AP CalculusLessonBài giảng 0.4 Parametric EquationsPhương trình tham số 0.3 0.5

0.4 Parametric Equations Phương trình tham số

1Relations

Quan hệ

A relation is a set of ordered pairs $(x, y)$ of real numbers. The graph of a relation is the set of points in the plane that match its ordered pairs.

Suppose $x$ and $y$ are functions of a third variable $t$ , called a parameter. Then we can use the parametric mode of a grapher to draw the relation.

Vne

Một quan hệ là một tập các cặp có thứ tự $(x, y)$ của số thực. Đồ thị của quan hệ là tập các điểm trong mặt phẳng ứng với các cặp có thứ tự của quan hệ đó.

Giả sử $x$ và $y$ là hàm số của một biến thứ ba $t$ , gọi là tham số (parameter). Khi đó ta dùng chế độ tham số (parametric mode) của máy vẽ đồ thị để vẽ quan hệ đó.

Example 1(a)Graphing Half a Parabola

Describe the graph of the relation determined by $x = \sqrt{t}$ , $y = 2t$ , $t \ge 0$ . Indicate the direction in which the curve is traced.

On the grapher, enter $x_1 = \sqrt{t}$ and $y_1 = 2t$ in parametric mode, with $0 \le t \le 10$ .

A grapher needs a smallest and a largest value of $t$ .

Figure 0.25 shows the graph.

It appears to be the right half of a parabola.

The curve is traced upward and to the right, starting at $(0, 0)$ .

Figure 0.25 ·

x = \sqrt{t}

y = 2t

0 \le t \le 10

, window [-5, 5] by [-1, 21]

Vne

Ví dụ 1(a)Vẽ nửa parabol

Mô tả đồ thị của quan hệ xác định bởi $x = \sqrt{t}$ , $y = 2t$ , $t \ge 0$ . Chỉ ra hướng vẽ đường cong.

Trên máy vẽ, nhập $x_1 = \sqrt{t}$ và $y_1 = 2t$ ở chế độ tham số, với $0 \le t \le 10$ .

Máy cần một giá trị nhỏ nhất và một giá trị lớn nhất của $t$ .

Hình 0.25 cho đồ thị.

Đồ thị có vẻ là nửa phải của một parabol.

Đường cong được vẽ đi lên và sang phải, bắt đầu từ $(0, 0)$ .

Hình 0.25 ·

x = \sqrt{t}

y = 2t

0 \le t \le 10

, cửa sổ [-5, 5] theo [-1, 21]

Example 1(b)Finding a Cartesian Equation

Find a Cartesian equation (an equation in $x$ and $y$ only) for a curve that contains the parametrized curve in Example 1(a).

Both $x$ and $y$ are at least zero because $t \ge 0$ .

Since $x = \sqrt{t}$ , we have $t = x^2$ , so for every $x \ge 0$ , $y = 2t = 2x^2$ .

Thus the relation is the function $y = 2x^2$ , $x \ge 0$ .

Vne

Ví dụ 1(b)Tìm phương trình theo

x

và

y

Tìm một phương trình theo $x$ và $y$ (chỉ chứa $x$ và $y$ ) cho đường cong đã tham số hóa trong Ví dụ 1(a).

Cả $x$ và $y$ đều không âm vì $t \ge 0$ .

Vì $x = \sqrt{t}$ nên $t = x^2$ , do đó với mọi $x \ge 0$ , $y = 2t = 2x^2$ .

Vậy quan hệ là hàm số $y = 2x^2$ , $x \ge 0$ .

Definition · Parametric curve, parametric equations

Parametric curve, parametric equations. If $x = f(t)$ and $y = g(t)$ are functions over an interval of $t$ values, then the set of points $(x, y) = (f(t), g(t))$ is a parametric curve. These equations are parametric equations for the curve.

The variable $t$ is a parameter for the curve. Its domain $I$ is the parameter interval.

If $I$ has a smallest value $a$ , the point $(f(a), g(a))$ is the initial point of the curve. If $I$ has a largest value $b$ , the point $(f(b), g(b))$ is the terminal point. When we give parametric equations and a parameter interval, we say the curve is parametrized. The equations and the interval together form a parametrization of the curve.

Vne

Định nghĩa · Đường cong tham số, phương trình tham số

Đường cong tham số: nếu $x = f(t)$ và $y = g(t)$ là các hàm số với $t$ chạy trên một khoảng, thì tập các điểm $(x, y) = (f(t), g(t))$ là một đường cong tham số. Các phương trình này là phương trình tham số của đường cong.

Biến $t$ là tham số của đường cong. Tập xác định $I$ của $t$ là khoảng tham số.

