AP CalculusLessonBài giảng 0.5 Inverse Functions and LogarithmsHàm ngược và logarit 0.4 0.6

0.5 Inverse Functions and Logarithms Hàm ngược và logarit

1One-to-One Functions

Hàm số một-một

A function assigns one output to each input in its domain. Some functions give the same output for more than one input: $f(x) = x^2$ gives $4$ for both $2$ and $-2$ . Other functions never repeat an output: the cubes of different numbers are always different.

If each output value of a function comes from exactly one input value, the function is one-to-one.

Vne

Hàm số gán một đầu ra cho mỗi đầu vào trong tập xác định. Có hàm số cho cùng một đầu ra với nhiều đầu vào: $f(x) = x^2$ cho $4$ với cả $2$ và $-2$ . Có hàm số không bao giờ lặp lại đầu ra: các lập phương của những số khác nhau luôn khác nhau.

Nếu mỗi giá trị đầu ra của hàm số chỉ đến từ đúng một giá trị đầu vào, hàm số đó là một-một (one-to-one).

Definition · One-to-one function

A function $f(x)$ is one-to-one on a domain $D$ if $f(a) \ne f(b)$ whenever $a \ne b$ , for $a, b$ in $D$ .

Vne

Định nghĩa · Hàm số một-một

Hàm số $f(x)$ là một-một trên tập xác định $D$ nếu $f(a) \ne f(b)$ khi $a \ne b$ , với $a, b$ thuộc $D$ .

The graph of a one-to-one function $y = f(x)$ meets any horizontal line at most once. This is the horizontal line test. If a horizontal line meets the graph more than once, $f$ takes the same $y$ value more than once, so $f$ is not one-to-one (Figure 0.30).

Vne

Đồ thị của hàm số một-một $y = f(x)$ cắt mỗi đường ngang tối đa một lần. Đây là phép thử đường ngang (horizontal line test). Nếu một đường ngang cắt đồ thị nhiều hơn một lần, $f$ nhận cùng một giá trị $y$ nhiều hơn một lần, nên $f$ không phải hàm một-một (Hình 0.30).

Figure 0.30 · Horizontal line test

Figure 0.30(a) · One-to-one:

y = x^3

, the graph meets each horizontal line once

Figure 0.30(b) · Not one-to-one:

y = x^2

, the graph meets some horizontal lines twice

Vne

Hình 0.30 · Phép thử đường ngang

Hình 0.30(a) · Một-một:

y = x^3

, đồ thị cắt mỗi đường ngang một lần

Hình 0.30(b) · Không một-một:

y = x^2

, đồ thị cắt một số đường ngang hai lần

Example 1(a)Using the Horizontal Line Test

Determine whether $f(x) = |x - 2|$ is one-to-one.

As Figure 0.31(a) suggests, each horizontal line $y = c$ with $c \gt 0$ meets the graph twice: at $x = 2 - c$ and at $x = 2 + c$ .

So $f$ is not one-to-one.

Figure 0.31(a) ·

y = |x - 2|

and the line

y = 3

Vne

Ví dụ 1(a)Dùng phép thử đường ngang

Xác định $f(x) = |x - 2|$ có phải hàm một-một không.

Như Hình 0.31(a) cho thấy, mỗi đường ngang $y = c$ với $c \gt 0$ cắt đồ thị hai lần: tại $x = 2 - c$ và tại $x = 2 + c$ .

Vậy $f$ không phải hàm một-một.

Hình 0.31(a) ·

y = |x - 2|

và đường thẳng

y = 3

; cửa sổ quan sát

[-5, 5]

theo

[-2, 8]

Example 1(b)Using the Horizontal Line Test

Determine whether $g(x) = \sqrt{x + 1}$ is one-to-one.

As Figure 0.31(b) suggests, each horizontal line meets the graph either once or not at all.

For $c \ge 0$ , $\sqrt{x + 1} = c$ gives $x = c^2 - 1$ only.

So $g$ is one-to-one.

Figure 0.31(b) ·

y = \sqrt{x + 1}

and the line

y = 1.5

Vne

Ví dụ 1(b)Dùng phép thử đường ngang

Xác định $g(x) = \sqrt{x + 1}$ có phải hàm một-một không.

Như Hình 0.31(b) cho thấy, mỗi đường ngang cắt đồ thị hoặc một lần hoặc không lần nào.

Với $c \ge 0$ , $\sqrt{x + 1} = c$ chỉ cho $x = c^2 - 1$ .

Vậy $g$ là hàm một-một.

