AP CalculusLessonBài giảng 1.4 Rates of Change, Tangent Lines, and SensitivityTốc độ thay đổi, tiếp tuyến và độ nhạy 1.3

1.4 Rates of Change, Tangent Lines, and Sensitivity Tốc độ thay đổi, tiếp tuyến và độ nhạy

1Average Rates of Change

Tốc độ thay đổi trung bình

Average rates of change appear in many places. Examples are average speed in miles per hour, population growth in percent per year, and average rainfall in inches per month.

Vne

Tốc độ thay đổi trung bình xuất hiện ở nhiều nơi. Chẳng hạn như tốc độ trung bình tính bằng dặm trên giờ, tốc độ tăng dân số tính bằng phần trăm mỗi năm và lượng mưa trung bình hằng tháng tính bằng inch mỗi tháng.

Definition · Average rate of change

The average rate of change of a function $f$ over an interval $[a, b]$ is the change in $f$ divided by the length of the interval:

\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}

Here $b - a$ is the length of the interval.

Vne

Định nghĩa · Tốc độ thay đổi trung bình

Tốc độ thay đổi trung bình của hàm số $f$ trên khoảng $[a, b]$ là độ thay đổi của $f$ chia cho độ dài của khoảng:

\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}

Ở đây $b - a$ là độ dài của khoảng.

Example 1Finding an Average Rate of Change

Find the average rate of change of $f(x) = x^3 - 2x$ over the interval $[1, 4]$ .

We need the values of $f$ at the two endpoints.

$f(1) = 1^3 - 2(1) = -1$ and $f(4) = 4^3 - 2(4) = 56$ .

Apply the definition with $a = 1$ and $b = 4$ :

\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{56 - (-1)}{3} = \dfrac{57}{3} = 19

So the average rate of change over $[1, 4]$ is $19$ .

Vne

Ví dụ 1Tìm tốc độ thay đổi trung bình

Tìm tốc độ thay đổi trung bình của $f(x) = x^3 - 2x$ trên khoảng $[1, 4]$ .

Trước hết ta cần giá trị của $f$ tại hai đầu mút.

$f(1) = 1^3 - 2(1) = -1$ và $f(4) = 4^3 - 2(4) = 56$ .

Áp dụng định nghĩa với $a = 1$ và $b = 4$ :

\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{56 - (-1)}{3} = \dfrac{57}{3} = 19

Vậy tốc độ thay đổi trung bình trên $[1, 4]$ là $19$ .

Biologists often want to know how fast a population grows under controlled laboratory conditions. Figure 1.27 shows how the number of fruit flies (Drosophila) grew in a controlled 50-day experiment. The flies were counted at regular intervals, each count was plotted as a point, and a smooth curve was drawn through the points.

Figure 1.27 · Growth of a fruit fly population in a controlled experiment. Source: Elements of Mathematical Biology (Example 2)

Vne

Các nhà sinh học thường muốn biết một quần thể tăng nhanh đến mức nào trong điều kiện phòng thí nghiệm được kiểm soát. Hình 1.27 cho thấy số ruồi giấm (Drosophila) tăng lên thế nào trong một thí nghiệm kéo dài 50 ngày. Ruồi được đếm theo các khoảng thời gian đều nhau, mỗi lần đếm là một điểm, và một đường cong trơn đi qua các điểm đó.

Hình 1.27 · Tăng trưởng của quần thể ruồi giấm trong thí nghiệm có kiểm soát. Nguồn: Elements of Mathematical Biology (Ví dụ 2)

Example 2Growing Drosophila in a Laboratory

Let $p$ be the number of flies on day $t$ . Use the points $P(22, 138)$ and $Q(38, 270)$ on the growth curve. Find the average rate of change of $p$ from day 22 to day 38, and the slope of the line $PQ$ .

There were 138 flies on day 22 and 270 flies on day 38.

This gives an increase of $270 - 138 = 132$ flies in $38 - 22 = 16$ days.

The average rate of change is $\dfrac{\Delta p}{\Delta t}$ , where $\Delta p$ is the change in $p$ and $\Delta t$ is the change in $t$ :

\dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{270 - 138}{38 - 22} = \dfrac{132}{16} = 8.25 \text{ flies/day}

So the population grew by an average of 8.25 flies per day from day 22 to day 38.

