AP CalculusLessonBài giảng 1.3 ContinuityTính liên tục 1.2 1.4

1.3 Continuity Tính liên tục

1Continuity at a Point

Tính liên tục tại một điểm

We often connect measured values with an unbroken curve. The curve shows the values at times we did not measure (Figure 1.16). In doing so, we assume the function is a continuous function. Its outputs change smoothly with its inputs and do not jump. A function whose graph can be drawn without lifting the pencil is continuous.

Figure 1.16 · Heart rate

H(t) = 80 + 90e^{-0.35t}

returns to normal after exercise

Vne

Ta thường nối các giá trị đo được bằng một đường cong liền nét. Đường cong cho biết giá trị tại những thời điểm ta không đo (Hình 1.16). Khi làm vậy, ta giả định hàm số là một hàm số liên tục. Đầu ra của nó thay đổi trơn tru theo đầu vào và không nhảy. Hàm số có đồ thị vẽ được mà không cần nhấc bút là hàm số liên tục.

Hình 1.16 · Nhịp tim trở về mức bình thường sau khi vận động,

H(t) = 80 + 90e^{-0.35t}

Many physical processes are continuous. Others are not. For example, heated atoms emit light only at certain discrete frequencies. Discontinuous functions are also common in computer science, statistics and mathematical modeling. So continuity matters in practice as well as in theory.

Vne

Nhiều quá trình vật lý là liên tục. Một số thì không. Chẳng hạn, các nguyên tử bị nung nóng chỉ phát ra ánh sáng ở một số tần số rời rạc. Hàm số không liên tục cũng rất phổ biến trong khoa học máy tính, thống kê và mô hình toán học. Vì vậy, tính liên tục quan trọng cả trong thực hành lẫn trong lý thuyết.

To understand continuity, consider the function $f$ in Figure 1.18.

Figure 1.18 · Graph of

y = f(x)

[0, 4]

: a quadratic, a constant and a quadratic piece; open dots are not on the graph

Vne

Để hiểu tính liên tục, hãy xét hàm số $f$ trong Hình 1.18.

Hình 1.18 · Đồ thị của

y = f(x)

trên

[0, 4]

: một đoạn bậc hai, một đoạn hằng và một đoạn bậc hai; các chấm rỗng không thuộc đồ thị

Example 1Where a function is continuous

The function $f$ in Figure 1.18 is

f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & 0 \le x \lt 1 \\ 1, & 1 \le x \lt 2 \\ 5, & x = 2 \\ (x - 1)^2, & 2 \lt x \le 4 \end{cases}

Find the points at which $f$ is continuous, and the points at which $f$ is discontinuous.

The function $f$ is continuous at every point of its domain $[0, 4]$ , except at $x = 1$ and $x = 2$ .

At these points, the graph has breaks.

Compare the limit of $f$ with the value $f(c)$ at each point.

Points where $f$ is continuous:

At $x = 0$ : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 = f(0)$ .
At $x = 4$ : $\lim_{x \to 4^-} f(x) = 9 = f(4)$ .
At $0 \lt c \lt 4$ with $c \ne 1, 2$ : $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ . For example, at $c = 3$ , the limit is $4 = f(3)$ .

Points where $f$ is discontinuous:

At $x = 1$ : $\lim_{x \to 1} f(x)$ does not exist. The left limit is $2$ and the right limit is $1$ .
At $x = 2$ : $\lim_{x \to 2} f(x) = 1$ , but $f(2) = 5 \ne 1$ .
At $c \lt 0$ or $c \gt 4$ : these points are not in the domain of $f$ .

Vne

Ví dụ 1Nơi hàm số liên tục

Hàm số $f$ trong Hình 1.18 là

f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & 0 \le x \lt 1 \\ 1, & 1 \le x \lt 2 \\ 5, & x = 2 \\ (x - 1)^2, & 2 \lt x \le 4 \end{cases}

Tìm các điểm mà $f$ liên tục, và các điểm mà $f$ gián đoạn.

Hàm số $f$ liên tục tại mọi điểm của tập xác định $[0, 4]$ , trừ $x = 1$ và $x = 2$ .