Nếu $I$ có giá trị nhỏ nhất $a$ , điểm $(f(a), g(a))$ là điểm đầu của đường cong. Nếu $I$ có giá trị lớn nhất $b$ , điểm $(f(b), g(b))$ là điểm cuối. Khi cho phương trình tham số và khoảng tham số, ta nói đường cong được tham số hóa. Phương trình và khoảng cùng tạo thành một cách tham số hóa của đường cong.

Note · Parameter interval and graphing

In Example 1, the parameter interval is $[0, \infty)$ , so $(0, 0)$ is the initial point and there is no terminal point.

A grapher can draw a parametrized curve only over a closed interval. So the drawn portion has endpoints, even when the curve does not. Keep this in mind when you graph.

Vne

Ghi chú · Khoảng tham số và vẽ đồ thị

Trong Ví dụ 1, khoảng tham số là $[0, \infty)$ , nên $(0, 0)$ là điểm đầu và không có điểm cuối.

Máy vẽ đồ thị chỉ vẽ được đường cong tham số trên một khoảng đóng. Vì vậy phần được vẽ có hai đầu mút, ngay cả khi đường cong không có. Hãy nhớ điều này khi vẽ đồ thị.

2Circles

Đường tròn

In applications, $t$ often denotes time, an angle, or the distance a particle has traveled along its path from its starting point. Parametric graphing can simulate the motion of the particle.

Vne

Trong ứng dụng, $t$ thường là thời gian, một góc, hoặc quãng đường mà một hạt đã đi dọc theo đường đi của nó kể từ điểm xuất phát. Vẽ đồ thị tham số có thể mô phỏng chuyển động của hạt.

Exploration 1 · Parametrizing Circles (parts 1–2)

Let $x = a\cos t$ and $y = a\sin t$ .

Let $a = 2, 3,$ or $4$ and graph the parametric equations in a square viewing window using the parameter interval $[0, 2\pi]$ . How does changing $a$ affect this graph?
Let $a = 2$ and graph the parametric equations using the parameter intervals $[0, \pi/3]$ , $[0, 2\pi/3]$ , $[0, 4\pi/3]$ , $[2\pi, 3\pi]$ , and $[0, 3\pi]$ . Describe the role of the length of the parameter interval.

Vne

Khám phá 1 · Tham số hóa đường tròn (câu 1–2)

Đặt $x = a\cos t$ và $y = a\sin t$ .

Cho $a = 2, 3$ hoặc $4$ , vẽ các phương trình tham số trong cửa sổ quan sát vuông với khoảng tham số $[0, 2\pi]$ . Thay đổi $a$ ảnh hưởng thế nào đến đồ thị?
Cho $a = 2$ , vẽ các phương trình tham số với các khoảng tham số $[0, \pi/3]$ , $[0, 2\pi/3]$ , $[0, 4\pi/3]$ , $[2\pi, 3\pi]$ và $[0, 3\pi]$ . Mô tả vai trò của độ dài khoảng tham số.

Exploration 1 · Parametrizing Circles (parts 3–4)

Let $a = 5$ and graph the parametric equations using the intervals $[\pi/3, 4\pi/3]$ , $[\pi, 2\pi]$ , $[4\pi/3, 3\pi]$ , and $[\pi, 5\pi]$ . What are the initial point and terminal point in each case?
Graph $x = 3\cos(-t)$ and $y = 3\sin(-t)$ using the parameter intervals $[0, 2\pi]$ , $[\pi, 3\pi]$ , and $[\pi/3, 4\pi/3]$ . In each case, describe how the graph is traced.

Vne

Khám phá 1 · Tham số hóa đường tròn (câu 3–4)

Cho $a = 5$ , vẽ với các khoảng $[\pi/3, 4\pi/3]$ , $[\pi, 2\pi]$ , $[4\pi/3, 3\pi]$ và $[\pi, 5\pi]$ . Điểm đầu và điểm cuối trong mỗi trường hợp là gì?
Vẽ $x = 3\cos(-t)$ và $y = 3\sin(-t)$ với các khoảng tham số $[0, 2\pi]$ , $[\pi, 3\pi]$ và $[\pi/3, 4\pi/3]$ . Trong mỗi trường hợp, mô tả đường cong được vẽ như thế nào.

Exploration 1 · Answers

1. Each graph is a circle of radius $a$ centered at the origin.

A larger $a$ gives a larger circle.

2. The curve is traced over an arc whose angle equals the length of the interval, in radians.

One full turn needs length $2\pi$ .

For $[0, \pi/3]$ the arc goes from $(2, 0)$ to $(1, \sqrt{3})$ .

For $[0, 3\pi]$ the curve goes around $1.5$ times and ends at $(-2, 0)$ .

