AP CalculusLessonBài giảng 1.1 Rates of Change and LimitsTốc độ thay đổi và giới hạn P.1 1.2

1.1 Rates of Change and Limits Tốc độ thay đổi và giới hạn

1Average and Instantaneous Velocity

Vận tốc trung bình và vận tốc tức thời

Definition · Average rate of change

Let $y = f(t)$ be the position of a moving body at time $t$ . The elapsed time $\Delta t$ is the interval from $t$ to $t + \Delta t$ . The average rate of change of $y$ over this interval is the change in $y$ divided by the elapsed time:

\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}.

When $y$ is a position, this ratio is the average velocity. We can also write $h$ for the elapsed time, so the same ratio is $\dfrac{f(t + h) - f(t)}{h}$ .

Vne

Định nghĩa · Tốc độ thay đổi trung bình

Cho $y = f(t)$ là vị trí của một vật đang chuyển động tại thời điểm $t$ . Khoảng thời gian $\Delta t$ là khoảng từ $t$ đến $t + \Delta t$ . Tốc độ thay đổi trung bình của $y$ trên khoảng này là độ thay đổi của $y$ chia cho thời gian đã trôi qua:

\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}.

Khi $y$ là vị trí, tỉ số này là vận tốc trung bình. Ta cũng có thể viết $h$ cho thời gian đã trôi qua, khi đó tỉ số là $\dfrac{f(t + h) - f(t)}{h}$ .

The velocity of a falling object keeps increasing. We can find its average velocity over any time interval. The velocity at a single instant is the instantaneous velocity. To define it exactly, we need the idea of a limit.

Vne

Vận tốc của một vật đang rơi luôn tăng. Ta có thể tính vận tốc trung bình trên một khoảng thời gian bất kỳ. Vận tốc tại đúng một thời điểm là vận tốc tức thời. Để định nghĩa nó chính xác, ta cần khái niệm giới hạn (limit).

Example 1Average velocity of a falling ball

A heavy ball is dropped from rest. Ignore air resistance. In the first $t$ seconds, it falls $y = 4.9t^2$ meters. Find its average velocity during the first 10 seconds.

At $t = 10$ , $y = 490$ m.

At $t = 0$ , $y = 0$ .

The average velocity from $t = 0$ to $t = 10$ is the change in $y$ divided by the elapsed time, $10 - 0 = 10$ seconds:

\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{4.9(10)^2 - 4.9(0)^2}{10 - 0} = \dfrac{490}{10} = 49 \text{ m/s}

So the average velocity is 49 m/s.

Vne

Ví dụ 1Vận tốc trung bình của một quả bóng rơi

Một quả bóng nặng được thả rơi từ trạng thái nghỉ. Bỏ qua sức cản của không khí. Trong $t$ giây đầu, quả bóng rơi được $y = 4.9t^2$ mét. Tìm vận tốc trung bình của quả bóng trong 10 giây đầu tiên.

Tại $t = 10$ , $y = 490$ m.

Tại $t = 0$ , $y = 0$ .

Vận tốc trung bình từ $t = 0$ đến $t = 10$ là độ thay đổi của $y$ chia cho thời gian $10 - 0 = 10$ giây:

\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{4.9(10)^2 - 4.9(0)^2}{10 - 0} = \dfrac{490}{10} = 49 \text{ m/s}

Vậy vận tốc trung bình là 49 mét trên giây.

Example 2Instantaneous velocity at 5 seconds

Find the velocity of the ball in Example 1 at the instant $t = 5$ .

Step 1. Find the average velocity from $t = 5$ to $t = 5 + h$ , for a small $h \gt 0$ .

Expand $(5 + h)^2 = 25 + 10h + h^2$ , then cancel $h$ :

\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{4.9(5 + h)^2 - 4.9(5)^2}{h} = \dfrac{49h + 4.9h^2}{h} = 49 + 4.9h

Step 2. Find the average velocity from $t = 5 - h$ to $t = 5$ .

Expand $(5 - h)^2 = 25 - 10h + h^2$ , then cancel $h$ :

\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{4.9(5)^2 - 4.9(5 - h)^2}{h} = \dfrac{49h - 4.9h^2}{h} = 49 - 4.9h

Step 3. Let $v(5)$ be the velocity at $t = 5$ .

The velocity is increasing near $t = 5$ , so $v(5)$ lies between the two averages:

49 - 4.9h \le v(5) \le 49 + 4.9h

Step 4. Let $h$ approach $0$ .