Hình 0.31(b) ·

y = \sqrt{x + 1}

và đường thẳng

y = 1.5

; cửa sổ quan sát

[-5, 5]

theo

[-2, 3]

2Inverses

Hàm ngược

Since each output of a one-to-one function comes from one input, we can reverse the function to send each output back to its input. The function defined by reversing a one-to-one function $f$ is the inverse of $f$ . Its symbol is $f^{-1}$ , read “ $f$ inverse.” The $-1$ in $f^{-1}$ is not an exponent: $f^{-1}(x)$ does not mean $1/f(x)$ .

For functions $f$ and $g$ , the composition $f \circ g$ is defined by $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ , read “ $f$ of $g$ .”

Vne

Vì mỗi đầu ra của hàm một-một chỉ đến từ đúng một đầu vào, ta có thể đảo ngược hàm số. Khi đảo ngược, mỗi đầu ra được đưa về đúng đầu vào của nó. Hàm số xác định bằng cách đảo ngược một hàm một-một $f$ là hàm ngược của $f$ . Ký hiệu là $f^{-1}$ , đọc là “ $f$ ngược”. Số $-1$ trong $f^{-1}$ không phải là số mũ: $f^{-1}(x)$ không có nghĩa là $1/f(x)$ .

Với hai hàm số $f$ và $g$ , phép hợp $f \circ g$ được định nghĩa bởi $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ , đọc là “ $f$ của $g$ ”.

Table 0.2 and Table 0.3

The functions in Tables 0.2 and 0.3 are inverses of one another.

Time $x$ (hours)	Charge $y$ (dollars)
1	5.00
2	9.00
3	13.00
4	17.00
5	21.00
6	25.00

Charge $x$ (dollars)	Time $y$ (hours)
5.00	1
9.00	2
13.00	3
17.00	4
21.00	5
25.00	6

Vne

Bảng 0.2 và Bảng 0.3

Các hàm số trong Bảng 0.2 và Bảng 0.3 là hàm ngược của nhau.

Thời gian $x$ (giờ)	Phí thuê $y$ (đô la)
1	5.00
2	9.00
3	13.00
4	17.00
5	21.00
6	25.00

Phí thuê $x$ (đô la)	Thời gian $y$ (giờ)
5.00	1
9.00	2
13.00	3
17.00	4
21.00	5
25.00	6

As Tables 0.2 and 0.3 suggest, composing a function with its inverse, in either order, returns each input to itself. So, wherever the composition is defined, the composition of a function and its inverse, in either order, is the identity function: the function that assigns each number to itself.

This gives a test for inverses. Compute $f \circ g$ and $g \circ f$ . If $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) = x$ , then $f$ and $g$ are inverses of one another; otherwise they are not. For example, $f(x) = x^3 + 1$ and $g(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ are inverses, because $f(g(x)) = \left(\sqrt[3]{x - 1}\right)^3 + 1 = x$ and $g(f(x)) = \sqrt[3]{x^3} = x$ for every number $x$ .

Vne

Như Bảng 0.2 và Bảng 0.3 gợi ý, hợp một hàm số với hàm ngược của nó, theo thứ tự nào cũng vậy, đưa mỗi đầu vào trở về chính nó. Vậy, ở mọi nơi phép hợp có nghĩa, hợp theo thứ tự nào cũng là hàm đồng nhất (identity function): hàm gán mỗi số cho chính nó.

Điều này cho một cách kiểm tra hàm ngược. Tính $f \circ g$ và $g \circ f$ . Nếu $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) = x$ thì $f$ và $g$ là hàm ngược của nhau; nếu không thì không phải. Chẳng hạn $f(x) = x^3 + 1$ và $g(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ là hàm ngược của nhau, vì $f(g(x)) = \left(\sqrt[3]{x - 1}\right)^3 + 1 = x$ và $g(f(x)) = \sqrt[3]{x^3} = x$ với mọi số $x$ .

Exploration 1 · Testing for Inverses Graphically

For each of the function pairs below:

Graph $f$ and $g$ together in a square window.
Graph $f \circ g$ .
Graph $g \circ f$ .

What can you conclude from the graphs?

$f(x) = x^3$ , $g(x) = x^{1/3}$
$f(x) = x$ , $g(x) = 2/x$
$f(x) = 5x - 1$ , $g(x) = (x + 1)/5$
$f(x) = e^x$ , $g(x) = \ln x$

Vne

Khám phá 1 · Kiểm tra hàm ngược bằng đồ thị

Với mỗi cặp hàm số dưới đây:

Vẽ $f$ và $g$ cùng trong một cửa sổ vuông.
Vẽ $f \circ g$ .
Vẽ $g \circ f$ .