The interval $[2\pi, 3\pi]$ traces the same half circle as $[0, \pi]$ , because $\cos t$ and $\sin t$ repeat every $2\pi$ .

3. For $[\pi/3, 4\pi/3]$ : from $(2.5, 4.330)$ to $(-2.5, -4.330)$ .

For $[\pi, 2\pi]$ : from $(-5, 0)$ to $(5, 0)$ .

For $[4\pi/3, 3\pi]$ : from $(-2.5, -4.330)$ to $(-5, 0)$ .

For $[\pi, 5\pi]$ : from $(-5, 0)$ back to $(-5, 0)$ after two full turns.

4. Since $\cos(-t) = \cos t$ and $\sin(-t) = -\sin t$ , the curve is $x = 3\cos t$ , $y = -3\sin t$ , which is traced clockwise.

$[0, 2\pi]$ : one full circle from $(3, 0)$ to $(3, 0)$ .

$[\pi, 3\pi]$ : one full circle from $(-3, 0)$ to $(-3, 0)$ .

$[\pi/3, 4\pi/3]$ : a clockwise half circle from $(1.5, -2.598)$ to $(-1.5, 2.598)$ .

Vne

Khám phá 1 · Đáp án

1. Mỗi đồ thị là đường tròn bán kính $a$ tâm gốc tọa độ.

$a$ lớn hơn cho đường tròn lớn hơn.

2. Đường cong được vẽ trên một cung có góc bằng độ dài khoảng tham số, tính bằng radian.

Một vòng đầy đủ cần độ dài $2\pi$ .

Với $[0, \pi/3]$ , cung đi từ $(2, 0)$ đến $(1, \sqrt{3})$ .

Với $[0, 3\pi]$ , đường cong đi được $1.5$ vòng và kết thúc tại $(-2, 0)$ .

Khoảng $[2\pi, 3\pi]$ vẽ cùng nửa đường tròn với $[0, \pi]$ , vì $\cos t$ và $\sin t$ lặp lại sau mỗi $2\pi$ .

3. Với $[\pi/3, 4\pi/3]$ : từ $(2.5, 4.330)$ đến $(-2.5, -4.330)$ .

Với $[\pi, 2\pi]$ : từ $(-5, 0)$ đến $(5, 0)$ .

Với $[4\pi/3, 3\pi]$ : từ $(-2.5, -4.330)$ đến $(-5, 0)$ .

Với $[\pi, 5\pi]$ : từ $(-5, 0)$ quay lại $(-5, 0)$ sau hai vòng đầy đủ.

4. Vì $\cos(-t) = \cos t$ và $\sin(-t) = -\sin t$ , đường cong là $x = 3\cos t$ , $y = -3\sin t$ , được vẽ theo chiều kim đồng hồ.

$[0, 2\pi]$ : một đường tròn đầy đủ từ $(3, 0)$ đến $(3, 0)$ .

$[\pi, 3\pi]$ : một đường tròn đầy đủ từ $(-3, 0)$ đến $(-3, 0)$ .

$[\pi/3, 4\pi/3]$ : nửa đường tròn theo chiều kim đồng hồ từ $(1.5, -2.598)$ đến $(-1.5, 2.598)$ .

For $x = a\cos t$ and $y = a\sin t$ , we have $x^2 + y^2 = a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = a^2$ , using the identity $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . So the curves in Exploration 1 are circles, or portions of circles, centered at the origin.

Vne

Với $x = a\cos t$ và $y = a\sin t$ , ta có $x^2 + y^2 = a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = a^2$ , dùng đẳng thức $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . Vậy các đường cong trong Khám phá 1 là đường tròn, hoặc các cung của đường tròn, có tâm ở gốc tọa độ.

Multiple parametrizations

There are many ways to parametrize a circle. For example, consider the parametric equations $x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$ , $y = \dfrac{2t}{1 + t^2}$ , $-\infty \lt t \lt \infty$ . You can show that $x^2 + y^2 = 1$ , so this curve lies along the unit circle centered at the origin.

Vne

Nhiều cách tham số hóa

Có nhiều cách tham số hóa một đường tròn. Chẳng hạn, xét các phương trình tham số $x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$ , $y = \dfrac{2t}{1 + t^2}$ , $-\infty \lt t \lt \infty$ . Ta có thể chứng minh $x^2 + y^2 = 1$ , nên đường cong này nằm trên đường tròn đơn vị tâm gốc tọa độ.

Example 2Graphing a Circle

Describe the graph of the relation determined by $x = 3\cos t$ , $y = 3\sin t$ , $0 \le t \le 2\pi$ . Find the initial and terminal points. Indicate the direction in which the curve is traced. Find a Cartesian equation for a curve that contains the parametrized curve.