Both bounds approach $49$ , so

v(5) = \lim_{h \to 0}(49 - 4.9h) = \lim_{h \to 0}(49 + 4.9h) = 49 \text{ m/s}

Table 1.1 shows the averages for smaller and smaller $h$ .

Vne

Ví dụ 2Vận tốc tức thời tại 5 giây

Tìm vận tốc của quả bóng trong Ví dụ 1 tại thời điểm $t = 5$ .

Bước 1. Tìm vận tốc trung bình từ $t = 5$ đến $t = 5 + h$ , với $h \gt 0$ nhỏ.

Khai triển $(5 + h)^2 = 25 + 10h + h^2$ , rồi rút gọn $h$ :

\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{4.9(5 + h)^2 - 4.9(5)^2}{h} = \dfrac{49h + 4.9h^2}{h} = 49 + 4.9h

Bước 2. Tìm vận tốc trung bình từ $t = 5 - h$ đến $t = 5$ .

Khai triển $(5 - h)^2 = 25 - 10h + h^2$ , rồi rút gọn $h$ :

\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{4.9(5)^2 - 4.9(5 - h)^2}{h} = \dfrac{49h - 4.9h^2}{h} = 49 - 4.9h

Bước 3. Gọi $v(5)$ là vận tốc tại $t = 5$ .

Vận tốc đang tăng gần $t = 5$ , nên $v(5)$ nằm giữa hai vận tốc trung bình:

49 - 4.9h \le v(5) \le 49 + 4.9h

Bước 4. Cho $h$ tiến tới $0$ .

Cả hai cận đều tiến tới $49$ , nên

v(5) = \lim_{h \to 0}(49 - 4.9h) = \lim_{h \to 0}(49 + 4.9h) = 49 \text{ m/s}

Bảng 1.1 cho thấy các vận tốc trung bình khi $h$ ngày càng nhỏ.

Length of time interval $h$ (s)	Before $t = 5$ (m/s)	After $t = 5$ (m/s)
1	44.1	53.9
0.1	48.51	49.49
0.01	48.951	49.049
0.001	48.9951	49.0049
0.0001	48.99951	49.00049
0.00001	48.999951	49.000049

Table 1.1 · Average velocities over short time intervals near

t = 5

Vne

Độ dài khoảng thời gian $h$ (s)	Trước $t = 5$ (m/s)	Sau $t = 5$ (m/s)
1	44.1	53.9
0.1	48.51	49.49
0.01	48.951	49.049
0.001	48.9951	49.0049
0.0001	48.99951	49.00049
0.00001	48.999951	49.000049

Bảng 1.1 · Vận tốc trung bình trên các khoảng thời gian ngắn gần

t = 5

2Definition of Limit

Định nghĩa giới hạn

Limits describe how the outputs of a function behave when the inputs approach a value. In Example 2, the average velocity is not defined at $h = 0$ , but it approaches $49$ as $h$ approaches $0$ . A calculator can suggest a limit, and algebra or calculus can confirm it.

Vne

Giới hạn mô tả cách các giá trị đầu ra của một hàm số thay đổi khi đầu vào tiến tới một giá trị. Trong Ví dụ 2, vận tốc trung bình không xác định tại $h = 0$ , nhưng nó tiến tới $49$ khi $h$ tiến tới $0$ . Máy tính có thể gợi ý một giới hạn, còn đại số hoặc giải tích có thể xác nhận nó.

Definition · Limit

We write $\lim_{x \to c} f(x) = L$ and read it as “the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$ equals $L$ .” It means we can make $f(x)$ as close to $L$ as we like by taking $x$ close to $c$ , but not equal to $c$ .

Vne

Định nghĩa · Giới hạn

Ta viết $\lim_{x \to c} f(x) = L$ và đọc là “giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến tới $c$ bằng $L$ ”. Điều này nghĩa là ta có thể làm $f(x)$ gần $L$ tùy ý, bằng cách lấy $x$ gần $c$ nhưng khác $c$ .

Figure 1.1 shows $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ . Its graph and table suggest that $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ . The function is not defined at $x = 0$ , but this does not change the limit. We cannot cancel $x$ as we did with $h$ in Example 2. We need a theorem about limits, Theorem 4 below, to confirm it.