Từ các đồ thị, bạn kết luận được gì?

$f(x) = x^3$ , $g(x) = x^{1/3}$
$f(x) = x$ , $g(x) = 2/x$
$f(x) = 5x - 1$ , $g(x) = (x + 1)/5$
$f(x) = e^x$ , $g(x) = \ln x$

Exploration 1 · Answers

1. $f(g(x)) = (x^{1/3})^3 = x$ and $g(f(x)) = (x^3)^{1/3} = x$ for all real $x$ .

The graphs of $f$ and $g$ are mirror images across $y = x$ .

Inverses.

2. $f(g(x)) = \dfrac{2}{x}$ and $g(f(x)) = \dfrac{2}{x}$ , and neither is $x$ .

The reflection of $g$ across $y = x$ is $g$ itself, not $f$ .

Not inverses.

3. $f(g(x)) = 5 \cdot \dfrac{x + 1}{5} - 1 = x$ and $g(f(x)) = \dfrac{(5x - 1) + 1}{5} = x$ .

Inverses.

4. $f(g(x)) = e^{\ln x} = x$ for $x \gt 0$ , and $g(f(x)) = \ln(e^x) = x$ for all $x$ .

The domain of $f \circ g$ is $x \gt 0$ , because $\ln x$ is defined only for $x \gt 0$ .

Inverses on $x \gt 0$ .

Conclusion: if $f \circ g$ and $g \circ f$ both give $x$ on their domains, then $f$ and $g$ are inverses.

Their graphs are mirror images across $y = x$ .

Vne

Khám phá 1 · Đáp án

1. $f(g(x)) = (x^{1/3})^3 = x$ và $g(f(x)) = (x^3)^{1/3} = x$ với mọi $x$ thực.

Đồ thị của $f$ và $g$ đối xứng nhau qua $y = x$ .

Là hàm ngược.

2. $f(g(x)) = \dfrac{2}{x}$ và $g(f(x)) = \dfrac{2}{x}$ , không có cái nào bằng $x$ .

Ảnh của $g$ qua $y = x$ chính là $g$ , không phải $f$ .

Không phải hàm ngược.

3. $f(g(x)) = 5 \cdot \dfrac{x + 1}{5} - 1 = x$ và $g(f(x)) = \dfrac{(5x - 1) + 1}{5} = x$ .

Là hàm ngược.

4. $f(g(x)) = e^{\ln x} = x$ với $x \gt 0$ , và $g(f(x)) = \ln(e^x) = x$ với mọi $x$ .

Tập xác định của $f \circ g$ là $x \gt 0$ , vì $\ln x$ chỉ xác định khi $x \gt 0$ .

Là hàm ngược trên $x \gt 0$ .

Kết luận: nếu $f \circ g$ và $g \circ f$ đều cho $x$ trên tập xác định của chúng, thì $f$ và $g$ là hàm ngược của nhau.

Đồ thị của chúng đối xứng nhau qua $y = x$ .

3Finding Inverses

Tìm hàm ngược

How do we find the graph of the inverse of a function? Suppose, for example, that the function is the one pictured in Figure 0.32a.

Vne

Làm sao để vẽ đồ thị của hàm ngược? Giả sử, chẳng hạn, hàm số là hàm trong Hình 0.32a.

To read its graph, start at $x$ on the $x$ -axis. Go up to the graph, then move over to the $y$ -axis to read $y$ . To find the $x$ that gave a value $y$ , we reverse the process (Figure 0.32(b)).

Reading the graph of $f$ with $y$ as the input gives the graph of $f^{-1}$ . That graph is not drawn in the usual way, with the input on the horizontal axis. For $f^{-1}$ the input-output pairs are reversed. To draw $f^{-1}$ in the usual way, reflect the graph across the $45°$ line $y = x$ (Figure 0.32(c)). Then interchange the letters $x$ and $y$ (Figure 0.32(d)).

The graphs of $f$ and $f^{-1}$ are reflections of each other across the line $y = x$ . This is expected: the pairs $(a, b)$ of $f$ are reversed to give the pairs $(b, a)$ of $f^{-1}$ .

Vne

Để đọc đồ thị, ta bắt đầu từ $x$ trên trục $x$ , đi lên đến đồ thị, rồi sang trục $y$ để đọc $y$ . Muốn tìm $x$ đã cho ra một giá trị $y$ , ta đảo ngược quá trình (Hình 0.32(b)).

