Tại mỗi bội lẻ $a$ của $\pi$ , các giới hạn một phía là

\begin{aligned} \lim_{x \to a^+}\tan\dfrac{x}{2} &= -\infty \\ \lim_{x \to a^-}\tan\dfrac{x}{2} &= \infty \end{aligned}

như Hình 1.12 gợi ý.

You might think a quotient has a vertical asymptote wherever its denominator is $0$ . That is not always true. For example, $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ (Figure 1.1), so $\dfrac{\sin x}{x}$ has no vertical asymptote at $x = 0$ .

Vne

Ta có thể nghĩ rằng một thương luôn có tiệm cận đứng tại mọi điểm mà mẫu số bằng $0$ . Điều này không phải lúc nào cũng đúng. Ví dụ, $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ (Hình 1.1), nên $\dfrac{\sin x}{x}$ không có tiệm cận đứng tại $x = 0$ .

4End Behavior Models

Mô hình dáng điệu tại vô cực

For very large $|x|$ , a complicated function often acts almost like a simpler function. We can use the simpler function as a model.

Vne

Với $|x|$ rất lớn, một hàm số phức tạp thường hoạt động gần giống một hàm số đơn giản hơn. Ta có thể dùng hàm số đơn giản đó làm mô hình.

Example 6Comparing a polynomial with its leading term

Let $f(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 4x + 5$ and $g(x) = 2x^4$ . Show that $f$ and $g$ differ for small $|x|$ , but behave alike for large $|x|$ .

Figure 1.13(a) ·

f

and

g

differ near the origin

Figure 1.13(b) ·

f

and

g

look nearly identical for large

|x|

(units of

10^5

)

Figure 1.13(a) shows that $f$ and $g$ differ near the origin.

Figure 1.13(b) shows them nearly identical on a larger scale.

To test whether $g$ models $f$ for large $|x|$ , divide them and take the limit as $x \to \pm\infty$ :

\lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{2x^4 - 3x^3 + x^2 - 4x + 5}{2x^4} = \lim_{x \to \pm\infty}\left(1 - \dfrac{3}{2x} + \dfrac{1}{2x^2} - \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{5}{2x^4}\right) = 1

Each term with $x$ in its denominator approaches $0$ , so the limit is $1$ .

This is convincing evidence that $f$ and $g$ behave alike for large $|x|$ .

Vne

Ví dụ 6So sánh một đa thức với số hạng bậc cao nhất

Cho $f(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 4x + 5$ và $g(x) = 2x^4$ . Chứng minh rằng $f$ và $g$ khác nhau khi $|x|$ nhỏ, nhưng có dáng điệu giống nhau khi $|x|$ lớn.

Hình 1.13(a) ·

f

và

g

khác nhau gần gốc tọa độ

Hình 1.13(b) ·

f

và

g

gần như trùng nhau khi

|x|

lớn (đơn vị

10^5

)

Hình 1.13(a) cho thấy $f$ và $g$ khác nhau gần gốc tọa độ.

Hình 1.13(b) cho thấy chúng gần như trùng nhau trên thang lớn hơn.

Để kiểm tra $g$ có phải mô hình của $f$ khi $|x|$ lớn hay không, ta chia chúng cho nhau và lấy giới hạn khi $x \to \pm\infty$ :

\lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{2x^4 - 3x^3 + x^2 - 4x + 5}{2x^4} = \lim_{x \to \pm\infty}\left(1 - \dfrac{3}{2x} + \dfrac{1}{2x^2} - \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{5}{2x^4}\right) = 1

Mọi số hạng có $x$ ở mẫu đều tiến tới $0$ , nên giới hạn bằng $1$ .

Đây là bằng chứng thuyết phục rằng $f$ và $g$ có dáng điệu giống nhau khi $|x|$ lớn.

Definition · End behavior model

The function $g$ is:

a right end behavior model for $f$ if $\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$ ;
a left end behavior model for $f$ if $\lim_{x \to -\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$ .

Vne

Định nghĩa · Mô hình dáng điệu tại vô cực

Hàm số $g$ là:

một mô hình dáng điệu bên phải của $f$ nếu $\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$ ;
một mô hình dáng điệu bên trái của $f$ nếu $\lim_{x \to -\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$ .