Vne

Hình 1.1 cho thấy $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ . Đồ thị và bảng giá trị gợi ý rằng $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ . Hàm số không xác định tại $x = 0$ , nhưng điều này không làm thay đổi giới hạn. Ta không thể rút gọn $x$ như đã làm với $h$ ở Ví dụ 2. Ta cần một định lý về giới hạn, Định lý 4 bên dưới, để kiểm chứng.

Figure 1.1(a) ·

y = \dfrac{\sin x}{x}

, undefined at

x = 0

$x$	$\dfrac{\sin x}{x}$
$-0.3$	0.98507
$-0.2$	0.99335
$-0.1$	0.99833
$0$	undefined
$0.1$	0.99833
$0.2$	0.99335
$0.3$	0.98507

Table 1.1(b) · Values of

\dfrac{\sin x}{x}

near

x = 0

Vne

Hình 1.1(a) ·

y = \dfrac{\sin x}{x}

, không xác định tại

x = 0

$x$	$\dfrac{\sin x}{x}$
$-0.3$	0.98507
$-0.2$	0.99335
$-0.1$	0.99833
$0$	không xác định
$0.1$	0.99833
$0.2$	0.99335
$0.3$	0.98507

Bảng 1.1(b) · Các giá trị của

\dfrac{\sin x}{x}

gần

x = 0

The limit depends only on the values of $f$ near $c$ . It does not depend on $f(c)$ , or on whether $f(c)$ exists. Figure 1.2 shows three functions with the same limit at $x = 1$ .

Vne

Giới hạn chỉ phụ thuộc vào các giá trị của $f$ gần $c$ . Nó không phụ thuộc vào $f(c)$ , cũng không phụ thuộc vào việc $f(c)$ có tồn tại hay không. Hình 1.2 cho thấy ba hàm số có cùng giới hạn tại $x = 1$ .

All three functions have limit $2$ as $x \to 1$ . The function $f$ is not defined at $1$ . The function $g$ has $g(1) = 1$ , which is not $2$ . Only $h$ has $h(1) = 2$ .

Figure 1.2(a) ·

f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}

, undefined at

x = 1

Figure 1.2(b) · Same as (a), except

g(1) = 1

Figure 1.2(c) ·

h(x) = x + 1

, with

h(1) = 2

Vne

Cả ba hàm số đều có giới hạn bằng $2$ khi $x \to 1$ . Hàm số $f$ không xác định tại $1$ . Hàm số $g$ có $g(1) = 1$ , không bằng $2$ . Chỉ có $h$ có $h(1) = 2$ .

Hình 1.2(a) ·

f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}

, không xác định tại

x = 1

Hình 1.2(b) · Giống (a), chỉ khác

g(1) = 1

Hình 1.2(c) ·

h(x) = x + 1

, với

h(1) = 2

3Properties of Limits

Các tính chất của giới hạn

We know two basic limits. For any constant $k$ , $\lim_{x \to c} k = k$ . Also, $\lim_{x \to c} x = c$ . Theorem 1 combines these facts to find many other limits.

Vne

Ta biết hai giới hạn cơ bản. Với hằng số $k$ bất kỳ, $\lim_{x \to c} k = k$ . Ngoài ra, $\lim_{x \to c} x = c$ . Định lý 1 kết hợp các kết quả này để tìm nhiều giới hạn khác.

Theorem 1 · Properties of Limits

Let $L$ , $M$ , $c$ and $k$ be real numbers. Suppose $\lim_{x \to c} f(x) = L$ and $\lim_{x \to c} g(x) = M$ . Then:

Sum rule: $\lim_{x \to c}\bigl(f(x) + g(x)\bigr) = L + M$ . The limit of a sum is the sum of the limits.
Difference rule: $\lim_{x \to c}\bigl(f(x) - g(x)\bigr) = L - M$ . The limit of a difference is the difference of the limits.
Product rule: $\lim_{x \to c}\bigl(f(x) \cdot g(x)\bigr) = L \cdot M$ . The limit of a product is the product of the limits.
Constant multiple rule: $\lim_{x \to c}\bigl(k \cdot f(x)\bigr) = k \cdot L$ . The limit of a constant times a function is the constant times the limit.
Quotient rule: $\lim_{x \to c}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ , provided $M \ne 0$ . The limit of a quotient is the quotient of the limits, if the limit of the denominator is not zero.
Power rule: If $r$ and $s$ are integers and $s \ne 0$ , then $\lim_{x \to c}\bigl(f(x)\bigr)^{r/s} = L^{r/s}$ , provided $L^{r/s}$ is a real number and $L \gt 0$ if $s$ is even.