Đọc đồ thị của $f$ với $y$ làm đầu vào cho ta đồ thị của $f^{-1}$ . Tuy vậy, đồ thị này không được vẽ theo cách thường lệ, với đầu vào nằm trên trục ngang. Với $f^{-1}$ , các cặp đầu vào – đầu ra bị đảo ngược. Để vẽ $f^{-1}$ theo cách thường lệ, ta phản chiếu đồ thị qua đường $45°$ là $y = x$ (Hình 0.32(c)), rồi đổi chỗ các chữ $x$ và $y$ (Hình 0.32(d)).

Đồ thị của $f$ và $f^{-1}$ là ảnh phản chiếu của nhau qua đường $y = x$ . Điều này hợp lý: các cặp $(a, b)$ của $f$ đổi thành các cặp $(b, a)$ của $f^{-1}$ .

Figure 0.32 · The graph of

y = f^{-1}(x)

Figure 0.32(a) · To find

f(x)

, go up from

x

to the curve, then over to the

y

-axis

Figure 0.32(b) · Read the same curve backward: from

y

to the curve, then down to the

x

-axis

Figure 0.32(c) · Reflect across

y = x

(a, b)

and

(b, a)

are mirror images

Figure 0.32(d) · Interchange

x

and

y

: the graph of

y = f^{-1}(x)

Vne

Hình 0.32 · Đồ thị của

y = f^{-1}(x)

Hình 0.32(a) · Để tìm

f(x)

, đi từ

x

lên đường cong rồi sang trục

y

Hình 0.32(b) · Đọc ngược cùng đường cong: từ

y

sang đường cong rồi xuống trục

x

Hình 0.32(c) · Phản chiếu qua

y = x

(a, b)

và

(b, a)

đối xứng nhau

Hình 0.32(d) · Đổi chỗ

x

và

y

: đồ thị của

y = f^{-1}(x)

Another Method for Finding

f^{-1}

If the variable $x$ appears only once in the expression $y = f(x)$ , we can use the idea that $f^{-1}$ undoes what $f$ does. For example, let $f(x) = \dfrac{2x + 3}{4}$ . The steps for $f$ are:

multiply by $2$ ;
add $3$ ;
divide by $4$ .

So the inverse does the following, in reverse order:

multiply by $4$ ;
subtract $3$ ;
divide by $2$ .

Therefore $f^{-1}(x) = \dfrac{4x - 3}{2}$ .

Vne

Một cách khác để tìm

f^{-1}

Nếu biến $x$ chỉ xuất hiện một lần trong biểu thức $y = f(x)$ , ta có thể dùng ý tưởng: $f^{-1}$ hoàn tác những gì $f$ làm. Chẳng hạn, cho $f(x) = \dfrac{2x + 3}{4}$ . Các bước của $f$ là:

nhân với $2$ ;
cộng $3$ ;
chia cho $4$ .

Vậy hàm ngược làm các bước sau, theo thứ tự ngược lại:

nhân với $4$ ;
trừ $3$ ;
chia cho $2$ .

Do đó $f^{-1}(x) = \dfrac{4x - 3}{2}$ .

Writing $f^{-1}$ as a function of $x$ .

Solve the equation $y = f(x)$ for $x$ in terms of $y$ .
Interchange $x$ and $y$ . The resulting formula is $y = f^{-1}(x)$ .

Vne

Viết $f^{-1}$ thành hàm của $x$ .

Giải phương trình $y = f(x)$ để tìm $x$ theo $y$ .
Đổi chỗ $x$ và $y$ . Công thức thu được là $y = f^{-1}(x)$ .

Example 2Finding the Inverse Function

Show that the function $y = f(x) = -3x + 5$ is one-to-one, and find its inverse function.

Every horizontal line intersects the graph of $f$ exactly once, so $f$ is one-to-one and has an inverse.

Step 1:

Solve for $x$ in terms of $y$ : $y = -3x + 5$ , so $x = -\dfrac{1}{3}y + \dfrac{5}{3}$ .

Step 2:

Interchange $x$ and $y$ : $y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$ .

The inverse of $f(x) = -3x + 5$ is $f^{-1}(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$ .

We can verify both composites are the identity function.

$f^{-1}(f(x)) = -\dfrac{1}{3}(-3x + 5) + \dfrac{5}{3} = x - \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} = x$

$f(f^{-1}(x)) = -3\left(-\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}\right) + 5 = x - 5 + 5 = x$

Vne

Ví dụ 2Tìm hàm ngược

Chứng minh hàm số $y = f(x) = -3x + 5$ là một-một, và tìm hàm ngược của nó.