Figure 0.26 shows that the graph appears to be a circle with radius 3.

Watching the graph develop, the curve is traced exactly once counterclockwise.

The initial point at $t = 0$ is $(3, 0)$ , and the terminal point at $t = 2\pi$ is also $(3, 0)$ .

Next we eliminate $t$ : $x^2 + y^2 = 9\cos^2 t + 9\sin^2 t = 9(\cos^2 t + \sin^2 t) = 9$ , because $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ .

The parametrized curve is a circle of radius 3 centered at the origin.

Figure 0.26 ·

x = 3\cos t

y = 3\sin t

; window [-5, 5] by [-5, 5]; Tmin = 0, Tmax =

2\pi

, Tstep =

\pi/24 \approx 0.131

Vne

Ví dụ 2Vẽ một đường tròn

Mô tả đồ thị của quan hệ xác định bởi $x = 3\cos t$ , $y = 3\sin t$ , $0 \le t \le 2\pi$ . Tìm điểm đầu và điểm cuối. Chỉ ra hướng vẽ đường cong. Tìm một phương trình theo $x$ và $y$ cho đường cong đã tham số hóa.

Hình 0.26 cho thấy đồ thị có vẻ là đường tròn bán kính 3.

Khi xem đồ thị hiện dần, ta thấy đường cong đi đúng một vòng ngược chiều kim đồng hồ.

Điểm đầu tại $t = 0$ là $(3, 0)$ , và điểm cuối tại $t = 2\pi$ cũng là $(3, 0)$ .

Tiếp theo ta khử $t$ : $x^2 + y^2 = 9\cos^2 t + 9\sin^2 t = 9(\cos^2 t + \sin^2 t) = 9$ , vì $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ .

Đường cong tham số là đường tròn bán kính 3 có tâm ở gốc tọa độ.

Hình 0.26 ·

x = 3\cos t

y = 3\sin t

; cửa sổ [-5, 5] theo [-5, 5]; Tmin = 0, Tmax =

2\pi

, Tstep =

\pi/24 \approx 0.131

3Ellipses

Elip

Parametrizations of ellipses are similar to parametrizations of circles. Recall that the standard form of an ellipse centered at $(0, 0)$ is $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ , where $a$ and $b$ are positive numbers. Here $a$ is half the width of the ellipse along the $x$ -axis, and $b$ is half its height along the $y$ -axis.

Vne

Cách tham số hóa elip giống cách tham số hóa đường tròn. Nhắc lại dạng chuẩn của elip có tâm $(0, 0)$ là $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ , trong đó $a$ và $b$ là các số dương. Ở đây $a$ là nửa độ rộng của elip theo trục $x$ , còn $b$ là nửa chiều cao theo trục $y$ .

Example 3Graphing an Ellipse

Graph the parametric curve $x = 2\cos t$ , $y = 5\sin t$ , $0 \le t \le 2\pi$ . Find a Cartesian equation for a curve that contains the parametric curve. What portion of the graph of the Cartesian equation is traced by the parametric curve? Indicate the direction in which the curve is traced and the initial and terminal points, if any.

Figure 0.27 suggests that the curve is an ellipse.

Since $\cos t = \dfrac{x}{2}$ and $\sin t = \dfrac{y}{5}$ , the Cartesian equation is $\left(\dfrac{x}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{5}\right)^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ .

So the curve lies along the ellipse with endpoints of the major axis (the longer axis) $(0, \pm 5)$ and endpoints of the minor axis (the shorter axis) $(\pm 2, 0)$ .

The major axis lies on the $y$ -axis, because $5 \gt 2$ .

As $t$ increases from $0$ to $2\pi$ , the point $(x, y) = (2\cos t, 5\sin t)$ starts at $(2, 0)$ .

It traces the entire ellipse once counterclockwise.

Thus $(2, 0)$ is both the initial point and the terminal point.

Figure 0.27 ·

x = 2\cos t

y = 5\sin t

0 \le t \le 2\pi

; window [−6, 6] by [−6, 6]

Vne

Ví dụ 3Vẽ một elip

Vẽ đường cong tham số $x = 2\cos t$ , $y = 5\sin t$ , $0 \le t \le 2\pi$ . Tìm một phương trình theo $x$ và $y$ cho đường cong chứa đường cong tham số. Phần nào của đồ thị phương trình đó được đường cong tham số vẽ? Chỉ ra hướng vẽ và điểm đầu, điểm cuối (nếu có).

Hình 0.27 cho thấy đường cong là một elip.