Tại các điểm này, đồ thị bị đứt.

Hãy so sánh giới hạn của $f$ với giá trị $f(c)$ tại mỗi điểm.

Các điểm mà $f$ liên tục:

Tại $x = 0$ : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 = f(0)$ .
Tại $x = 4$ : $\lim_{x \to 4^-} f(x) = 9 = f(4)$ .
Tại $0 \lt c \lt 4$ với $c \ne 1, 2$ : $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ . Chẳng hạn, tại $c = 3$ , giới hạn bằng $4 = f(3)$ .

Các điểm mà $f$ gián đoạn:

Tại $x = 1$ : $\lim_{x \to 1} f(x)$ không tồn tại. Giới hạn trái bằng $2$ và giới hạn phải bằng $1$ .
Tại $x = 2$ : $\lim_{x \to 2} f(x) = 1$ , nhưng $f(2) = 5 \ne 1$ .
Tại $c \lt 0$ hoặc $c \gt 4$ : các điểm này không thuộc tập xác định của $f$ .

Figure 1.19 · Continuity at

a = 0

c = 1

and

b = 2

for

y = x^2

[0, 2]

To define continuity at a point in a function's domain, we need two cases. An interior point $c$ needs a two-sided limit. An endpoint needs a one-sided limit (Figure 1.19).

Vne

Hình 1.19 · Tính liên tục tại

a = 0

c = 1

và

b = 2

của

y = x^2

trên

[0, 2]

Để định nghĩa tính liên tục tại một điểm trong tập xác định của hàm số, ta cần hai trường hợp. Một điểm trong $c$ cần giới hạn hai phía. Một điểm biên cần giới hạn một phía (Hình 1.19).

Definition · Continuity at a point

Interior point: A function $y = f(x)$ is continuous at an interior point $c$ of its domain if

\lim_{x \to c} f(x) = f(c).

Endpoint: A function $y = f(x)$ is continuous at a left endpoint $a$ if $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ . It is continuous at a right endpoint $b$ if $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$ .

Vne

Định nghĩa · Tính liên tục tại một điểm

Điểm trong: Hàm số $y = f(x)$ là liên tục tại điểm trong $c$ của tập xác định nếu

\lim_{x \to c} f(x) = f(c).

Điểm biên: Hàm số $y = f(x)$ là liên tục tại điểm biên trái $a$ nếu $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ . Hàm số là liên tục tại điểm biên phải $b$ nếu $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$ .

Exponential functions such as $2^x$ are assumed to be continuous. This lets us define numbers with irrational exponents. For example, $2^{\pi}$ is the limit of $2^x$ as $x$ approaches $\pi$ through rational numbers. Fractional exponents come from roots and powers, such as $2^{2/3} = \left(\sqrt[3]{2}\right)^2$ .

Vne

Ta giả định các hàm mũ như $2^x$ là liên tục. Nhờ đó ta có thể định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ. Chẳng hạn, $2^{\pi}$ là giới hạn của $2^x$ khi $x$ tiến tới $\pi$ qua các số hữu tỉ. Số mũ phân số đến từ căn và lũy thừa, như $2^{2/3} = \left(\sqrt[3]{2}\right)^2$ .

Definition · Discontinuity

If $f$ is not continuous at a point $c$ , we say that $f$ is discontinuous at $c$ . The point $c$ is a point of discontinuity of $f$ . The point $c$ need not be in the domain of $f$ .

Vne

Định nghĩa · Gián đoạn

Nếu $f$ không liên tục tại điểm $c$ , ta nói $f$ gián đoạn tại $c$ . Điểm $c$ là một điểm gián đoạn của $f$ . Điểm $c$ không nhất thiết thuộc tập xác định của $f$ .

Example 2Points of continuity and discontinuity of int x

Find the points of continuity and the points of discontinuity of the greatest integer function $\text{int}\, x$ (Figure 1.20).

Figure 1.20 ·

y = \text{int}\, x

is continuous at every noninteger point

For $f$ to be continuous at $x = c$ , the limit as $x \to c$ must exist and equal $f(c)$ .

The greatest integer function is discontinuous at every integer.