Mỗi đường ngang cắt đồ thị của $f$ đúng một lần, nên $f$ là hàm một-một và có hàm ngược.

Bước 1:

Giải $x$ theo $y$ : $y = -3x + 5$ , nên $x = -\dfrac{1}{3}y + \dfrac{5}{3}$ .

Bước 2:

Đổi chỗ $x$ và $y$ : $y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$ .

Hàm ngược của $f(x) = -3x + 5$ là $f^{-1}(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$ .

Ta kiểm tra được cả hai hợp đều là hàm đồng nhất.

$f^{-1}(f(x)) = -\dfrac{1}{3}(-3x + 5) + \dfrac{5}{3} = x - \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{3} = x$

$f(f^{-1}(x)) = -3\left(-\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}\right) + 5 = x - 5 + 5 = x$

4Graphing Inverses Parametrically

Vẽ hàm ngược bằng tham số

Note · Graphing

f

and

f^{-1}

parametrically

Graphing $y = f(x)$ and $y = f^{-1}(x)$ parametrically. We can graph any function $y = f(x)$ as $x_1 = t$ , $y_1 = f(t)$ . Interchanging $t$ and $f(t)$ produces parametric equations for the inverse: $x_2 = f(t)$ , $y_2 = t$ .

Vne

Ghi chú · Vẽ

f

và

f^{-1}

bằng tham số

Vẽ $y = f(x)$ và $y = f^{-1}(x)$ bằng tham số. Ta có thể vẽ hàm số $y = f(x)$ bất kỳ dưới dạng $x_1 = t$ , $y_1 = f(t)$ . Đổi chỗ $t$ và $f(t)$ cho ta phương trình tham số của hàm ngược: $x_2 = f(t)$ , $y_2 = t$ .

Example 3(a)Graphing the Inverse Parametrically

Graph the one-to-one function $f(x) = x^2 + 1$ , $x \ge 0$ , together with its inverse and the line $y = x$ .

We can graph the three functions parametrically as follows:

Graph of $f$ : $x_1 = t$ , $y_1 = t^2 + 1$ , $t \ge 0$ .

Graph of $f^{-1}$ : $x_2 = t^2 + 1$ , $y_2 = t$ , $t \ge 0$ .

Graph of $y = x$ : $x_3 = t$ , $y_3 = t$ .

The graph of $f^{-1}$ is the reflection of the graph of $f$ across the line $y = x$ (Figure 0.33).

Figure 0.33 ·

f(x) = x^2 + 1

x \ge 0

, its inverse, and

y = x

Vne

Ví dụ 3(a)Vẽ hàm ngược bằng tham số

Vẽ hàm một-một $f(x) = x^2 + 1$ , $x \ge 0$ , cùng với hàm ngược của nó và đường $y = x$ .

Ta vẽ ba hàm số bằng tham số như sau:

Đồ thị của $f$ : $x_1 = t$ , $y_1 = t^2 + 1$ , $t \ge 0$ .

Đồ thị của $f^{-1}$ : $x_2 = t^2 + 1$ , $y_2 = t$ , $t \ge 0$ .

Đồ thị của $y = x$ : $x_3 = t$ , $y_3 = t$ .

Đồ thị của $f^{-1}$ là ảnh của đồ thị $f$ qua đường $y = x$ (Hình 0.33).

Hình 0.33 ·

f(x) = x^2 + 1

x \ge 0

, hàm ngược và

y = x

; cửa sổ quan sát

[-1, 5]

theo

[-1, 5]

Example 3(b)Writing the Inverse as a Function of

x

Express the inverse of $f$ as a function of $x$ .

Step 1: Solve for $x$ in terms of $y$ .

$y = x^2 + 1$
$x^2 = y - 1$	Subtract 1 from both sides.
$x = \sqrt{y - 1}$	Because $x \ge 0$

Step 2: Interchange $x$ and $y$ : $y = \sqrt{x - 1}$ .

Thus $f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$ , $x \ge 1$ .

Vne

Ví dụ 3(b)Viết hàm ngược thành hàm theo

x

Biểu diễn hàm ngược của $f$ như một hàm theo $x$ .

Bước 1: Giải $x$ theo $y$ .

$y = x^2 + 1$
$x^2 = y - 1$	Trừ 1 ở hai vế.
$x = \sqrt{y - 1}$	Vì $x \ge 0$

Bước 2: Đổi chỗ $x$ và $y$ : $y = \sqrt{x - 1}$ .

Vậy $f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$ , $x \ge 1$ .