Vì $\cos t = \dfrac{x}{2}$ và $\sin t = \dfrac{y}{5}$ , phương trình theo $x$ và $y$ là $\left(\dfrac{x}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{5}\right)^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ .

Vậy đường cong nằm trên elip có hai đầu mút của trục lớn (trục dài hơn) là $(0, \pm 5)$ và hai đầu mút của trục nhỏ (trục ngắn hơn) là $(\pm 2, 0)$ .

Trục lớn nằm trên trục $y$ , vì $5 \gt 2$ .

Khi $t$ tăng từ $0$ đến $2\pi$ , điểm $(x, y) = (2\cos t, 5\sin t)$ bắt đầu tại $(2, 0)$ .

Điểm này đi một vòng đầy đủ quanh elip, ngược chiều kim đồng hồ.

Vậy $(2, 0)$ vừa là điểm đầu vừa là điểm cuối.

Hình 0.27 ·

x = 2\cos t

y = 5\sin t

0 \le t \le 2\pi

; cửa sổ [-6, 6] theo [-6, 6]

Exploration 2 · Parametrizing Ellipses (parts 1–3)

Let $x = a\cos t$ and $y = b\sin t$ .

Let $a = 2$ and $b = 5$ . Graph using the parameter interval $[0, 2\pi]$ . Repeat, changing $b$ to $6$ , $7$ , and $8$ .
Let $a = 4$ and $b = 5$ . Graph using the parameter interval $[0, 2\pi]$ . Repeat, changing $a$ to $6$ , $7$ , and $8$ .
Based on parts 1 and 2, how do you identify the axis that contains the major axis of the ellipse? The minor axis?

Vne

Khám phá 2 · Tham số hóa elip (câu 1–3)

Đặt $x = a\cos t$ và $y = b\sin t$ .

Cho $a = 2$ và $b = 5$ . Vẽ với khoảng tham số $[0, 2\pi]$ . Lặp lại, đổi $b$ thành $6$ , $7$ và $8$ .
Cho $a = 4$ và $b = 5$ . Vẽ với khoảng tham số $[0, 2\pi]$ . Lặp lại, đổi $a$ thành $6$ , $7$ và $8$ .
Dựa vào câu 1 và 2, làm sao xác định trục chứa trục lớn của elip? Trục nhỏ thì sao?

Exploration 2 · Parametrizing Ellipses (parts 4–5)

Let $a = 4$ and $b = 6$ . Graph using the parameter intervals $[0, \pi/2]$ , $[0, \pi]$ , $[0, 3\pi/2]$ , and $[0, 4\pi]$ . Describe the role of the length of the parameter interval.
Graph $x = 5\cos(-t)$ and $y = 2\sin(-t)$ using the parameter intervals $(0, 2\pi]$ , $[\pi, 3\pi]$ , and $[\pi/2, 3\pi/2]$ . Describe how the graph is traced. What are the initial point and terminal point in each case?

Vne

Khám phá 2 · Tham số hóa elip (câu 4–5)

Cho $a = 4$ và $b = 6$ . Vẽ với các khoảng tham số $[0, \pi/2]$ , $[0, \pi]$ , $[0, 3\pi/2]$ và $[0, 4\pi]$ . Mô tả vai trò của độ dài khoảng tham số.
Vẽ $x = 5\cos(-t)$ và $y = 2\sin(-t)$ với các khoảng tham số $(0, 2\pi]$ , $[\pi, 3\pi]$ và $[\pi/2, 3\pi/2]$ . Mô tả đường cong được vẽ như thế nào. Điểm đầu và điểm cuối trong mỗi trường hợp là gì?

Exploration 2 · Answers

1. Each graph is an ellipse centered at the origin with horizontal half-width $2$ and vertical half-height $b$ .

For $b = 5, 6, 7, 8$ the ellipse gets taller;

its top and bottom points are $(0, \pm b)$ .

2. Each graph is an ellipse with vertical half-height $5$ and horizontal half-width $a = 6, 7, 8$ .

The ellipse gets wider;

its points on the $x$ -axis are $(\pm a, 0)$ .

3. The major axis lies on the axis with the larger half-width.

In part 1, $b \gt 2$ , so the major axis is on the $y$ -axis.

In part 2, $a \gt 5$ , so it is on the $x$ -axis.

The minor axis is the other axis.

4. One full turn needs length $2\pi$ , so a length of $\pi/2$ traces a quarter of the ellipse.

For $[0, \pi/2]$ the curve goes from $(4, 0)$ to $(0, 6)$ .

For $[0, \pi]$ it goes from $(4, 0)$ to $(-4, 0)$ .

For $[0, 3\pi/2]$ it goes from $(4, 0)$ to $(0, -6)$ .