Vne

Định lý 1 · Các tính chất của giới hạn

Cho $L$ , $M$ , $c$ và $k$ là các số thực. Giả sử $\lim_{x \to c} f(x) = L$ và $\lim_{x \to c} g(x) = M$ . Khi đó:

Quy tắc tổng: $\lim_{x \to c}\bigl(f(x) + g(x)\bigr) = L + M$ . Giới hạn của một tổng bằng tổng các giới hạn.
Quy tắc hiệu: $\lim_{x \to c}\bigl(f(x) - g(x)\bigr) = L - M$ . Giới hạn của một hiệu bằng hiệu các giới hạn.
Quy tắc tích: $\lim_{x \to c}\bigl(f(x) \cdot g(x)\bigr) = L \cdot M$ . Giới hạn của một tích bằng tích các giới hạn.
Quy tắc nhân hằng số: $\lim_{x \to c}\bigl(k \cdot f(x)\bigr) = k \cdot L$ . Hằng số có thể đưa ra ngoài dấu giới hạn.
Quy tắc thương: $\lim_{x \to c}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ , với điều kiện $M \ne 0$ . Giới hạn của thương bằng thương các giới hạn, miễn là giới hạn của mẫu khác không.
Quy tắc lũy thừa: Nếu $r$ và $s$ là số nguyên và $s \ne 0$ thì $\lim_{x \to c}\bigl(f(x)\bigr)^{r/s} = L^{r/s}$ , với điều kiện $L^{r/s}$ là số thực và $L \gt 0$ nếu $s$ chẵn.

Using these facts, we can find limits of all polynomial and rational functions. Example 3 shows how.

Vne

Dùng các kết quả này, ta có thể tìm giới hạn của mọi đa thức và hàm hữu tỉ. Ví dụ 3 minh họa cách làm.

Example 3Limits from the basic facts

Use $\lim_{x \to c} k = k$ , $\lim_{x \to c} x = c$ and Theorem 1 to find:

(a) $\lim_{x \to c}(2x^3 - 3x + 1)$ (b) $\lim_{x \to c}\dfrac{x^2 - 2x + 3}{x^3 + 1}$

(a) Use the sum, difference and constant multiple rules.

The limit of $x^3$ is $c^3$ by the product rule, and the limit of $1$ is $1$ :

\lim_{x \to c}(2x^3 - 3x + 1) = 2\lim_{x \to c}x^3 - 3\lim_{x \to c}x + \lim_{x \to c}1 = 2c^3 - 3c + 1

(b) The denominator has limit $c^3 + 1$ .

This is not zero when $c \ne -1$ , so the quotient rule applies:

\lim_{x \to c}\dfrac{x^2 - 2x + 3}{x^3 + 1} = \dfrac{c^2 - 2c + 3}{c^3 + 1}, \qquad c \ne -1

Vne

Ví dụ 3Giới hạn từ các kết quả cơ bản

Dùng $\lim_{x \to c} k = k$ , $\lim_{x \to c} x = c$ và Định lý 1 để tìm:

(a) $\lim_{x \to c}(2x^3 - 3x + 1)$ (b) $\lim_{x \to c}\dfrac{x^2 - 2x + 3}{x^3 + 1}$

(a) Dùng quy tắc tổng, quy tắc hiệu và quy tắc nhân hằng số.

Theo quy tắc tích, giới hạn của $x^3$ là $c^3$ , còn giới hạn của $1$ là $1$ :

\lim_{x \to c}(2x^3 - 3x + 1) = 2\lim_{x \to c}x^3 - 3\lim_{x \to c}x + \lim_{x \to c}1 = 2c^3 - 3c + 1

(b) Mẫu có giới hạn là $c^3 + 1$ .

Giá trị này khác không khi $c \ne -1$ , nên ta áp dụng quy tắc thương:

\lim_{x \to c}\dfrac{x^2 - 2x + 3}{x^3 + 1} = \dfrac{c^2 - 2c + 3}{c^3 + 1}, \qquad c \ne -1

From the two basic facts and Theorem 1, we get the limit of any polynomial, and of most rational functions, by substitution.

Vne

Từ hai giới hạn cơ bản và Định lý 1, ta tìm được giới hạn của mọi đa thức, và của hầu hết các hàm hữu tỉ, bằng phép thế.