5Logarithmic Functions

Hàm logarit

Definition · Base

a

logarithm function

If $a$ is any positive real number other than 1, the base $a$ exponential function $f(x) = a^x$ is one-to-one. So it has an inverse. Its inverse is called the base $a$ logarithm function.

The base $a$ logarithm function $y = \log_a x$ is the inverse of the base $a$ exponential function $y = a^x$ , where $a \gt 0$ and $a \ne 1$ .

Vne

Định nghĩa · Hàm logarit cơ số

a

Nếu $a$ là số thực dương khác 1 bất kỳ, hàm số mũ cơ số $a$ , $f(x) = a^x$ , là hàm một-một. Vì vậy nó có hàm ngược. Hàm ngược này gọi là hàm logarit cơ số $a$ .

Hàm logarit cơ số $a$ , $y = \log_a x$ , là hàm ngược của hàm số mũ cơ số $a$ , $y = a^x$ , với $a \gt 0$ và $a \ne 1$ .

The domain of $\log_a x$ is $(0, \infty)$ , which is the range of $a^x$ . The range of $\log_a x$ is $(-\infty, \infty)$ , which is the domain of $a^x$ .

We have no technique for solving $y = a^x$ for $x$ in terms of $y$ . So we have no explicit formula for $\log_a x$ as a function of $x$ . We can still graph $y = \log_a x$ . Reflect the graph of $y = a^x$ across the line $y = x$ , or graph it parametrically (Figure 0.34).

Vne

Tập xác định của $\log_a x$ là $(0, \infty)$ , cũng là tập giá trị của $a^x$ . Tập giá trị của $\log_a x$ là $(-\infty, \infty)$ , cũng là tập xác định của $a^x$ .

Ta chưa có phương pháp giải $y = a^x$ để tìm $x$ theo $y$ . Vì vậy ta chưa có công thức tường minh của $\log_a x$ theo $x$ . Ta vẫn vẽ được $y = \log_a x$ bằng cách phản chiếu đồ thị $y = a^x$ qua đường $y = x$ , hoặc vẽ bằng tham số (Hình 0.34).

Note · Natural and common logarithms

Logarithms with base $e$ and base $10$ are so important in applications that calculators have special keys for them. They also have their own notation and names:

$\log_e x = \ln x$ and $\log_{10} x = \log x$ .

The function $y = \ln x$ is called the natural logarithm function, and $y = \log x$ is often called the common logarithm function.

Vne

Ghi chú · Logarit tự nhiên và logarit thập phân

Logarit cơ số $e$ và cơ số $10$ quan trọng trong ứng dụng đến mức máy tính có phím riêng cho chúng. Chúng cũng có ký hiệu và tên gọi riêng:

$\log_e x = \ln x$ và $\log_{10} x = \log x$ .

Hàm số $y = \ln x$ gọi là hàm logarit tự nhiên (natural logarithm function), còn $y = \log x$ thường gọi là hàm logarit thập phân (common logarithm function).

Figure 0.34 · Graphs of

2^x

and

\log_2 x

Figure 0.34 ·

y = 2^x

, its inverse

y = \log_2 x

, and

y = x

Vne

Hình 0.34 · Đồ thị của

2^x

và

\log_2 x

Hình 0.34 ·

y = 2^x

, hàm ngược

y = \log_2 x

và

y = x

; cửa sổ quan sát

[-4, 4]

theo

[-4, 4]

6Properties of Logarithms

Tính chất của logarit

Because $a^x$ and $\log_a x$ are inverses of each other, composing them in either order gives $x$ wherever the composition is defined. This gives two useful properties.

Vne

Vì $a^x$ và $\log_a x$ là hàm ngược của nhau, hợp hai hàm này theo thứ tự nào cũng cho lại $x$ ở mọi nơi phép hợp có nghĩa. Điều này cho hai tính chất hữu ích.

Inverse properties

Inverse properties for $a^x$ and $\log_a x$ .

Base $a \gt 0$ and $a \ne 1$ : $a^{\log_a x} = x$ for $x \gt 0$ ; $\log_a a^x = x$ for all $x$ .
Base $e$ : $e^{\ln x} = x$ for $x \gt 0$ ; $\ln e^x = x$ for all $x$ .

Vne

Tính chất hàm ngược

Tính chất hàm ngược của $a^x$ và $\log_a x$ .

Cơ số $a \gt 0$ và $a \ne 1$ : $a^{\log_a x} = x$ với $x \gt 0$ ; $\log_a a^x = x$ với mọi $x$ .
Cơ số $e$ : $e^{\ln x} = x$ với $x \gt 0$ ; $\ln e^x = x$ với mọi $x$ .