For $[0, 4\pi]$ it goes around twice and ends at $(4, 0)$ .

5. Since $\cos(-t) = \cos t$ and $\sin(-t) = -\sin t$ , the curve is $x = 5\cos t$ , $y = -2\sin t$ , traced clockwise.

$(0, 2\pi]$ : one full ellipse, with no initial point;

the terminal point is $(5, 0)$ .

$[\pi, 3\pi]$ : one full ellipse from $(-5, 0)$ to $(-5, 0)$ .

$[\pi/2, 3\pi/2]$ : a clockwise half ellipse from $(0, -2)$ through $(-5, 0)$ to $(0, 2)$ .

Vne

Khám phá 2 · Đáp án

1. Mỗi đồ thị là elip có tâm gốc tọa độ, nửa độ rộng theo $x$ bằng $2$ và nửa chiều cao theo $y$ bằng $b$ .

Với $b = 5, 6, 7, 8$ , elip cao hơn;

các điểm trên cùng và dưới cùng là $(0, \pm b)$ .

2. Mỗi đồ thị là elip có nửa chiều cao theo $y$ bằng $5$ và nửa độ rộng theo $x$ bằng $a = 6, 7, 8$ .

Elip rộng hơn;

các điểm trên trục $x$ là $(\pm a, 0)$ .

3. Trục lớn nằm trên trục có nửa độ dài lớn hơn.

Ở câu 1, $b \gt 2$ nên trục lớn nằm trên trục $y$ .

Ở câu 2, $a \gt 5$ nên trục lớn nằm trên trục $x$ .

Trục nhỏ là trục còn lại.

4. Một vòng đầy đủ cần độ dài $2\pi$ , nên độ dài $\pi/2$ vẽ một phần tư elip.

Với $[0, \pi/2]$ , đường cong đi từ $(4, 0)$ đến $(0, 6)$ .

Với $[0, \pi]$ , đi từ $(4, 0)$ đến $(-4, 0)$ .

Với $[0, 3\pi/2]$ , đi từ $(4, 0)$ đến $(0, -6)$ .

Với $[0, 4\pi]$ , đường cong đi hai vòng và kết thúc tại $(4, 0)$ .

5. Vì $\cos(-t) = \cos t$ và $\sin(-t) = -\sin t$ , đường cong là $x = 5\cos t$ , $y = -2\sin t$ , được vẽ theo chiều kim đồng hồ.

$(0, 2\pi]$ : một elip đầy đủ, không có điểm đầu;

điểm cuối là $(5, 0)$ .

$[\pi, 3\pi]$ : một elip đầy đủ từ $(-5, 0)$ đến $(-5, 0)$ .

$[\pi/2, 3\pi/2]$ : nửa elip theo chiều kim đồng hồ từ $(0, -2)$ qua $(-5, 0)$ đến $(0, 2)$ .

For $x = a\cos t$ and $y = b\sin t$ , we have $\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . So the curves in Exploration 2 are ellipses, or portions of ellipses, centered at the origin.

Vne

Với $x = a\cos t$ và $y = b\sin t$ , ta có $\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . Vậy các đường cong trong Khám phá 2 là elip, hoặc các cung của elip, có tâm ở gốc tọa độ.

4Lines and Line Segments

Đường thẳng và đoạn thẳng

Example 4Graphing a Line Segment

Draw and identify the graph of the parametric curve determined by $x = 4t$ , $y = 3 - 3t$ , $0 \le t \le 1$ .

The graph (Figure 0.28) appears to be a line segment with endpoints $(0, 3)$ and $(4, 0)$ .

When $t = 0$ , the equations give $x = 0$ and $y = 3$ .

When $t = 1$ , they give $x = 4$ and $y = 0$ .

Substitute $t = x/4$ into the $y$ equation: $y = 3 - 3\left(\dfrac{x}{4}\right) = -\dfrac{3}{4}x + 3$ .

Thus the parametric curve traces the segment of the line $y = -\dfrac{3}{4}x + 3$ from $(0, 3)$ to $(4, 0)$ .

Figure 0.28 ·

x = 4t

y = 3 - 3t

0 \le t \le 1

; window [-2, 6] by [-1, 4]; initial point

(0, 3)

Vne

Ví dụ 4Vẽ một đoạn thẳng

Vẽ và nhận dạng đồ thị của đường cong tham số xác định bởi $x = 4t$ , $y = 3 - 3t$ , $0 \le t \le 1$ .

Đồ thị (Hình 0.28) có vẻ là một đoạn thẳng với hai đầu mút $(0, 3)$ và $(4, 0)$ .

Khi $t = 0$ , các phương trình cho $x = 0$ và $y = 3$ .