Vne

Ví dụ 2Nuôi ruồi giấm trong phòng thí nghiệm

Gọi $p$ là số ruồi vào ngày $t$ . Dùng hai điểm $P(22, 138)$ và $Q(38, 270)$ trên đường cong tăng trưởng. Tìm tốc độ thay đổi trung bình của $p$ từ ngày 22 đến ngày 38, và hệ số góc của đường thẳng $PQ$ .

Ngày 22 có 138 con ruồi và ngày 38 có 270 con ruồi.

Số ruồi tăng $270 - 138 = 132$ con trong $38 - 22 = 16$ ngày.

Tốc độ thay đổi trung bình là $\dfrac{\Delta p}{\Delta t}$ , trong đó $\Delta p$ là độ thay đổi của $p$ và $\Delta t$ là độ thay đổi của $t$ :

\dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{270 - 138}{38 - 22} = \dfrac{132}{16} = 8.25

Vậy từ ngày 22 đến ngày 38, số ruồi tăng trung bình 8.25 con mỗi ngày.

Definition · Secant

A secant of a curve is a line through two points on the curve.

Vne

Định nghĩa · Cát tuyến

Một cát tuyến (secant) của đường cong là đường thẳng đi qua hai điểm trên đường cong.

The average rate of change in Example 2 is also the slope of the secant $PQ$ . We compute this slope from the coordinates of $P(x_1, y_1)$ and $Q(x_2, y_2)$ :

m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{270 - 138}{38 - 22} = 8.25

As Example 2 suggests, an average rate of change is always the slope of a secant line.

Vne

Tốc độ thay đổi trung bình trong Ví dụ 2 cũng là hệ số góc của cát tuyến $PQ$ . Ta tính hệ số góc này từ tọa độ của $P(x_1, y_1)$ và $Q(x_2, y_2)$ :

m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{270 - 138}{38 - 22} = 8.25

Như Ví dụ 2 gợi ý, tốc độ thay đổi trung bình luôn là hệ số góc của một cát tuyến.

The average rate tells us how fast the population grew from day 22 to day 38. We may also want to know how fast it was growing on day 22 itself. To find out, we move $Q$ along the curve toward $P$ and watch the slope of the secant $PQ$ change.

Figure 1.28 · (a) Four secants to the fruit fly graph of Figure 1.27, through the point

P(22, 138)

; (b) the slopes of the four secants

In geometry, the secant $PQ$ approaches the tangent line to the curve at $P$ as $Q$ approaches $P$ .

In terms of population, the average growth rates over shorter and shorter time intervals approach the slope of the tangent at $P$ . We take this slope as the rate at which the population was growing on day $t = 22$ .

Vne

Tốc độ thay đổi trung bình cho biết số ruồi tăng nhanh đến mức nào từ ngày 22 đến ngày 38. Ta cũng có thể muốn biết số ruồi tăng nhanh đến mức nào ngay vào ngày 22. Để biết, ta cho $Q$ tiến dần về $P$ trên đường cong và quan sát hệ số góc của cát tuyến $PQ$ thay đổi.

Hình 1.28 · (a) Bốn cát tuyến của đồ thị ruồi giấm Hình 1.27, qua điểm

P(22, 138)

; (b) hệ số góc của bốn cát tuyến

Về mặt hình học, cát tuyến $PQ$ tiến tới đường tiếp tuyến của đường cong tại $P$ khi $Q$ tiến tới $P$ .

Về mặt số ruồi, tốc độ tăng trung bình trong các khoảng thời gian ngày càng ngắn tiến tới hệ số góc của tiếp tuyến tại $P$ . Ta lấy hệ số góc này làm tốc độ tăng của số ruồi vào ngày $t = 22$ .

2Tangent to a Curve

Tiếp tuyến của đường cong

We want the rate of change at one value of $x$ to be the slope of the tangent to the curve $y = f(x)$ at that point.

But we know only one point, $P$ , and the usual slope formula needs two points.

Vne

Ta muốn tốc độ thay đổi tại một giá trị của $x$ bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong $y = f(x)$ tại điểm đó.

Nhưng ta chỉ biết một điểm là $P$ , trong khi công thức hệ số góc thông thường cần hai điểm.

We still use a method that starts with secants. It has three steps:

Start with the slope of a secant through $P$ and a nearby point $Q$ on the curve.
Find the limit of this secant slope (if it exists) as $Q$ approaches $P$ along the curve.
Use this limit as the slope of the curve at $P$ .