For example,

\begin{aligned} \lim_{x \to 2^-}\text{int}\, x &= 1 \\ \lim_{x \to 2^+}\text{int}\, x &= 2 \end{aligned}

so $\lim_{x \to 2}\text{int}\, x$ does not exist.

Notice that $\text{int}\, 2 = 2$ .

In general, for any integer $n$ , $\lim_{x \to n^-}\text{int}\, x = n - 1$ and $\lim_{x \to n^+}\text{int}\, x = n$ .

So the limit as $x \to n$ does not exist.

The function is continuous at every other real number.

For example, $\lim_{x \to 2.5}\text{int}\, x = 2 = \text{int}\, 2.5$ .

In general, if $n - 1 \lt c \lt n$ for an integer $n$ , then $\lim_{x \to c}\text{int}\, x = n - 1 = \text{int}\, c$ .

Vne

Ví dụ 2Các điểm liên tục và gián đoạn của int x

Tìm các điểm liên tục và các điểm gián đoạn của hàm số nguyên lớn nhất $\text{int}\, x$ (Hình 1.20).

Hình 1.20 ·

y = \text{int}\, x

liên tục tại mọi điểm không nguyên

Để $f$ liên tục tại $x = c$ , giới hạn khi $x \to c$ phải tồn tại và bằng $f(c)$ .

Hàm số nguyên lớn nhất gián đoạn tại mọi số nguyên.

Chẳng hạn,

\begin{aligned} \lim_{x \to 2^-}\text{int}\, x &= 1 \\ \lim_{x \to 2^+}\text{int}\, x &= 2 \end{aligned}

nên $\lim_{x \to 2}\text{int}\, x$ không tồn tại.

Lưu ý $\text{int}\, 2 = 2$ .

Nói chung, với mọi số nguyên $n$ , $\lim_{x \to n^-}\text{int}\, x = n - 1$ và $\lim_{x \to n^+}\text{int}\, x = n$ .

Vậy giới hạn khi $x \to n$ không tồn tại.

Hàm số liên tục tại mọi số thực khác.

Chẳng hạn, $\lim_{x \to 2.5}\text{int}\, x = 2 = \text{int}\, 2.5$ .

Nói chung, nếu $n - 1 \lt c \lt n$ với $n$ nguyên, thì $\lim_{x \to c}\text{int}\, x = n - 1 = \text{int}\, c$ .

2Types of Discontinuities

Các loại gián đoạn

Figure 1.21 shows six functions. Part (a) is continuous at $x = 0$ . Parts (b) to (f) are not. The discontinuities differ in type.

Figure 1.21(a) ·

y = x + 1

, continuous at

x = 0

Figure 1.21(b) · Same line, with

f(0)

undefined

Figure 1.21(c) · Same line, with

f(0) = 2

instead of

1

Figure 1.21(d) · A step function,

f(0) = 1

Figure 1.21(e) ·

y = \dfrac{1}{x^2}

Figure 1.21(f) ·

y = \sin\dfrac{1}{x}

Vne

Hình 1.21 cho sáu hàm số. Phần (a) liên tục tại $x = 0$ . Các phần (b) đến (f) thì không. Các điểm gián đoạn khác nhau về loại.

Hình 1.21(a) ·

y = x + 1

, liên tục tại

x = 0

Hình 1.21(b) · Cùng đường thẳng, với

f(0)

không xác định

Hình 1.21(c) · Cùng đường thẳng, với

f(0) = 2

thay vì

1

Hình 1.21(d) · Hàm bậc thang,

f(0) = 1

Hình 1.21(e) ·

y = \dfrac{1}{x^2}

Hình 1.21(f) ·

y = \sin\dfrac{1}{x}

In (b) and (c), $f$ has a limit at $x = 0$ . The discontinuity is removable. In (b), $f(0)$ is undefined; setting $f(0) = 1$ makes the function continuous. In (c), $f(0) = 2$ ; setting $f(0) = 1$ makes it continuous. In both cases, we remove the discontinuity by setting $f(0)$ equal to the limit.