Khi $t = 1$ , chúng cho $x = 4$ và $y = 0$ .

Thay $t = x/4$ vào phương trình của $y$ : $y = 3 - 3\left(\dfrac{x}{4}\right) = -\dfrac{3}{4}x + 3$ .

Vậy đường cong tham số vẽ đoạn của đường thẳng $y = -\dfrac{3}{4}x + 3$ từ $(0, 3)$ đến $(4, 0)$ .

Hình 0.28 ·

x = 4t

y = 3 - 3t

0 \le t \le 1

; cửa sổ [-2, 6] theo [-1, 4]; điểm đầu

(0, 3)

If we change the parameter interval $[0, 1]$ in Example 4 to $(-\infty, \infty)$ , the parametrization traces the entire line $y = -\dfrac{3}{4}x + 3$ .

Vne

Nếu ta đổi khoảng tham số $[0, 1]$ trong Ví dụ 4 thành $(-\infty, \infty)$ , cách tham số hóa sẽ vẽ toàn bộ đường thẳng $y = -\dfrac{3}{4}x + 3$ .

Exploration 3 · Graphing the Witch of Agnesi (part 1)

The witch of Agnesi is the curve $x = 3\cot t$ , $y = 3\sin^2 t$ , $0 \lt t \lt \pi$ .

Draw the curve using the window $[-8, 8]$ by $[-1, 4]$ . What closed parameter interval did you choose for your grapher? In what direction is the curve traced? How far to the left and right of the origin do you think the curve extends?

Vne

Khám phá 3 · Vẽ witch of Agnesi (câu 1)

Đường cong witch of Agnesi là $x = 3\cot t$ , $y = 3\sin^2 t$ , $0 \lt t \lt \pi$ .

Vẽ đường cong với cửa sổ $[-8, 8]$ theo $[-1, 4]$ . Bạn chọn khoảng tham số đóng nào cho máy vẽ? Đường cong được vẽ theo hướng nào? Theo bạn, đường cong trải dài bao xa về bên trái và bên phải gốc tọa độ?

Exploration 3 · Graphing the Witch of Agnesi (parts 2–3)

Graph the same parametric equations using the parameter intervals $(-\pi/2, \pi/2)$ , $(0, \pi/2)$ , and $(\pi/2, \pi)$ . In each case, describe the curve you see and the direction in which your grapher traces it.
What happens if you replace $x = 3\cot t$ by $x = -3\cot t$ in the original parametrization? What happens if you use $x = 3\cot(\pi - t)$ ?

Vne

Khám phá 3 · Vẽ witch of Agnesi (câu 2–3)

Vẽ cùng các phương trình tham số với các khoảng tham số $(-\pi/2, \pi/2)$ , $(0, \pi/2)$ và $(\pi/2, \pi)$ . Trong mỗi trường hợp, mô tả đường cong bạn thấy và hướng máy vẽ đường cong đó.
Điều gì xảy ra nếu thay $x = 3\cot t$ bằng $x = -3\cot t$ trong cách tham số hóa ban đầu? Điều gì xảy ra nếu dùng $x = 3\cot(\pi - t)$ ?

Figure 0.29 ·

x = 3\cot t

y = 3\sin^2 t

; window [-8, 8] by [-2.5, 6]

Vne

Hình 0.29 ·

x = 3\cot t

y = 3\sin^2 t

; cửa sổ [-8, 8] theo [-2.5, 6]

Exploration 3 · Answers

1. A closed interval such as $[0.4, \pi - 0.4]$ works.

On it, $x$ runs from about $7.096$ to $-7.096$ , which fits the window;

the whole curve reaches farther.

The curve is traced from right to left, because $x$ decreases as $t$ increases.

It does not stop: as $t \to 0^+$ or $t \to \pi^-$ , $|x| \to \infty$ and $y \to 0$ .

The top point is $(0, 3)$ at $t = \pi/2$ .

2. On $(-\pi/2, \pi/2)$ the curve has two pieces, because $\cot t$ is undefined at $t = 0$ , which lies inside the interval.

The left piece starts near $(0, 3)$ and runs out to the left;

the right piece comes in from the right toward $(0, 3)$ .

Neither reaches $(0, 3)$ , because $t = \pm\pi/2$ is not in the open interval.

On $(0, \pi/2)$ only the right piece is drawn, traced from right to left to $(0, 3)$ .

On $(\pi/2, \pi)$ only the left piece is drawn, traced from $(0, 3)$ to the left.

3. Replacing $x = 3\cot t$ by $x = -3\cot t$ changes the sign of $x$ , so the curve is reflected across the $y$ -axis.

The $y$ equation does not change.