Theorem 2 · Polynomial and Rational Functions

If $f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$ is a polynomial and $c$ is any real number, then $\lim_{x \to c} f(x) = f(c) = a_n c^n + a_{n-1}c^{n-1} + \cdots + a_0$ .
If $f(x)$ and $g(x)$ are polynomials and $g(c) \ne 0$ , then $\lim_{x \to c}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f(c)}{g(c)}$ .

Vne

Định lý 2 · Đa thức và hàm hữu tỉ

Nếu $f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$ là một đa thức và $c$ là số thực bất kỳ, thì $\lim_{x \to c} f(x) = f(c) = a_n c^n + a_{n-1}c^{n-1} + \cdots + a_0$ .
Nếu $f(x)$ và $g(x)$ là các đa thức và $g(c) \ne 0$ , thì $\lim_{x \to c}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f(c)}{g(c)}$ .

Example 4Limits of a polynomial and a rational function

Use Theorem 2 to find (a) $\lim_{x \to -2} x^3(1 - x)$ and (b) $\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 + 5x + 2}{x + 1}$ .

(a) $x^3(1 - x)$ is a polynomial, so we substitute $x = -2$ :

\lim_{x \to -2} x^3(1 - x) = (-2)^3\bigl(1 - (-2)\bigr) = (-8)(3) = -24

(b) The denominator is $1 + 1 = 2$ at $x = 1$ .

It is not zero, so we substitute $x = 1$ :

\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 + 5x + 2}{x + 1} = \dfrac{1^2 + 5(1) + 2}{1 + 1} = \dfrac{8}{2} = 4

Vne

Ví dụ 4Giới hạn của một đa thức và một hàm hữu tỉ

Dùng Định lý 2 để tìm (a) $\lim_{x \to -2} x^3(1 - x)$ và (b) $\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 + 5x + 2}{x + 1}$ .

(a) $x^3(1 - x)$ là một đa thức, nên ta thế $x = -2$ :

\lim_{x \to -2} x^3(1 - x) = (-2)^3\bigl(1 - (-2)\bigr) = (-8)(3) = -24

(b) Mẫu bằng $1 + 1 = 2$ tại $x = 1$ .

Giá trị này khác không, nên ta thế $x = 1$ :

\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 + 5x + 2}{x + 1} = \dfrac{1^2 + 5(1) + 2}{1 + 1} = \dfrac{8}{2} = 4

Substitution also works for many other familiar functions, such as trigonometric, exponential and logarithmic functions, and composites of these. It works at each point where they are defined.

Vne

Phép thế cũng dùng được cho nhiều hàm số quen thuộc khác, như hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit và các hàm hợp của chúng. Phép thế dùng được tại mọi điểm mà các hàm số này có nghĩa.

Example 5A limit with

\tan 2x

Find $\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan 2x}{x}$ .

Figure 1.3 ·

f(x) = \dfrac{\tan 2x}{x}

suggests

f(x) \to 2

x \to 0

The graph in Figure 1.3 suggests the limit is about $2$ .

To confirm it, write $\tan 2x = \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}$ and multiply and divide by $2$ :

\dfrac{\tan 2x}{x} = 2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{2x} \cdot \dfrac{1}{\cos 2x}

Let $u = 2x$ .

As $x \to 0$ , $u \to 0$ , so $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{2x} = \lim_{u \to 0}\dfrac{\sin u}{u} = 1$ , the limit from Figure 1.1.

Take the limit of each factor and use the product rule.

The limit of $\dfrac{1}{\cos 2x}$ is $\dfrac{1}{\cos 0} = 1$ :

\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan 2x}{x} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2

Vne

Ví dụ 5Giới hạn với

\tan 2x

Tìm $\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan 2x}{x}$ .

Hình 1.3 ·

f(x) = \dfrac{\tan 2x}{x}

gợi ý

f(x) \to 2

khi

x \to 0

Đồ thị ở Hình 1.3 gợi ý giới hạn khoảng $2$ .

Để kiểm chứng, viết $\tan 2x = \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}$ rồi nhân và chia cho $2$ :

\dfrac{\tan 2x}{x} = 2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{2x} \cdot \dfrac{1}{\cos 2x}

Đặt $u = 2x$ .