Vne

Trong (b) và (c), $f$ có giới hạn tại $x = 0$ . Gián đoạn này là gián đoạn bỏ được. Trong (b), $f(0)$ không xác định; đặt $f(0) = 1$ làm hàm số liên tục. Trong (c), $f(0) = 2$ ; đặt $f(0) = 1$ làm hàm số liên tục. Trong cả hai trường hợp, ta bỏ gián đoạn bằng cách đặt $f(0)$ bằng giới hạn.

The discontinuities in (d) to (f) are more serious. The limit as $x \to 0$ does not exist, and changing $f$ at $0$ does not help.

In (d), the step function has a jump discontinuity. The one-sided limits exist, but they have different values.
In (e), $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ has an infinite discontinuity, because the values grow without bound.
In (f), $y = \sin\dfrac{1}{x}$ has an oscillating discontinuity. It swings between $-1$ and $1$ , however close to $0$ we take $x$ .

Vne

Các gián đoạn ở (d) đến (f) nghiêm trọng hơn. Giới hạn khi $x \to 0$ không tồn tại, và đổi giá trị của $f$ tại $0$ cũng không giúp được gì.

Ở (d), hàm bậc thang có gián đoạn nhảy. Các giới hạn một phía tồn tại nhưng khác giá trị.
Ở (e), $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ có gián đoạn vô cực, vì các giá trị tăng không giới hạn.
Ở (f), $y = \sin\dfrac{1}{x}$ có gián đoạn dao động. Hàm số dao động giữa $-1$ và $1$ , dù ta lấy $x$ gần $0$ đến đâu.

Exploration 1Filling the hole in a graph

Let

f(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - 9}.

Factor the numerator and the denominator. What is the domain of $f$ ?
Study the graph of $f$ near $x = 3$ . Explain why $f$ has a removable discontinuity at $x = 3$ .
How should $f$ be defined at $x = 3$ to remove the discontinuity? Use a zoomed-in graph or a table of values if needed.
Show that $x - 3$ is a factor of the numerator. Cancel all common factors, then find $\lim_{x \to 3} f(x)$ for the simplified form of $f$ .
Define $g(x) = f(x)$ for $x \ne 3$ , and let $g(3)$ be the value you found in question 3. Show that $g$ is continuous at $x = 3$ . The function $g$ is the continuous extension of $f$ to include $x = 3$ .

1. The numerator is $x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x - 3)(x + 1)(x - 1)$ .

The denominator is $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ .

The domain of $f$ is all real numbers except $-3$ and $3$ .

2. Both the numerator and the denominator are $0$ at $x = 3$ , so the graph has a hole there.

The function is not defined at $3$ , but the values near $3$ approach one number.

The discontinuity is removable.

3. Define $f(3) = \dfrac{4}{3}$ .

The values near $3$ approach $\dfrac{4}{3}$ ;

for example, $f(2.999) \approx 1.3326$ and $f(3.001) \approx 1.3341$ .

4. Since $x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x - 3)(x^2 - 1)$ , we cancel $x - 3$ for $x \ne 3$ :

f(x) = \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x + 3}, \qquad x \ne 3

Then $\lim_{x \to 3} f(x) = \dfrac{(3 + 1)(3 - 1)}{3 + 3} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ .

5. With $g(3) = \dfrac{4}{3}$ , we have $\lim_{x \to 3} g(x) = \dfrac{4}{3} = g(3)$ .

So $g$ is continuous at $x = 3$ :

g(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - 9}, & x \ne 3 \\ \dfrac{4}{3}, & x = 3 \end{cases}

Vne

Khám phá 1Lấp lỗ hổng trên đồ thị

Cho

f(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - 9}.

Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử. Tập xác định của $f$ là gì?
Quan sát đồ thị của $f$ gần $x = 3$ . Giải thích vì sao $f$ có gián đoạn bỏ được tại $x = 3$ .
Cần định nghĩa $f$ tại $x = 3$ như thế nào để bỏ gián đoạn? Có thể dùng đồ thị phóng to hoặc bảng giá trị nếu cần.
Chứng minh rằng $x - 3$ là một nhân tử của tử số. Rút gọn mọi thừa số chung, rồi tìm $\lim_{x \to 3} f(x)$ của dạng rút gọn của $f$ .
Đặt $g(x) = f(x)$ với $x \ne 3$ , và cho $g(3)$ bằng giá trị bạn tìm được ở câu 3. Chứng minh rằng $g$ liên tục tại $x = 3$ . Hàm số $g$ là hàm mở rộng liên tục của $f$ khi thêm $x = 3$ .