Vne

Ta vẫn dùng một phương pháp bắt đầu từ cát tuyến. Phương pháp có ba bước:

Bắt đầu với hệ số góc của một cát tuyến đi qua $P$ và một điểm $Q$ gần đó trên đường cong.
Tìm giới hạn của hệ số góc cát tuyến này (nếu có) khi $Q$ tiến tới $P$ dọc theo đường cong.
Lấy giới hạn này làm hệ số góc của đường cong tại $P$ .

Example 3Finding Slope and Tangent Line

Find the slope of the parabola $y = x^2$ at the point $P(3, 9)$ . Write an equation for the tangent to the parabola at this point.

We begin with a secant through $P(3, 9)$ and a nearby point $Q(3 + h, (3 + h)^2)$ on the curve.

The number $h$ can be positive or negative, but $h \ne 0$ , because we need two distinct points.

Figure 1.29 · Secant

PQ

(with

h = 1

) and the tangent at

P(3, 9)

y = x^2

The change in $y$ is $\Delta y = (3 + h)^2 - 9$ , and the change in $x$ is $\Delta x = h$ .

So the secant slope is

\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{(3 + h)^2 - 9}{h}

Vne

Ví dụ 3Tìm hệ số góc và phương trình tiếp tuyến

Tìm hệ số góc của parabol $y = x^2$ tại điểm $P(3, 9)$ . Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm này.

Ta bắt đầu với cát tuyến đi qua $P(3, 9)$ và một điểm $Q(3 + h, (3 + h)^2)$ gần đó trên đường cong.

Số $h$ có thể dương hoặc âm, nhưng $h \ne 0$ vì ta cần hai điểm phân biệt.

Hình 1.29 · Cát tuyến

PQ

(với

h = 1

) và tiếp tuyến tại

P(3, 9)

của

y = x^2

Độ thay đổi của $y$ là $\Delta y = (3 + h)^2 - 9$ , và độ thay đổi của $x$ là $\Delta x = h$ .

Vậy hệ số góc của cát tuyến là

\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{(3 + h)^2 - 9}{h}

Example 3 (continued)Finding Slope and Tangent Line

Expand $(3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2$ :

= \dfrac{6h + h^2}{h}

Divide each term by $h$ , since $h \ne 0$ :

= 6 + h

Now let $Q$ approach $P$ , which means $h$ approaches $0$ :

\lim_{Q \to P} (\text{secant slope}) = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6

So the slope of the parabola at $P$ is $6$ .

The tangent at $P$ is the line through $P(3, 9)$ with slope $m = 6$ :

y = 9 + 6(x - 3), \quad \text{or} \quad y = 6x - 9

Vne

Ví dụ 3 (tiếp)Tìm hệ số góc và phương trình tiếp tuyến

Khai triển $(3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2$ :

= \dfrac{6h + h^2}{h}

Chia mỗi số hạng cho $h$ , vì $h \ne 0$ :

= 6 + h

Bây giờ cho $Q$ tiến tới $P$ , tức là $h$ tiến tới $0$ :

\lim_{Q \to P} (\text{secant slope}) = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6

Vậy hệ số góc của parabol tại $P$ là $6$ .

Tiếp tuyến tại $P$ là đường thẳng đi qua $P(3, 9)$ với hệ số góc $m = 6$ :

y = 9 + 6(x - 3), \quad \text{hay} \quad y = 6x - 9

3Slope of a Curve

Hệ số góc của đường cong

To find the tangent to a curve $y = f(x)$ at a point $P(a, f(a))$ , we use the same procedure as in Example 3. We find the slope of the secant through $P$ and a nearby point $Q(a + h, f(a + h))$ . Then we study the limit of this slope as $h \to 0$ (Figure 1.30).

Figure 1.30 · The tangent slope is

\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}

Vne

Để tìm tiếp tuyến của đường cong $y = f(x)$ tại điểm $P(a, f(a))$ , ta dùng cách làm như Ví dụ 3. Ta tìm hệ số góc của cát tuyến đi qua $P$ và một điểm $Q(a + h, f(a + h))$ gần đó. Sau đó ta khảo sát giới hạn của hệ số góc này khi $h \to 0$ (Hình 1.30).

Hình 1.30 · Hệ số góc tiếp tuyến là

\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}

Definition · Slope of a Curve at a Point

The slope of the curve $y = f(x)$ at the point $P(a, f(a))$ is the number

m = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}

provided the limit exists. The tangent line to the curve at $P$ is the line through $P$ with this slope.