These properties help with the solution of equations that contain logarithms and exponential functions.

Vne

Các tính chất này giúp giải các phương trình chứa logarit và hàm số mũ.

Example 4(a)Using the Inverse Properties

Solve for $x$ : $\ln x = 2t + 4$ , where $t$ is a constant.

Raise both sides to the power $e$ , then use the inverse property.

$\ln x = 2t + 4$
$e^{\ln x} = e^{2t + 4}$	Raise both sides to the power $e$ .
$x = e^{2t + 4}$	Inverse Property

Vne

Ví dụ 4(a)Dùng các tính chất ngược

Giải $x$ : $\ln x = 2t + 4$ , với $t$ là hằng số.

Lấy lũy thừa cơ số $e$ hai vế, rồi dùng tính chất ngược.

$\ln x = 2t + 4$
$e^{\ln x} = e^{2t + 4}$	Lấy lũy thừa cơ số $e$ hai vế.
$x = e^{2t + 4}$	Tính chất hàm ngược

Example 4(b)Using the Inverse Properties

Solve for $x$ : $e^{3x} = 8$ .

$e^{3x} = 8$
$\ln e^{3x} = \ln 8$	Take logarithms of both sides.
$3x = \ln 8$	Inverse Property
$x = \dfrac{1}{3}\ln 8 \approx 0.69$	Divide by 3.

Vne

Ví dụ 4(b)Dùng các tính chất ngược

Giải $x$ : $e^{3x} = 8$ .

$e^{3x} = 8$
$\ln e^{3x} = \ln 8$	Lấy logarit hai vế.
$3x = \ln 8$	Tính chất hàm ngược
$x = \dfrac{1}{3}\ln 8 \approx 0.69$	Chia cho 3.

The logarithm function has the following useful arithmetic properties.

Vne

Hàm logarit có các tính chất số học hữu ích sau.

Properties of logarithms

For any real numbers $x \gt 0$ and $y \gt 0$ :

Product Rule: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
Quotient Rule: $\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
Power Rule: $\log_a(x^y) = y\log_a x$

Vne

Tính chất của logarit

Với mọi số thực $x \gt 0$ và $y \gt 0$ :

Quy tắc tích: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
Quy tắc thương: $\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
Quy tắc lũy thừa: $\log_a(x^y) = y\log_a x$

Exploration 2 · Supporting the Product Rule

Let $y_1 = \ln(ax)$ , $y_2 = \ln x$ , and $y_3 = y_1 - y_2$ .

Graph $y_1$ and $y_2$ for $a = 2, 3, 4$ , and $5$ . How do the graphs of $y_1$ and $y_2$ appear to be related?
Support your finding by graphing $y_3$ .
Confirm your finding algebraically.

Vne

Khám phá 2 · Củng cố quy tắc tích

Cho $y_1 = \ln(ax)$ , $y_2 = \ln x$ và $y_3 = y_1 - y_2$ .

Vẽ $y_1$ và $y_2$ với $a = 2, 3, 4$ và $5$ . Đồ thị của $y_1$ và $y_2$ có vẻ liên hệ với nhau thế nào?
Hãy vẽ $y_3$ để củng cố kết luận của bạn.
Kiểm chứng kết luận bằng đại số.

Exploration 2 · Answers

1. The graph of $y_1 = \ln(ax)$ is the graph of $y_2 = \ln x$ shifted up by $\ln a$ , a vertical shift.

For $a = 2, 3, 4, 5$ the shifts are about $0.69$ , $1.10$ , $1.39$ , and $1.61$ .

2. $y_3 = y_1 - y_2$ is a horizontal line at height $\ln a$ , for $x \gt 0$ .

For $a = 2, 3, 4, 5$ it is at about $0.69$ , $1.10$ , $1.39$ , and $1.61$ .

This supports the vertical shift.

3. $\ln(ax) = \ln a + \ln x$ by the Product Rule, so $y_3 = \ln a$ for every $x \gt 0$ .

Vne

Khám phá 2 · Đáp án

1. Đồ thị của $y_1 = \ln(ax)$ là đồ thị của $y_2 = \ln x$ dịch lên trên $\ln a$ , tức là một phép dịch chuyển đứng.

Với $a = 2, 3, 4, 5$ , độ dịch là khoảng $0.69$ , $1.10$ , $1.39$ và $1.61$ .

2. $y_3 = y_1 - y_2$ là đường ngang ở độ cao $\ln a$ với $x \gt 0$ .