Khi $x \to 0$ thì $u \to 0$ , nên $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{2x} = \lim_{u \to 0}\dfrac{\sin u}{u} = 1$ , là giới hạn ở Hình 1.1.

Lấy giới hạn của từng thừa số rồi dùng quy tắc tích.

Giới hạn của $\dfrac{1}{\cos 2x}$ là $\dfrac{1}{\cos 0} = 1$ :

\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan 2x}{x} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2

Example 6A limit that does not exist

Use a graph to explore whether $\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ exists.

Figure 1.4 ·

f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}

, undefined at

x = 3

Substitution fails, because the denominator is $0$ at $x = 3$ .

Figure 1.4 shows that the values of $f$ grow large near $x = 3$ .

The numerator is near $3^2 + 1 = 10$ , which is positive.

When $x$ is slightly larger than $3$ , $x - 3$ is a small positive number, so $f(x)$ is a large positive number.

When $x$ is slightly smaller than $3$ , $x - 3$ is a small negative number, so $f(x)$ is a large negative number.

The values do not approach one number from both sides, so the limit does not exist.

Vne

Ví dụ 6Một giới hạn không tồn tại

Dùng đồ thị để khảo sát xem $\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ có tồn tại hay không.

Hình 1.4 ·

f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}

, không xác định tại

x = 3

Không thể thế trực tiếp, vì mẫu bằng $0$ tại $x = 3$ .

Hình 1.4 cho thấy các giá trị của $f$ tăng lớn gần $x = 3$ .

Tử số gần $3^2 + 1 = 10$ , là số dương.

Khi $x$ lớn hơn $3$ một chút, $x - 3$ là một số dương nhỏ, nên $f(x)$ là một số dương lớn.

Khi $x$ nhỏ hơn $3$ một chút, $x - 3$ là một số âm nhỏ, nên $f(x)$ là một số âm lớn.

Các giá trị không tiến tới cùng một số từ hai phía, nên giới hạn không tồn tại.

4One-Sided and Two-Sided Limits

Giới hạn một phía và giới hạn hai phía

Sometimes we need to know what happens just to the right of $c$ , and just to the left of $c$ .

Vne

Đôi khi ta cần biết điều gì xảy ra ngay bên phải của $c$ và ngay bên trái của $c$ .

Definition · One-sided limits

The right-hand limit of $f$ at $c$ is the limit as $x$ approaches $c$ from the right. The left-hand limit is the limit as $x$ approaches $c$ from the left. We write $\lim_{x \to c^+} f(x)$ for the right-hand limit and $\lim_{x \to c^-} f(x)$ for the left-hand limit.

Vne

Định nghĩa · Giới hạn một phía

Giới hạn bên phải của $f$ tại $c$ là giới hạn khi $x$ tiến tới $c$ từ phía bên phải. Giới hạn bên trái là giới hạn khi $x$ tiến tới $c$ từ phía bên trái. Ta viết $\lim_{x \to c^+} f(x)$ cho giới hạn bên phải và $\lim_{x \to c^-} f(x)$ cho giới hạn bên trái.

Example 7Left and right limits of the floor function

The floor function $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer that is less than or equal to $x$ . Find $\lim_{x \to 4^+}\lfloor x \rfloor$ and $\lim_{x \to 4^-}\lfloor x \rfloor$ .

For $x$ slightly greater than $4$ , such as $x = 4.001$ , the greatest integer not above $x$ is $4$ .

\lim_{x \to 4^+}\lfloor x \rfloor = 4

For $x$ slightly less than $4$ , such as $x = 3.999$ , the greatest integer not above $x$ is $3$ .

\lim_{x \to 4^-}\lfloor x \rfloor = 3

Vne

Ví dụ 7Giới hạn trái và phải của hàm phần nguyên

Hàm phần nguyên $\lfloor x \rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ . Tìm $\lim_{x \to 4^+}\lfloor x \rfloor$ và $\lim_{x \to 4^-}\lfloor x \rfloor$ .

Với $x$ lớn hơn $4$ một chút, chẳng hạn $x = 4.001$ , số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ là $4$ .

Vậy

\lim_{x \to 4^+}\lfloor x \rfloor = 4

Với $x$ nhỏ hơn $4$ một chút, chẳng hạn $x = 3.999$ , số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ là $3$ .