1. Tử số là $x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x - 3)(x + 1)(x - 1)$ .

Mẫu số là $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ .

Tập xác định của $f$ là mọi số thực trừ $-3$ và $3$ .

2. Cả tử số và mẫu số đều bằng $0$ tại $x = 3$ , nên đồ thị có một lỗ hổng ở đó.

Hàm số không xác định tại $3$ , nhưng các giá trị gần $3$ tiến tới cùng một số.

Gián đoạn này bỏ được.

3. Đặt $f(3) = \dfrac{4}{3}$ .

Các giá trị gần $3$ tiến tới $\dfrac{4}{3}$ ;

chẳng hạn, $f(2.999) \approx 1.3326$ và $f(3.001) \approx 1.3341$ .

4. Vì $x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x - 3)(x^2 - 1)$ , ta rút gọn $x - 3$ với $x \ne 3$ :

f(x) = \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x + 3}, \qquad x \ne 3

Khi đó $\lim_{x \to 3} f(x) = \dfrac{(3 + 1)(3 - 1)}{3 + 3} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ .

5. Với $g(3) = \dfrac{4}{3}$ , ta có $\lim_{x \to 3} g(x) = \dfrac{4}{3} = g(3)$ .

Vậy $g$ liên tục tại $x = 3$ :

g(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - 9}, & x \ne 3 \\ \dfrac{4}{3}, & x = 3 \end{cases}

3Continuous Functions

Hàm số liên tục

Definition · Continuity on an interval

A function is continuous on an interval if and only if it is continuous at every point of the interval. A continuous function is one that is continuous at every point of its domain. A continuous function need not be continuous on every interval. For example, $y = \dfrac{1}{x}$ is not continuous on $[-1, 1]$ .

Vne

Định nghĩa · Liên tục trên một khoảng

Một hàm số là liên tục trên một khoảng khi và chỉ khi nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Một hàm số liên tục là hàm số liên tục tại mọi điểm của tập xác định. Hàm số liên tục không nhất thiết liên tục trên mọi khoảng. Chẳng hạn, $y = \dfrac{1}{x}$ không liên tục trên $[-1, 1]$ .

Example 3Identifying continuous functions

The reciprocal function $y = \dfrac{1}{x}$ (Figure 1.22) is a continuous function, because it is continuous at every point of its domain. However, it has a point of discontinuity at $x = 0$ , because it is not defined there.

Figure 1.22 ·

y = \dfrac{1}{x}

is continuous except at

x = 0

, a point of discontinuity

Vne

Ví dụ 3Nhận biết hàm số liên tục

Hàm số nghịch đảo $y = \dfrac{1}{x}$ (Hình 1.22) là hàm số liên tục, vì nó liên tục tại mọi điểm của tập xác định. Tuy nhiên, nó có một điểm gián đoạn tại $x = 0$ , vì tại đó hàm số không xác định.

Hình 1.22 ·

y = \dfrac{1}{x}

liên tục trừ tại

x = 0

, là một điểm gián đoạn

Polynomial functions are continuous at every real number $c$ , because $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ . Rational functions are continuous at every point of their domains. They have points of discontinuity at the zeros of their denominators. The absolute value function $y = |x|$ is continuous at every real number. Exponential, logarithmic, trigonometric and radical functions such as $y = \sqrt[n]{x}$ ( $n$ a positive integer greater than $1$ ) are continuous at every point of their domains. All of these are continuous functions.

Vne

Hàm đa thức liên tục tại mọi số thực $c$ , vì $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ . Hàm hữu tỉ liên tục tại mọi điểm của tập xác định. Chúng có điểm gián đoạn tại các nghiệm của mẫu số. Hàm giá trị tuyệt đối $y = |x|$ liên tục tại mọi số thực. Các hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác và hàm căn thức như $y = \sqrt[n]{x}$ ( $n$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ ) liên tục tại mọi điểm của tập xác định. Tất cả các hàm này đều là hàm số liên tục.

