AP CalculusLessonBài giảng P.1 Velocity and DistanceVận tốc và quãng đường 0.6 1.1

P.1 Velocity and Distance Vận tốc và quãng đường

1Two Questions of Calculus

Hai câu hỏi nền tảng của giải tích

Calculus is built on two questions about a moving object, or about any quantity that changes.

Vne

Giải tích được xây dựng trên hai câu hỏi về một vật đang chuyển động, hoặc về bất kỳ đại lượng nào đang thay đổi.

If we know how fast an object moves at each moment, how far does it travel over a time interval? Here we know how quickly something accumulates, and we ask for the total amount accumulated.
If we know the position of an object at each moment, how fast is it moving at any moment? Here we know how much has accumulated at each moment, and we ask for the rate at which it accumulates.

Vne

Nếu biết vật chuyển động nhanh đến mức nào ở mỗi thời điểm, thì vật đi được quãng đường bao nhiêu trong một khoảng thời gian? Ở đây ta biết một đại lượng tích lũy nhanh đến mức nào và hỏi tổng lượng đã tích lũy.
Nếu biết vị trí của vật ở mỗi thời điểm, thì tại một thời điểm bất kỳ vật chuyển động nhanh đến mức nào? Ở đây ta biết lượng đã tích lũy tại mỗi thời điểm và hỏi tốc độ tích lũy.

2Finding Distance

Tìm quãng đường

Constant Velocity

Vận tốc không đổi

Definition · Velocity

If an object moves at a constant velocity $v$ for a time $t$ , then

v = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}, \qquad \text{distance} = v \cdot t.

Vne

Nếu một vật chuyển động với vận tốc không đổi $v$ trong thời gian $t$ và đi được quãng đường $d$ , thì

v = \dfrac{d}{t}, \qquad d = v \cdot t.

Varying Velocity

Vận tốc thay đổi

If the velocity changes, one multiplication is not enough. Split the time interval into short pieces. On a short piece the velocity hardly changes, so the distance on that piece is about velocity × time. Add the distances of all the pieces.

Vne

Nếu vận tốc thay đổi, một phép nhân là không đủ. Hãy chia khoảng thời gian thành các đoạn ngắn. Trên một đoạn ngắn, vận tốc hầu như không đổi, nên quãng đường trên đoạn đó xấp xỉ bằng vận tốc nhân thời gian. Cộng quãng đường của tất cả các đoạn lại.

Suppose that on one piece of length $\Delta t$ the velocity stays between a smallest value $m$ and a largest value $M$ . Then the distance on that piece lies between $m \cdot \Delta t$ and $M \cdot \Delta t$ . Adding over all the pieces gives a lower bound $L$ and an upper bound $U$ on the total distance.

Vne

Giả sử trên một đoạn thời gian có độ dài $\Delta t$ , vận tốc luôn nằm giữa một giá trị nhỏ nhất $m$ và một giá trị lớn nhất $M$ . Khi đó quãng đường trên đoạn đó nằm giữa $m \cdot \Delta t$ và $M \cdot \Delta t$ . Cộng lại trên mọi đoạn ta được cận dưới $L$ và cận trên $U$ của tổng quãng đường.

Example 1Water in a bucket

A rainstorm begins at 1 PM. An empty bucket left outside starts to fill at the rate

r(t) = -\tfrac{1}{4}t^2 + 2t - \tfrac{1}{2} \text{ cm/h}, \qquad 1 \le t \le 5,

where $t$ is the number of hours after noon. Find a lower bound and an upper bound on how far the water level rises from 1 PM to 5 PM.

Figure P.1 · The rate

r(t)

for

1 \le t \le 5

; dots at whole hours

The rate rises from $t = 1$ to $t = 4$ and falls from $t = 4$ to $t = 5$ .

At whole hours it is $r(1) = 1.25$ , $r(2) = 2.50$ , $r(3) = 3.25$ , $r(4) = 3.50$ and $r(5) = 3.25$ .

On each hour, find the smallest and the largest rate:

Interval	Smallest rate	Largest rate
1 to 2	1.25	2.50
2 to 3	2.50	3.25
3 to 4	3.25	3.50
4 to 5	3.25	3.50

Take $\Delta t = 1$ h.

The lower bound $L$ and the upper bound $U$ (in cm) are the sums of (smallest rate) × $\Delta t$ and of (largest rate) × $\Delta t$ :

\begin{aligned} L &= 1.25 + 2.50 + 3.25 + 3.25 = 10.25 \\ U &= 2.50 + 3.25 + 3.50 + 3.50 = 12.75 \end{aligned}

So the rise is between 10.25 cm and 12.75 cm.

Shorter steps narrow the gap:

Step (h)	Lower bound L (cm)	Upper bound U (cm)
1	10.25	12.75
0.5	11.00	12.25
0.25	11.34	11.97
0.1	11.54	11.79

With steps of 0.1 h, the water rises between 11.54 cm and 11.79 cm.

Vne

Ví dụ 1Nước trong một cái xô

Trời bắt đầu mưa lúc 1 giờ chiều. Một cái xô rỗng để ngoài trời bắt đầu đầy nước với tốc độ

r(t) = -\tfrac{1}{4}t^2 + 2t - \tfrac{1}{2} \text{ cm/h}, \qquad 1 \le t \le 5,

trong đó $t$ là số giờ sau 12 giờ trưa. Tìm cận dưới và cận trên của độ cao mà mực nước dâng lên từ 1 giờ đến 5 giờ chiều.