Vne

Định nghĩa · Hệ số góc của đường cong tại một điểm

Hệ số góc của đường cong $y = f(x)$ tại điểm $P(a, f(a))$ là số

m = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}

với điều kiện giới hạn tồn tại. Tiếp tuyến của đường cong tại $P$ là đường thẳng đi qua $P$ với hệ số góc này.

Example 4Exploring Slope and Tangent

Let $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .

(a) Find the slope of the curve at $x = a$ .

(b) Where does the slope equal $-\dfrac{1}{9}$ ?

(c) What happens to the tangent to the curve at the point $\left(a, \dfrac{1}{a}\right)$ for different values of $a$ ?

Figure 1.31 · The two tangent lines to

y = \dfrac{1}{x}

having slope

-\dfrac{1}{9}

(Example 4)

(a) The slope at $x = a$ is

\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h}

We combine the two fractions over the common denominator $a(a + h)$ , then cancel $h$ :

= \lim_{h \to 0} \dfrac{-h}{h \cdot a(a + h)} = \lim_{h \to 0} \dfrac{-1}{a(a + h)} = -\dfrac{1}{a^2}

Vne

Ví dụ 4Khám phá hệ số góc và tiếp tuyến

Cho $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .

(a) Tìm hệ số góc của đường cong tại $x = a$ .

(b) Hệ số góc bằng $-\dfrac{1}{9}$ tại những điểm nào?

(c) Tiếp tuyến của đường cong tại điểm $\left(a, \dfrac{1}{a}\right)$ thay đổi thế nào khi $a$ thay đổi?

Hình 1.31 · Hai tiếp tuyến của

y = \dfrac{1}{x}

có hệ số góc

-\dfrac{1}{9}

(Ví dụ 4)

(a) Hệ số góc tại $x = a$ là

\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h}

Quy đồng hai phân số trong tử số với mẫu chung $a(a + h)$ , rồi rút gọn $h$ :

= \lim_{h \to 0} \dfrac{-h}{h \cdot a(a + h)} = \lim_{h \to 0} \dfrac{-1}{a(a + h)} = -\dfrac{1}{a^2}

Example 4 (continued)Exploring Slope and Tangent

(b) The slope is $-\dfrac{1}{9}$ when

-\dfrac{1}{a^2} = -\dfrac{1}{9} \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = \pm 3

The curve has slope $-\dfrac{1}{9}$ at the two points $\left(3, \dfrac{1}{3}\right)$ and $\left(-3, -\dfrac{1}{3}\right)$ (Figure 1.31).

(c) The slope $-\dfrac{1}{a^2}$ is always negative.

As $a \to 0^+$ or $a \to 0^-$ , the slope approaches $-\infty$ and the tangent becomes steeper.

As $a$ moves away from $0$ in either direction, the slope approaches $0$ and the tangent becomes nearly horizontal.

Vne

Ví dụ 4 (tiếp)Khám phá hệ số góc và tiếp tuyến

(b) Hệ số góc bằng $-\dfrac{1}{9}$ khi

-\dfrac{1}{a^2} = -\dfrac{1}{9} \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = \pm 3

Đường cong có hệ số góc $-\dfrac{1}{9}$ tại hai điểm $\left(3, \dfrac{1}{3}\right)$ và $\left(-3, -\dfrac{1}{3}\right)$ (Hình 1.31).

(c) Hệ số góc $-\dfrac{1}{a^2}$ luôn âm.

Khi $a \to 0^+$ hoặc $a \to 0^-$ , hệ số góc tiến tới $-\infty$ và tiếp tuyến ngày càng dốc.

Khi $a$ càng xa $0$ theo cả hai hướng, hệ số góc tiến tới $0$ và tiếp tuyến ngày càng nằm ngang.

All four of these describe the same number:

the slope of $y = f(x)$ at $x = a$ ;
the slope of the tangent to $y = f(x)$ at $x = a$ ;
the (instantaneous) rate of change of $f(x)$ with respect to $x$ at $x = a$ ;
$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ .

Vne

Cả bốn cách mô tả đều cho cùng một số:

hệ số góc của $y = f(x)$ tại $x = a$ ;
hệ số góc của tiếp tuyến với $y = f(x)$ tại $x = a$ ;
tốc độ thay đổi (tức thời) của $f(x)$ theo $x$ tại $x = a$ ;
$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ .

Definition · Difference quotient

The expression $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ is the difference quotient of $f$ at $a$ . An alternate form is $\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$ .

Vne

Định nghĩa · Thương sai phân

Biểu thức $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ là thương sai phân (difference quotient) của $f$ tại $a$ . Một dạng khác là $\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$ .

Suppose the difference quotient has a limit as $h \to 0$ . If we read it as a secant slope, the limit is the slope of both the curve and the tangent at $x = a$ . If we read it as an average rate of change, the limit is the rate of change of $f$ with respect to $x$ at $x = a$ .

Vne

Giả sử thương sai phân có giới hạn khi $h \to 0$ . Nếu ta xem nó là hệ số góc của cát tuyến, giới hạn là hệ số góc của cả đường cong lẫn tiếp tuyến tại $x = a$ . Nếu ta xem nó là tốc độ thay đổi trung bình, giới hạn là tốc độ thay đổi của $f$ theo $x$ tại $x = a$ .

4Normal to a Curve

Pháp tuyến của đường cong

Definition · Normal line

The normal line to a curve at a point is the line perpendicular to the tangent at that point.

Vne

Định nghĩa · Đường pháp tuyến

Đường pháp tuyến (normal line) của đường cong tại một điểm là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó.

Example 5Finding a Normal Line

Write an equation for the normal to the curve $f(x) = 4 - x^2$ at $x = 2$ .

Since $f(2) = 4 - 2^2 = 0$ , the slope of the tangent at $x = 2$ is

\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} &= \lim_{h \to 0} \dfrac{4 - (2 + h)^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{-4h - h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (-4 - h) = -4 \end{aligned}

The slope of the normal is the negative reciprocal of $-4$ , which is $\dfrac{1}{4}$ .

The normal at $(2, f(2)) = (2, 0)$ is the line through $(2, 0)$ with slope $m = \dfrac{1}{4}$ :

y = 0 + \dfrac{1}{4}(x - 2)

You can check this result by graphing both lines in a square viewing window.

Vne

Ví dụ 5Tìm đường pháp tuyến

Viết phương trình đường pháp tuyến của đường cong $f(x) = 4 - x^2$ tại $x = 2$ .

Vì $f(2) = 4 - 2^2 = 0$ , hệ số góc của tiếp tuyến tại $x = 2$ là

\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} &= \lim_{h \to 0} \dfrac{4 - (2 + h)^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{-4h - h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (-4 - h) = -4 \end{aligned}

Hệ số góc của pháp tuyến là số nghịch đảo đổi dấu của $-4$ , tức là $\dfrac{1}{4}$ .

Pháp tuyến tại $(2, f(2)) = (2, 0)$ là đường thẳng đi qua $(2, 0)$ với hệ số góc $m = \dfrac{1}{4}$ :

y = 0 + \dfrac{1}{4}(x - 2)

Bạn có thể kiểm tra kết quả bằng cách vẽ hai đường thẳng trong cửa sổ quan sát vuông.

5Velocity Revisited

Xét lại vận tốc

A heavy ball is dropped from rest. Ignore air resistance. It falls $y = f(t) = 4.9t^2$ meters in $t$ seconds, as in Example 1, Section 1.1. The function $f$ is the ball's position function.

In Example 1, Section 1.1, we found the average velocity over the first 10 seconds. Here we find the velocity at one instant. A body's average velocity along a coordinate axis (here, the $y$ -axis) over a period of time is the average rate of change of its position $y = f(t)$ . Its instantaneous velocity at time $t$ is the instantaneous rate of change of position with respect to time at time $t$ :

\lim_{h \to 0} \dfrac{f(t + h) - f(t)}{h}

Vne

Một quả bóng nặng được thả rơi từ trạng thái nghỉ. Bỏ qua sức cản của không khí. Quả bóng rơi $y = f(t) = 4.9t^2$ mét sau $t$ giây, như Ví dụ 1 của mục 1.1. Hàm số $f$ là hàm vị trí của quả bóng.