Since $\cot(\pi - t) = -\cot t$ and $\sin^2(\pi - t) = \sin^2 t$ , using $x = 3\cot(\pi - t)$ gives the same curve as $x = -3\cot t$ .

Here $x$ increases with $t$ , so the curve is traced from left to right.

Vne

Khám phá 3 · Đáp án

1. Có thể chọn khoảng đóng như $[0.4, \pi - 0.4]$ .

Trên khoảng này, $x$ chạy từ khoảng $7.096$ đến $-7.096$ , nằm gọn trong cửa sổ;

cả đường cong còn đi xa hơn.

Đường cong được vẽ từ phải sang trái, vì $x$ giảm khi $t$ tăng.

Đường cong không dừng lại: khi $t \to 0^+$ hoặc $t \to \pi^-$ , $|x| \to \infty$ và $y \to 0$ .

Điểm cao nhất là $(0, 3)$ tại $t = \pi/2$ .

2. Trên $(-\pi/2, \pi/2)$ , đường cong có hai nhánh, vì $\cot t$ không xác định tại $t = 0$ , mà $t = 0$ nằm trong khoảng này.

Nhánh trái bắt đầu gần $(0, 3)$ và đi ra phía trái;

nhánh phải đi từ bên phải vào gần $(0, 3)$ .

Cả hai nhánh đều không đạt tới $(0, 3)$ , vì $t = \pm\pi/2$ nằm ngoài khoảng mở.

Trên $(0, \pi/2)$ chỉ có nhánh phải, vẽ từ phải sang trái đến $(0, 3)$ .

Trên $(\pi/2, \pi)$ chỉ có nhánh trái, vẽ từ $(0, 3)$ sang trái.

3. Thay $x = 3\cot t$ bằng $x = -3\cot t$ làm đổi dấu của $x$ , nên đường cong phản chiếu qua trục $y$ .

Phương trình của $y$ không đổi.

Vì $\cot(\pi - t) = -\cot t$ và $\sin^2(\pi - t) = \sin^2 t$ , dùng $x = 3\cot(\pi - t)$ cho cùng đường cong với $x = -3\cot t$ .

Ở đây $x$ tăng khi $t$ tăng, nên đường cong được vẽ từ trái sang phải.

Example 5Parametrizing a Line Segment

Find a parametrization for the line segment with endpoints $(-1, 2)$ and $(4, 7)$ .

Let $(x_0, y_0)$ be the initial point.

Here $(x_0, y_0) = (-1, 2)$ .

Using this point, we write the parametric equations $x = x_0 + at$ , $y = y_0 + bt$ , so $x = -1 + at$ and $y = 2 + bt$ .

These equations describe a line.

Solve each one for $t$ and set the results equal: $\dfrac{x + 1}{a} = \dfrac{y - 2}{b}$ .

This line goes through $(-1, 2)$ when $t = 0$ .

We determine $a$ and $b$ so that the line goes through $(4, 7)$ when $t = 1$ :

$4 = -1 + a \Rightarrow a = 5$

( $x = 4$ when $t = 1$ )

$7 = 2 + b \Rightarrow b = 5$

( $y = 7$ when $t = 1$ )

Therefore $x = -1 + 5t$ , $y = 2 + 5t$ , $0 \le t \le 1$ is a parametrization of the line segment with initial point $(-1, 2)$ and terminal point $(4, 7)$ .

Vne

Ví dụ 5Tham số hóa một đoạn thẳng

Tìm một cách tham số hóa cho đoạn thẳng có hai đầu mút $(-1, 2)$ và $(4, 7)$ .

Gọi $(x_0, y_0)$ là điểm đầu.

Ở đây $(x_0, y_0) = (-1, 2)$ .

Dùng điểm này, ta lập các phương trình tham số $x = x_0 + at$ , $y = y_0 + bt$ , tức $x = -1 + at$ và $y = 2 + bt$ .

Đây là một đường thẳng, vì khi giải từng phương trình theo $t$ rồi cho bằng nhau, ta được $\dfrac{x + 1}{a} = \dfrac{y - 2}{b}$ .

Đường thẳng này đi qua $(-1, 2)$ khi $t = 0$ .

Ta xác định $a$ và $b$ sao cho đường thẳng đi qua $(4, 7)$ khi $t = 1$ :

$4 = -1 + a \Rightarrow a = 5$

( $x = 4$ khi $t = 1$ )

$7 = 2 + b \Rightarrow b = 5$

( $y = 7$ khi $t = 1$ )

Vậy $x = -1 + 5t$ , $y = 2 + 5t$ , $0 \le t \le 1$ là cách tham số hóa đoạn thẳng với điểm đầu $(-1, 2)$ và điểm cuối $(4, 7)$ .