If $g$ is both a left and a right end behavior model for $f$ , we call $g$ an end behavior model for $f$ . So $g(x) = 2x^4$ is an end behavior model for $f(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 4x + 5$ .

Vne

Nếu $g$ vừa là mô hình bên trái, vừa là mô hình bên phải của $f$ , ta gọi $g$ là một mô hình dáng điệu của $f$ . Vậy $g(x) = 2x^4$ là một mô hình dáng điệu của $f(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 4x + 5$ .

In general, $g(x) = a_n x^n$ is an end behavior model for the polynomial $f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$ , where $a_n \ne 0$ . So the end behavior of a polynomial is like that of its leading term. Example 7 uses this idea for rational functions.

Vne

Nói chung, $g(x) = a_n x^n$ là một mô hình dáng điệu của đa thức $f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$ , với $a_n \ne 0$ . Vậy dáng điệu tại vô cực của một đa thức giống với số hạng bậc cao nhất của nó. Ví dụ 7 áp dụng ý tưởng này cho hàm hữu tỉ.

Example 7End behavior models of rational functions

Find an end behavior model for

(a) $f(x) = \dfrac{3x^5 + x^4 - x^2 + 2}{4x^2 - 5x + 6}$ (b) $g(x) = \dfrac{-3x^3 + x^2 + x - 2}{4x^3 + x^2 + 3x - 1}$

(a) The numerator has end behavior model $3x^5$ , and the denominator has $4x^2$ .

\dfrac{3x^5}{4x^2} = \dfrac{3}{4}x^3

is an end behavior model for $f$ .

(b) The numerator has end behavior model $-3x^3$ , and the denominator has $4x^3$ .

\dfrac{-3x^3}{4x^3} = -\dfrac{3}{4}

is an end behavior model for $g$ .

Vne

Ví dụ 7Mô hình dáng điệu tại vô cực của hàm hữu tỉ

Tìm một mô hình dáng điệu tại vô cực của

(a) $f(x) = \dfrac{3x^5 + x^4 - x^2 + 2}{4x^2 - 5x + 6}$ (b) $g(x) = \dfrac{-3x^3 + x^2 + x - 2}{4x^3 + x^2 + 3x - 1}$

(a) Tử số có mô hình dáng điệu là $3x^5$ , còn mẫu số có $4x^2$ .

Vậy

\dfrac{3x^5}{4x^2} = \dfrac{3}{4}x^3

là một mô hình dáng điệu của $f$ .

(b) Tử số có mô hình dáng điệu là $-3x^3$ , còn mẫu số có $4x^3$ .

Vậy

\dfrac{-3x^3}{4x^3} = -\dfrac{3}{4}

là một mô hình dáng điệu của $g$ .

In Example 7b, the end behavior model $y = -\dfrac{3}{4}$ is also a horizontal asymptote of $g$ . The function $f$ in Example 7a has no horizontal asymptote, because $f(x)$ grows without bound.

Vne

Trong Ví dụ 7b, mô hình dáng điệu $y = -\dfrac{3}{4}$ cũng là một tiệm cận ngang của $g$ . Hàm số $f$ trong Ví dụ 7a không có tiệm cận ngang, vì $f(x)$ tăng không giới hạn.

So we can use the end behavior model of a rational function to find its horizontal asymptotes. A rational function always has a simple power function as an end behavior model.

Vne

Vì vậy, ta có thể dùng mô hình dáng điệu của một hàm hữu tỉ để tìm các tiệm cận ngang của nó. Một hàm hữu tỉ luôn có một hàm lũy thừa đơn giản làm mô hình dáng điệu.

The right and left end behavior models of a function need not be the same function. Example 8 shows this.

Vne

Mô hình dáng điệu bên phải và bên trái của một hàm số không nhất thiết là cùng một hàm số. Ví dụ 8 cho thấy điều này.

Example 8Right and left end behavior models

Let $f(x) = x + 2e^{-x}$ . Show that $g(x) = x$ is a right end behavior model for $f$ , and $h(x) = 2e^{-x}$ is a left end behavior model for $f$ .

Figure 1.14 ·

f

follows

y = x

on the right and

y = 2e^{-x}

on the left

On the right ( $x \to \infty$ ):

\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty}\dfrac{x + 2e^{-x}}{x} = \lim_{x \to \infty}\left(1 + \dfrac{2e^{-x}}{x}\right) = 1

This holds because $\dfrac{2e^{-x}}{x} \to 0$ as $x \to \infty$ .