Trong Ví dụ 1 của mục 1.1, ta đã tìm vận tốc trung bình trong 10 giây đầu. Ở đây ta tìm vận tốc tại một thời điểm. Vận tốc trung bình của một vật dọc theo một trục tọa độ (ở đây là trục $y$ ) trong một khoảng thời gian là tốc độ thay đổi trung bình của vị trí $y = f(t)$ . Vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ là tốc độ thay đổi tức thời của vị trí theo thời gian tại thời điểm $t$ :

\lim_{h \to 0} \dfrac{f(t + h) - f(t)}{h}

Example 6Finding Instantaneous Rate of Change

Find $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(t + h) - f(t)}{h}$ for the function $f(t) = 2t^2 - 1$ at $t = 3$ . Interpret the answer if $f(t)$ represents a position function in feet of an object at time $t$ seconds.

We substitute $f(3 + h)$ and $f(3)$ and simplify the numerator:

\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \dfrac{f(3 + h) - f(3)}{h} &= \lim_{h \to 0} \dfrac{2(3 + h)^2 - 1 - (2 \cdot 3^2 - 1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{18 + 12h + 2h^2 - 1 - 17}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{12h + 2h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (12 + 2h) = 12 \end{aligned}

Since $f(t)$ is a position function, the object's instantaneous velocity at $t = 3$ seconds is $12$ ft/sec.

Vne

Ví dụ 6Tìm tốc độ thay đổi tức thời

Tìm $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(t + h) - f(t)}{h}$ với hàm số $f(t) = 2t^2 - 1$ tại $t = 3$ . Hãy giải thích kết quả nếu $f(t)$ là hàm vị trí, tính bằng feet, của một vật tại thời điểm $t$ giây.

Ta thay $f(3 + h)$ và $f(3)$ rồi rút gọn tử số:

\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \dfrac{f(3 + h) - f(3)}{h} &= \lim_{h \to 0} \dfrac{2(3 + h)^2 - 1 - (2 \cdot 3^2 - 1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{18 + 12h + 2h^2 - 1 - 17}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{12h + 2h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (12 + 2h) = 12 \end{aligned}

Vì $f(t)$ là hàm vị trí, vận tốc tức thời của vật tại $t = 3$ giây là $12$ ft/sec.

Example 7Investigating Free Fall

Find the velocity of the falling ball in Example 1, Section 1.1, at $t = 3$ sec.

The position function of the ball is $f(t) = 4.9t^2$ .

Its average velocity over the interval from $t = 3$ to $t = 3 + h$ sec is

\begin{aligned} \dfrac{f(3 + h) - f(3)}{h} &= \dfrac{4.9(3 + h)^2 - 4.9 \cdot 3^2}{h} \\ &= \dfrac{4.9(6h + h^2)}{h} \\ &= 4.9(6 + h) \end{aligned}

The velocity of the ball at the instant $t = 3$ sec is

\lim_{h \to 0} 4.9(6 + h) = 29.4 \text{ m/s}

Vne

Ví dụ 7Khảo sát sự rơi tự do

Tìm vận tốc của quả bóng đang rơi trong Ví dụ 1, mục 1.1, tại $t = 3$ giây.

Hàm vị trí của quả bóng là $f(t) = 4.9t^2$ .

Vận tốc trung bình của quả bóng trong khoảng từ $t = 3$ đến $t = 3 + h$ giây là

\begin{aligned} \dfrac{f(3 + h) - f(3)}{h} &= \dfrac{4.9(3 + h)^2 - 4.9 \cdot 3^2}{h} \\ &= \dfrac{4.9(6h + h^2)}{h} \\ &= 4.9(6 + h) \end{aligned}

Vận tốc của quả bóng tại thời điểm $t = 3$ giây là

\lim_{h \to 0} 4.9(6 + h) = 29.4 \text{ m/s}

6Sensitivity

Độ nhạy

Changes in one quantity often cause changes in another. For example, crop yield per acre depends on rainfall. For a drug that lowers a patient's temperature, a small increase in the dose lowers the temperature a little.

Sensitivity describes how one variable responds to small changes in another.

Vne

Thay đổi của một đại lượng thường gây ra thay đổi ở đại lượng khác. Chẳng hạn, năng suất cây trồng trên mỗi mẫu Anh phụ thuộc vào lượng mưa. Với một loại thuốc làm hạ nhiệt độ bệnh nhân, một lượng thuốc tăng nhỏ sẽ làm nhiệt độ giảm một chút.

Độ nhạy mô tả cách một biến phản ứng trước những thay đổi nhỏ của biến khác.

How much the temperature drops depends not only on how much more drug is given, but also on how large the dose already is. So the sensitivity changes as the dosage changes.