Vậy

\lim_{x \to 4^-}\lfloor x \rfloor = 3

The floor function is also called the greatest integer function, written $\text{int}\, x$ on most calculators. For any integer $n$ , $\lim_{x \to n^+}\lfloor x \rfloor = n$ and $\lim_{x \to n^-}\lfloor x \rfloor = n - 1$ . Figure 1.5 shows the graph.

Figure 1.5 ·

y = \lfloor x \rfloor

: each integer has different one-sided limits

Vne

Hàm phần nguyên còn được gọi là hàm số nguyên lớn nhất, và trên hầu hết máy tính được viết là $\text{int}\, x$ . Với mọi số nguyên $n$ , $\lim_{x \to n^+}\lfloor x \rfloor = n$ và $\lim_{x \to n^-}\lfloor x \rfloor = n - 1$ . Hình 1.5 cho thấy đồ thị của hàm số.

Hình 1.5 ·

y = \lfloor x \rfloor

: mỗi số nguyên có giới hạn một phía khác nhau

Definition · Two-sided limit

We call $\lim_{x \to c} f(x)$ the two-sided limit of $f$ at $c$ . This separates it from the one-sided limits.

Vne

Định nghĩa · Giới hạn hai phía

Ta gọi $\lim_{x \to c} f(x)$ là giới hạn hai phía của $f$ tại $c$ . Cách gọi này phân biệt nó với các giới hạn một phía.

Theorem 3 · One-Sided and Two-Sided Limits

A function $f$ has a limit as $x \to c$ if and only if the right-hand and left-hand limits at $c$ exist and are equal. In symbols:

\lim_{x \to c} f(x) = L \iff \lim_{x \to c^+} f(x) = L = \lim_{x \to c^-} f(x)

Vne

Định lý 3 · Giới hạn một phía và hai phía

Hàm số $f$ có giới hạn khi $x \to c$ khi và chỉ khi giới hạn bên phải và giới hạn bên trái tại $c$ đều tồn tại và bằng nhau. Viết bằng ký hiệu:

\lim_{x \to c} f(x) = L \iff \lim_{x \to c^+} f(x) = L = \lim_{x \to c^-} f(x)

So $\lim_{x \to 4}\lfloor x \rfloor$ does not exist, even though each one-sided limit exists.

Vne

Vậy $\lim_{x \to 4}\lfloor x \rfloor$ không tồn tại, mặc dù mỗi giới hạn một phía đều tồn tại.

Example 8Reading one-sided limits from a graph

Figure 1.6 shows the graph of $y = f(x)$ , where

f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & 0 \le x \lt 1 \\ 2, & 1 \le x \lt 2 \\ 4, & x = 2 \\ x, & 2 \lt x \le 3 \\ 6 - x, & 3 \lt x \le 4 \end{cases}

Figure 1.6 · Graph of

f

; open dots mark excluded points

Find the one-sided and two-sided limits of $f$ at $x = 0, 1, 2, 3$ and $4$ .

At $x = 0$ : $f$ is not defined to the left of $0$ , so only the right-hand limit exists. Near $0$ on the right, $f(x) = 2x + 1$ , so $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ .
At $x = 1$ : From the left, $f(x) = 2x + 1$ gives $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3$ . From the right, $f(x) = 2$ gives $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2$ . The one-sided limits differ, so $\lim_{x \to 1} f(x)$ does not exist. (Note $f(1) = 2$ .)
At $x = 2$ : From the left, $f(x) = 2$ , so $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2$ . From the right, $f(x) = x$ , so $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2$ . Thus $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$ , even though $f(2) = 4$ .
At $x = 3$ : From the left, $f(x) = x$ , so $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$ . From the right, $f(x) = 6 - x$ , so $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3$ . Thus $\lim_{x \to 3} f(x) = 3 = f(3)$ .
At $x = 4$ : From the left, $f(x) = 6 - x$ , so $\lim_{x \to 4^-} f(x) = 2$ . This equals $f(4) = 2$ .

Vne

Ví dụ 8Đọc giới hạn một phía từ đồ thị

Hình 1.6 cho đồ thị của $y = f(x)$ , trong đó

f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & 0 \le x \lt 1 \\ 2, & 1 \le x \lt 2 \\ 4, & x = 2 \\ x, & 2 \lt x \le 3 \\ 6 - x, & 3 \lt x \le 4 \end{cases}

Hình 1.6 · Đồ thị của

f

; các chấm rỗng là điểm không thuộc hàm số

Tìm các giới hạn một phía và hai phía của $f$ tại $x = 0, 1, 2, 3$ và $4$ .