On the left ( $x \to -\infty$ ):

\lim_{x \to -\infty}\dfrac{f(x)}{h(x)} = \lim_{x \to -\infty}\dfrac{x + 2e^{-x}}{2e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty}\left(\dfrac{x}{2e^{-x}} + 1\right) = 1

This holds because $\lim_{x \to -\infty}\dfrac{x}{e^{-x}} = 0$ .

The graph of $f$ in Figure 1.14 agrees: it follows $y = x$ on the right and $y = 2e^{-x}$ on the left.

Vne

Ví dụ 8Mô hình dáng điệu bên phải và bên trái

Cho $f(x) = x + 2e^{-x}$ . Chứng minh rằng $g(x) = x$ là một mô hình dáng điệu bên phải của $f$ , và $h(x) = 2e^{-x}$ là một mô hình dáng điệu bên trái của $f$ .

Hình 1.14 ·

f

bám theo

y = x

ở bên phải và theo

y = 2e^{-x}

ở bên trái

Ở bên phải ( $x \to \infty$ ):

\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty}\dfrac{x + 2e^{-x}}{x} = \lim_{x \to \infty}\left(1 + \dfrac{2e^{-x}}{x}\right) = 1

Điều này đúng vì $\dfrac{2e^{-x}}{x} \to 0$ khi $x \to \infty$ .

Ở bên trái ( $x \to -\infty$ ):

\lim_{x \to -\infty}\dfrac{f(x)}{h(x)} = \lim_{x \to -\infty}\dfrac{x + 2e^{-x}}{2e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty}\left(\dfrac{x}{2e^{-x}} + 1\right) = 1

Điều này đúng vì $\lim_{x \to -\infty}\dfrac{x}{e^{-x}} = 0$ .

Đồ thị của $f$ trong Hình 1.14 phù hợp: nó bám theo $y = x$ ở bên phải và theo $y = 2e^{-x}$ ở bên trái.

Seeing limits as $x \to \pm\infty$ . We can study the graph of $y = f(x)$ as $x \to \pm\infty$ by studying the graph of $y = f\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ as $x \to 0$ .

Vne

Quan sát giới hạn khi $x \to \pm\infty$ . Ta có thể khảo sát đồ thị của $y = f(x)$ khi $x \to \pm\infty$ bằng cách khảo sát đồ thị của $y = f\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ khi $x \to 0$ .

Example 9Substitution with

\dfrac{1}{x}

Find $\lim_{x \to \infty}\cos\dfrac{3}{x}$ .

Figure 1.15(a) ·

f(x) = \cos\dfrac{3}{x}

settles near

1

|x|

grows

Figure 1.15(b) ·

g(x) = f\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = \cos 3x

Figure 1.15(a) suggests the limit is $1$ .

To confirm it, let $t = \dfrac{1}{x}$ .

As $x \to \infty$ , $t \to 0^+$ , so

\lim_{x \to \infty}\cos\dfrac{3}{x} = \lim_{t \to 0^+}\cos 3t = \cos 0 = 1

The limit of $\cos 3t$ at $t = 0$ is found by substitution.

Figure 1.15(b) shows the graph of $g(x) = \cos 3x$ .

Vne

Ví dụ 9Thế

\dfrac{1}{x}

để tính giới hạn

Tìm $\lim_{x \to \infty}\cos\dfrac{3}{x}$ .

Hình 1.15(a) ·

f(x) = \cos\dfrac{3}{x}

tiến gần

1

khi

|x|

tăng

Hình 1.15(b) ·

g(x) = f\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = \cos 3x

Hình 1.15(a) gợi ý giới hạn bằng $1$ .

Để kiểm chứng, đặt $t = \dfrac{1}{x}$ .

Khi $x \to \infty$ thì $t \to 0^+$ , nên

\lim_{x \to \infty}\cos\dfrac{3}{x} = \lim_{t \to 0^+}\cos 3t = \cos 0 = 1

Giới hạn của $\cos 3t$ tại $t = 0$ tìm được bằng phép thế.

Hình 1.15(b) cho thấy đồ thị của $g(x) = \cos 3x$ .