Vne

Nhiệt độ giảm bao nhiêu không chỉ phụ thuộc vào lượng thuốc thêm vào, mà còn phụ thuộc vào liều đang dùng đã lớn đến đâu. Vì vậy độ nhạy thay đổi theo liều.

Definition · Sensitivity

Let $T$ be the temperature and $D$ the dosage in milligrams (mg). The sensitivity of $T$ to $D$ is

\text{sensitivity} = \lim_{\Delta D \to 0} \dfrac{\Delta T}{\Delta D}

Vne

Định nghĩa · Độ nhạy

Gọi $T$ là nhiệt độ và $D$ là liều thuốc tính bằng miligam (mg). Độ nhạy của $T$ theo $D$ là

\text{sensitivity} = \lim_{\Delta D \to 0} \dfrac{\Delta T}{\Delta D}

If we know the sensitivity and the change in dosage $\Delta D$ is very small, we can approximate the change in temperature:

\Delta T \approx \text{sensitivity} \times \Delta D

Vne

Nếu biết độ nhạy và độ thay đổi liều $\Delta D$ rất nhỏ, ta có thể xấp xỉ độ thay đổi nhiệt độ:

\Delta T \approx \text{sensitivity} \times \Delta D

Example 8Measuring Sensitivity to Medicine

A patient enters the hospital with a temperature of 103°F and is given medicine to lower the temperature. As a function of the dosage $D$ , measured in milligrams, the patient's temperature is

T(D) = 99 + \dfrac{4}{1 + D}

Find and interpret the sensitivity of the patient's temperature to the dosage when $D = 2$ mg.

Let $h$ be the increase in the dosage, so $\Delta D = h$ .

At $D = 2$ , the sensitivity is

\lim_{h \to 0} \dfrac{\Delta T}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{T(2 + h) - T(2)}{h}

The constant $99$ cancels in the difference:

T(2 + h) - T(2) = \left(99 + \dfrac{4}{3 + h}\right) - \left(99 + \dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{4}{3 + h} - \dfrac{4}{3}

Combine the fractions over the common denominator $3(3 + h)$ :

= \dfrac{12 - 4(3 + h)}{3(3 + h)} = \dfrac{-4h}{3(3 + h)}

Divide by $h$ , cancel $h$ , and let $h \to 0$ :

\lim_{h \to 0} \dfrac{-4}{3(3 + h)} = -\dfrac{4}{9}

So the sensitivity at $D = 2$ mg is $-\dfrac{4}{9}$ degrees per mg.

This means that when the dosage is 2 mg, a small additional dosage $\Delta D$ mg lowers the temperature by about $\dfrac{4}{9}\,\Delta D$ degrees.

Vne

Ví dụ 8Đo độ nhạy đối với thuốc

Một bệnh nhân nhập viện với nhiệt độ 103°F và được dùng thuốc để hạ nhiệt độ. Theo liều $D$ tính bằng miligam, nhiệt độ của bệnh nhân là

T(D) = 99 + \dfrac{4}{1 + D}

Tìm và giải thích độ nhạy của nhiệt độ bệnh nhân theo liều thuốc khi $D = 2$ mg.

Gọi $h$ là lượng tăng của liều, nên $\Delta D = h$ .

Tại $D = 2$ , độ nhạy là

\lim_{h \to 0} \dfrac{\Delta T}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{T(2 + h) - T(2)}{h}

Hằng số $99$ triệt tiêu khi lấy hiệu:

T(2 + h) - T(2) = \left(99 + \dfrac{4}{3 + h}\right) - \left(99 + \dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{4}{3 + h} - \dfrac{4}{3}

Quy đồng hai phân số với mẫu chung $3(3 + h)$ :

= \dfrac{12 - 4(3 + h)}{3(3 + h)} = \dfrac{-4h}{3(3 + h)}

Chia cho $h$ , rút gọn $h$ , rồi cho $h \to 0$ :

\lim_{h \to 0} \dfrac{-4}{3(3 + h)} = -\dfrac{4}{9}

Vậy độ nhạy tại $D = 2$ mg là $-\dfrac{4}{9}$ độ trên mg.

Điều này có nghĩa là khi liều là 2 mg, một lượng thuốc thêm $\Delta D$ mg sẽ làm nhiệt độ giảm khoảng $\dfrac{4}{9}\,\Delta D$ độ.