Với $a = 2, 3, 4, 5$ , độ cao khoảng $0.69$ , $1.10$ , $1.39$ và $1.61$ .

Điều này củng cố kết luận về việc dịch chuyển đứng.

3. $\ln(ax) = \ln a + \ln x$ theo quy tắc tích, nên $y_3 = \ln a$ với mọi $x \gt 0$ .

The following formula lets us evaluate $\log_a x$ for any base $a \gt 0$ , $a \ne 1$ , and graph it with the natural logarithm on our grapher.

Vne

Công thức sau cho phép tính $\log_a x$ với mọi cơ số $a \gt 0$ , $a \ne 1$ , và vẽ đồ thị bằng logarit tự nhiên trên máy vẽ đồ thị.

7Changing the Base

Đổi cơ số

Changing the base

You can use the log button or the $\ln$ button in the change of base formula:

$\log_a x = \dfrac{\log x}{\log a}$ .

Change of base formula. For $a \gt 0$ , $a \ne 1$ , and $x \gt 0$ :

$\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$

Vne

Đổi cơ số

Bạn có thể dùng nút log hoặc nút $\ln$ trong công thức đổi cơ số:

$\log_a x = \dfrac{\log x}{\log a}$ .

Công thức đổi cơ số. Với $a \gt 0$ , $a \ne 1$ và $x \gt 0$ :

$\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$

Example 5Graphing a Base

a

Logarithm Function

Graph $f(x) = \log_3 x$ .

We use the change of base formula to rewrite $f(x)$ :

$f(x) = \log_3 x = \dfrac{\ln x}{\ln 3}$

Figure 0.35 gives the graph of $f$ .

Figure 0.35 ·

f(x) = \log_3 x = \dfrac{\ln x}{\ln 3}

Vne

Ví dụ 5Vẽ hàm logarit cơ số

a

Vẽ $f(x) = \log_3 x$ .

Ta dùng công thức đổi cơ số để viết lại $f(x)$ :

$f(x) = \log_3 x = \dfrac{\ln x}{\ln 3}$

Hình 0.35 cho đồ thị của $f$ .

Hình 0.35 ·

f(x) = \log_3 x = \dfrac{\ln x}{\ln 3}

; cửa sổ quan sát

[-1, 6]

theo

[-3, 3]

8Applications

Ứng dụng

In Section 0.3 we solved exponential growth and decay problems graphically. Now we use the properties of logarithms to solve such problems algebraically.

Vne

Ở Mục 0.3, ta giải các bài toán tăng trưởng và phân rã mũ bằng đồ thị. Bây giờ ta dùng các tính chất của logarit để giải các bài toán đó bằng đại số.

Example 6Finding Time

Lan invests 2000 dollars in an account that earns 4.5% interest compounded annually. How long will it take the account to reach 3500 dollars? Let $t$ be the time in years.

The amount in the account at any time $t$ in years is $2000(1.045)^t$ dollars, so we need to solve the equation

$2000(1.045)^t = 3500$
$(1.045)^t = 1.75$	Divide by 2000.
$\ln (1.045)^t = \ln 1.75$	Take logarithms of both sides.
$t \ln 1.045 = \ln 1.75$	Power Rule.
$t = \dfrac{\ln 1.75}{\ln 1.045} \approx 12.7$	Divide by $\ln 1.045$ .

The account reaches 3500 dollars in about 12.7 years.

That is about 12 years and 8.6 months, since $0.7137 \times 12 \approx 8.6$ .

Vne

Ví dụ 6Tìm thời gian

Lan gửi 2000 đô la vào một tài khoản có lãi suất 4.5% một năm, ghép lãi hằng năm. Tài khoản đạt 3500 đô la sau bao lâu? Gọi $t$ là thời gian tính bằng năm.

Số tiền trong tài khoản tại thời điểm $t$ năm là $2000(1.045)^t$ đô la, nên ta cần giải phương trình

$2000(1.045)^t = 3500$
$(1.045)^t = 1.75$	Chia cho 2000.
$\ln (1.045)^t = \ln 1.75$	Lấy logarit hai vế.
$t \ln 1.045 = \ln 1.75$	Quy tắc lũy thừa.
$t = \dfrac{\ln 1.75}{\ln 1.045} \approx 12.7$	Chia cho $\ln 1.045$ .

Tài khoản đạt 3500 đô la sau khoảng 12.7 năm, tức khoảng 12 năm và 8.6 tháng, vì $0.7137 \times 12 \approx 8.6$ .