Theorem 6 · Properties of Continuous Functions

If the functions $f$ and $g$ are continuous at $x = c$ , then the following combinations are continuous at $x = c$ :

Sums: $f + g$
Differences: $f - g$
Products: $f \cdot g$
Constant multiples: $k \cdot f$ , for any number $k$
Quotients: $\dfrac{f}{g}$ , provided $g(c) \ne 0$

Vne

Định lý 6 · Các tính chất của hàm số liên tục

Nếu các hàm số $f$ và $g$ liên tục tại $x = c$ , thì các tổ hợp sau liên tục tại $x = c$ :

Tổng: $f + g$
Hiệu: $f - g$
Tích: $f \cdot g$
Nhân với hằng số: $k \cdot f$ , với số $k$ bất kỳ
Thương: $\dfrac{f}{g}$ , với điều kiện $g(c) \ne 0$

As you may have guessed, algebraic combinations of continuous functions are continuous wherever they are defined.

Vne

Như bạn có thể đoán, các tổ hợp đại số của hàm số liên tục đều liên tục tại mọi nơi chúng có nghĩa.

4Composites

Hàm hợp

All composites of continuous functions are continuous. So composites like $y = \sin(x^2)$ and $y = |\cos x|$ are continuous at every point where they are defined.

The idea is this. If $f$ is continuous at $c$ , and $g$ is continuous at $f(c)$ , then $g \circ f$ is continuous at $c$ (Figure 1.23). In this case, the limit as $x \to c$ is $g(f(c))$ .

Figure 1.23 · A composite of continuous functions is continuous

Vne

Mọi hàm hợp của các hàm số liên tục đều liên tục. Vì vậy, các hàm hợp như $y = \sin(x^2)$ và $y = |\cos x|$ liên tục tại mọi điểm mà chúng có nghĩa.

Ý tưởng như sau. Nếu $f$ liên tục tại $c$ , và $g$ liên tục tại $f(c)$ , thì $g \circ f$ liên tục tại $c$ (Hình 1.23). Khi đó, giới hạn khi $x \to c$ là $g(f(c))$ .

Hình 1.23 · Hàm hợp của các hàm số liên tục là liên tục

Theorem 7 · Composite of Continuous Functions

If $f$ is continuous at $c$ and $g$ is continuous at $f(c)$ , then the composite $g \circ f$ is continuous at $c$ .

Vne

Định lý 7 · Hàm hợp của các hàm số liên tục

Nếu $f$ liên tục tại $c$ và $g$ liên tục tại $f(c)$ , thì hàm hợp $g \circ f$ liên tục tại $c$ .

Example 4Using Theorem 7

Show that $y = \left|\dfrac{2x \sin x}{x^2 + 3}\right|$ is continuous.

Figure 1.24 · The graph suggests that

y = \left|\dfrac{2x \sin x}{x^2 + 3}\right|

is continuous

The graph in Figure 1.24 suggests that the function is continuous at every value of $x$ .

To confirm this, let

let $g(x) = |x|$ and $f(x) = \dfrac{2x \sin x}{x^2 + 3}$ .

Then $y = g(f(x))$ is the composite $g \circ f$ .

The absolute value function $g$ is continuous.

The function $f$ is continuous by Theorem 6: $x$ and $\sin x$ are continuous, so their product is continuous, and the denominator $x^2 + 3$ is never $0$ .

Their composite is continuous by Theorem 7.

Vne

Ví dụ 4Dùng Định lý 7

Chứng minh rằng $y = \left|\dfrac{2x \sin x}{x^2 + 3}\right|$ là liên tục.

Hình 1.24 · Đồ thị gợi ý rằng

y = \left|\dfrac{2x \sin x}{x^2 + 3}\right|

liên tục

Đồ thị ở Hình 1.24 gợi ý rằng hàm số liên tục tại mọi giá trị của $x$ .

Để kiểm chứng, đặt

đặt $g(x) = |x|$ và $f(x) = \dfrac{2x \sin x}{x^2 + 3}$ .