Tại $x = 0$ : $f$ không xác định bên trái $0$ , nên chỉ có giới hạn bên phải. Gần $0$ về phía phải, $f(x) = 2x + 1$ , nên $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ .
Tại $x = 1$ : Từ bên trái, $f(x) = 2x + 1$ cho $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3$ . Từ bên phải, $f(x) = 2$ cho $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2$ . Hai giới hạn một phía khác nhau, nên $\lim_{x \to 1} f(x)$ không tồn tại. (Lưu ý $f(1) = 2$ .)
Tại $x = 2$ : Từ bên trái, $f(x) = 2$ , nên $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2$ . Từ bên phải, $f(x) = x$ , nên $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2$ . Vậy $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$ , mặc dù $f(2) = 4$ .
Tại $x = 3$ : Từ bên trái, $f(x) = x$ , nên $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$ . Từ bên phải, $f(x) = 6 - x$ , nên $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3$ . Vậy $\lim_{x \to 3} f(x) = 3 = f(3)$ .
Tại $x = 4$ : Từ bên trái, $f(x) = 6 - x$ , nên $\lim_{x \to 4^-} f(x) = 2$ . Giá trị này bằng $f(4) = 2$ .

5Squeeze Theorem

Định lý kẹp

If we cannot find a limit directly, we may find it indirectly with the Squeeze Theorem. Suppose $f$ is trapped between $g$ and $h$ near $c$ . If $g$ and $h$ have the same limit $L$ at $c$ , then $f$ has that limit too. Figure 1.7 shows the idea.

Figure 1.7 · Near

c

g \le f \le h

forces

f

toward

L

Vne

Nếu không tìm được giới hạn một cách trực tiếp, ta có thể tìm nó một cách gián tiếp bằng định lý kẹp. Giả sử $f$ bị kẹp giữa $g$ và $h$ gần $c$ . Nếu $g$ và $h$ có cùng giới hạn $L$ tại $c$ thì $f$ cũng có giới hạn đó. Hình 1.7 minh họa ý tưởng này.

Hình 1.7 · Gần

c

g \le f \le h

buộc

f

tiến tới

L

Theorem 4 · The Squeeze Theorem

If $g(x) \le f(x) \le h(x)$ for all $x \ne c$ in some interval about $c$ , and

\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L,

then $\lim_{x \to c} f(x) = L$ .

Vne

Định lý 4 · Định lý kẹp

Nếu $g(x) \le f(x) \le h(x)$ với mọi $x \ne c$ trong một khoảng quanh $c$ , và

\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L,

thì $\lim_{x \to c} f(x) = L$ .

Example 9Squeezing an oscillating function

Show that $\lim_{x \to 0} x^2\sin\dfrac{3}{x} = 0$ .

Figure 1.8 ·

x^2\sin\dfrac{3}{x}

lies between

\pm x^2

The sine of any number lies between $-1$ and $1$ .

So $\left|\sin\dfrac{3}{x}\right| \le 1$ for every $x \ne 0$ .

Multiply by $x^2 \ge 0$ , which keeps the inequalities:

-x^2 \le x^2\sin\dfrac{3}{x} \le x^2

Since $\lim_{x \to 0}(-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$ , the Squeeze Theorem gives

\lim_{x \to 0} x^2\sin\dfrac{3}{x} = 0

Figure 1.8 agrees: the wiggles of the middle graph shrink between the two parabolas.

Vne

Ví dụ 9Kẹp một hàm số dao động

Chứng minh rằng $\lim_{x \to 0} x^2\sin\dfrac{3}{x} = 0$ .

Hình 1.8 ·

x^2\sin\dfrac{3}{x}

nằm giữa

\pm x^2

Sin của một số bất kỳ nằm giữa $-1$ và $1$ .

Vậy $\left|\sin\dfrac{3}{x}\right| \le 1$ với mọi $x \ne 0$ .

Nhân cả ba vế với $x^2 \ge 0$ , các bất đẳng thức vẫn giữ nguyên:

-x^2 \le x^2\sin\dfrac{3}{x} \le x^2

Vì $\lim_{x \to 0}(-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$ , định lý kẹp cho ta

\lim_{x \to 0} x^2\sin\dfrac{3}{x} = 0

Hình 1.8 phù hợp với kết quả: các đường gợn sóng ở giữa co lại giữa hai parabol.