Khi đó $y = g(f(x))$ là hàm hợp $g \circ f$ .

Hàm giá trị tuyệt đối $g$ liên tục.

Hàm $f$ liên tục theo Định lý 6: $x$ và $\sin x$ liên tục nên tích của chúng liên tục, và mẫu số $x^2 + 3$ không bao giờ bằng $0$ .

Hàm hợp của chúng liên tục theo Định lý 7.

5Intermediate Value Theorem for Continuous Functions

Định lý giá trị trung gian cho hàm số liên tục

Definition · Intermediate value property

Functions that are continuous on intervals have properties that make them very useful. One is the intermediate value property. A function has this property if it never takes on two values without taking on all the values in between.

Vne

Định nghĩa · Tính chất giá trị trung gian

Các hàm số liên tục trên khoảng có những tính chất rất hữu ích. Một trong số đó là tính chất giá trị trung gian. Một hàm số có tính chất này nếu nó không nhận hai giá trị mà không nhận tất cả các giá trị nằm giữa chúng.

Theorem 8 · The Intermediate Value Theorem for Continuous Functions

A function $y = f(x)$ that is continuous on a closed interval $[a, b]$ takes on every value between $f(a)$ and $f(b)$ . In other words, if $y_0$ is between $f(a)$ and $f(b)$ , then $y_0 = f(c)$ for some $c$ in $[a, b]$ .

Theorem 8 · For

y = x^2

[0, 2]

, the curve takes the value

y_0 = 1

c = 1

Vne

Định lý 8 · Định lý giá trị trung gian cho hàm số liên tục

Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn đóng $[a, b]$ nhận mọi giá trị nằm giữa $f(a)$ và $f(b)$ . Nói cách khác, nếu $y_0$ nằm giữa $f(a)$ và $f(b)$ thì $y_0 = f(c)$ với một số $c$ nào đó trong $[a, b]$ .

Định lý 8 · Với

y = x^2

trên

[0, 2]

, đường cong nhận giá trị

y_0 = 1

tại

c = 1

This theorem may seem so obvious that it does not need special attention. However, it is important, because it is a foundation for the fundamental theorems of calculus. The continuity of $f$ on the interval is essential. If $f$ is discontinuous at even one point of the interval, the conclusion may fail. This happens for the function in Figure 1.25.

Vne

Định lý này có vẻ hiển nhiên đến mức không cần được nhấn mạnh. Tuy nhiên, nó quan trọng vì là nền tảng cho các định lý cơ bản của giải tích. Tính liên tục của $f$ trên khoảng là thiết yếu. Nếu $f$ gián đoạn dù chỉ tại một điểm của khoảng, kết luận có thể sai. Điều này xảy ra với hàm số trong Hình 1.25.

Figure 1.25 shows the function

f(x) = \begin{cases} 2x - 2, & 1 \le x \lt 2 \\ 3, & 2 \le x \le 4 \end{cases}

does not take on all values between $f(1) = 0$ and $f(4) = 3$ . It misses all the values between $2$ and $3$ .

Figure 1.25 · A function with a jump at

x = 2

misses the values between

2

and

3

Vne

Hình 1.25 cho hàm số

f(x) = \begin{cases} 2x - 2, & 1 \le x \lt 2 \\ 3, & 2 \le x \le 4 \end{cases}

không nhận mọi giá trị nằm giữa $f(1) = 0$ và $f(4) = 3$ . Nó bỏ sót mọi giá trị nằm giữa $2$ và $3$ .

Hình 1.25 · Hàm số có bước nhảy tại

x = 2

bỏ sót các giá trị nằm giữa

2

và

3

A consequence for graphing: connectivity. Theorem 8 is the reason the graph of a function continuous on an interval has no breaks. The graph is connected: a single unbroken curve, like the graph of $\sin x$ . It has no jumps, like the graph of $\text{int}\, x$ , and no separate branches, like the graph of $\dfrac{1}{x}$ .

Vne

Hệ quả khi vẽ đồ thị: tính liên thông. Định lý 8 là lý do đồ thị của một hàm số liên tục trên khoảng không có đứt đoạn. Đồ thị là liên thông: một đường cong duy nhất, liền nét, như đồ thị của $\sin x$ . Nó không có bước nhảy như đồ thị của $\text{int}\, x$ , và không có các nhánh rời nhau như đồ thị của $\dfrac{1}{x}$ .

Most graphers can plot points (dot mode). Some can also turn on pixels between the plotted points to suggest an unbroken curve (connected mode). For functions, connected mode assumes that outputs vary continuously with inputs and do not jump from one value to another without taking on all values in between.

Vne

Hầu hết máy vẽ đồ thị có thể vẽ các điểm (chế độ chấm). Một số máy còn có thể bật các điểm ảnh giữa các điểm đã vẽ để gợi ý một đường cong liền nét (chế độ nối). Với hàm số, chế độ nối giả định rằng đầu ra thay đổi liên tục theo đầu vào. Nó không nhảy từ giá trị này sang giá trị khác mà không nhận mọi giá trị nằm giữa.

Example 5Using Theorem 8

Is any real number exactly $2$ less than its cube? Compute such a value to three decimal places.

Figure 1.26 · The graph of

f(x) = x^3 - x - 2

, with its zero marked

We answer this question with the Intermediate Value Theorem.

Any such number $x$ satisfies $x = x^3 - 2$ , or equivalently $x^3 - x - 2 = 0$ .

So we look for a zero of the continuous function $f(x) = x^3 - x - 2$ (Figure 1.26).

We have $f(1) = -2$ and $f(2) = 4$ .

The function changes sign between $1$ and $2$ , so by Theorem 8 there is a point $c$ between $1$ and $2$ with $f(c) = 0$ .

There are several ways to compute $c$ to three decimal places.

A graphing calculator can use ZOOM (box) and TRACE to give $c \approx 1.521$ .

Most calculators also have a numerical zero finder that gives the same answer immediately.

So $c \approx 1.521$ .

The number $1.521$ is exactly $2$ less than its cube, to three decimal places.

Vne

Ví dụ 5Dùng Định lý 8

Có số thực nào kém cả lập phương của nó đúng $2$ đơn vị không? Hãy tính một giá trị như vậy với ba chữ số thập phân.

Hình 1.26 · Đồ thị của

f(x) = x^3 - x - 2

, với nghiệm được đánh dấu

Ta trả lời câu hỏi này bằng Định lý giá trị trung gian.

Mọi số $x$ như vậy thỏa mãn $x = x^3 - 2$ , hay tương đương $x^3 - x - 2 = 0$ .

Vậy ta tìm nghiệm của hàm số liên tục $f(x) = x^3 - x - 2$ (Hình 1.26).

Ta có $f(1) = -2$ và $f(2) = 4$ .

Hàm số đổi dấu giữa $1$ và $2$ , nên theo Định lý 8 tồn tại một điểm $c$ giữa $1$ và $2$ với $f(c) = 0$ .

Có nhiều cách tính $c$ với ba chữ số thập phân.

Máy tính đồ thị dùng ZOOM (hình hộp) và TRACE cho $c \approx 1.521$ .

Hầu hết máy tính cũng có bộ tìm nghiệm số cho kết quả ngay.

Vậy $c \approx 1.521$ .

Số $1.521$ kém lập phương của nó đúng $2$ đơn vị, với ba chữ số thập phân.

Graphing calculators can compute $c$ to as many decimal places as the technology allows. Many calculators also have a numerical zero finder.

Vne

Máy tính đồ thị có thể tính $c$ với bao nhiêu chữ số thập phân tùy theo khả năng của thiết bị. Nhiều máy tính còn có bộ tìm nghiệm số.

Can you find the exact value of $c$ such that $f(c) = c^3 - c - 2 = 0$ ? You know this value exists by the Intermediate Value Theorem. Discuss your answer with your classmates and your teacher.

Vne

Bạn có tìm được giá trị đúng của $c$ sao cho $f(c) = c^3 - c - 2 = 0$ không? Bạn biết giá trị này tồn tại nhờ Định lý giá trị trung gian. Hãy thảo luận câu trả lời với bạn cùng lớp và giáo viên.