Hình P.1 · Tốc độ

r(t)

với

1 \le t \le 5

; các chấm ở các mốc giờ tròn

Tốc độ tăng từ $t = 1$ đến $t = 4$ và giảm từ $t = 4$ đến $t = 5$ .

Tại các mốc giờ tròn, $r(1) = 1.25$ , $r(2) = 2.50$ , $r(3) = 3.25$ , $r(4) = 3.50$ và $r(5) = 3.25$ .

Trên mỗi giờ, tìm tốc độ nhỏ nhất và lớn nhất:

Khoảng	Tốc độ nhỏ nhất	Tốc độ lớn nhất
1 đến 2	1.25	2.50
2 đến 3	2.50	3.25
3 đến 4	3.25	3.50
4 đến 5	3.25	3.50

Lấy $\Delta t = 1$ h.

Cận dưới $L$ và cận trên $U$ (đơn vị cm) là tổng của (tốc độ nhỏ nhất) × $\Delta t$ và của (tốc độ lớn nhất) × $\Delta t$ :

\begin{aligned} L &= 1.25 + 2.50 + 3.25 + 3.25 = 10.25 \\ U &= 2.50 + 3.25 + 3.50 + 3.50 = 12.75 \end{aligned}

Vậy mực nước dâng trong khoảng từ 10.25 cm đến 12.75 cm.

Các bước ngắn hơn thu hẹp khoảng này:

Bước (giờ)	Cận dưới L (cm)	Cận trên U (cm)
1	10.25	12.75
0.5	11.00	12.25
0.25	11.34	11.97
0.1	11.54	11.79

Với bước 0.1 h, mực nước dâng trong khoảng từ 11.54 cm đến 11.79 cm.

Example 2Bounds on the distance flown by a drone

A battery-powered drone can fly for four hours. Its horizontal velocity at time $t$ , measured in hours after take-off, is

v(t) = 24\cos\!\left(0.15\,t^{1.5}\right) \text{ km/h}, \qquad 0 \le t \le 4.

(a) Use only $v(0)$ and $v(4)$ to find bounds on the distance flown in 4 hours. (b) Use $v$ at 1, 2 and 3 hours to narrow the bounds. (c) Find the bounds with steps of 0.25 h and of 0.1 h.

Figure P.2 · The velocity

v(t)

for

0 \le t \le 4

; dots at whole hours

(a) The velocity decreases on $[0, 4]$ : the quantity $0.15t^{1.5}$ grows from $0$ to $1.2$ , which is less than $\dfrac{\pi}{2}$ , and cosine decreases there.

So the largest velocity is at the start and the smallest at the end.

We have $v(0) = 24$ km/h and $v(4) = 8.6966$ km/h, so with $\Delta t = 4$ h:

L = 4 \cdot 8.6966 = 34.79 \text{ km}, \qquad U = 4 \cdot 24 = 96.00 \text{ km}

(b) The values at whole hours are:

Hours t	0	1	2	3	4
v(t) (km/h)	24.00	23.73	21.87	17.07	8.70

Since $v$ decreases, the largest velocity on each hour is at its start and the smallest is at its end.

With $\Delta t = 1$ h:

\begin{aligned} U &= 24.00 + 23.73 + 21.87 + 17.07 = 86.67 \text{ km} \\ L &= 23.73 + 21.87 + 17.07 + 8.70 = 71.37 \text{ km} \end{aligned}

(c) The same rule with smaller steps gives:

Step (h)	Lower bound (km)	Upper bound (km)
4	34.79	96.00
1	71.37	86.67
0.5	75.83	83.48
0.25	77.90	81.73
0.1	79.09	80.62

With steps of 0.1 h, the distance is between 79.09 km and 80.62 km.

Vne

Ví dụ 2Cận quãng đường bay của một máy bay không người lái

Một máy bay không người lái chạy pin có thể bay trong bốn giờ. Vận tốc theo phương ngang tại thời điểm $t$ , tính bằng giờ sau khi cất cánh, là

v(t) = 24\cos\!\left(0.15\,t^{1.5}\right) \text{ km/h}, \qquad 0 \le t \le 4.

(a) Chỉ dùng $v(0)$ và $v(4)$ để tìm cận quãng đường bay trong 4 giờ. (b) Dùng $v$ tại 1, 2 và 3 giờ để thu hẹp các cận. (c) Tìm các cận với bước 0.25 h và 0.1 h.

Hình P.2 · Vận tốc

v(t)

với

0 \le t \le 4

; các chấm ở các mốc giờ tròn

(a) Vận tốc giảm trên $[0, 4]$ : đại lượng $0.15t^{1.5}$ tăng từ $0$ đến $1.2$ , nhỏ hơn $\dfrac{\pi}{2}$ , và hàm cosin giảm trên khoảng đó.

Vậy vận tốc lớn nhất ở đầu và nhỏ nhất ở cuối.

Ta có $v(0) = 24$ km/h và $v(4) = 8.6966$ km/h, nên với $\Delta t = 4$ h:

L = 4 \cdot 8.6966 = 34.79 \text{ km}, \qquad U = 4 \cdot 24 = 96.00 \text{ km}

(b) Các giá trị tại mốc giờ tròn là:

Giờ t	0	1	2	3	4
v(t) (km/giờ)	24.00	23.73	21.87	17.07	8.70

Vì $v$ giảm, vận tốc lớn nhất trên mỗi giờ ở đầu giờ và nhỏ nhất ở cuối giờ.

Với $\Delta t = 1$ h:

\begin{aligned} U &= 24.00 + 23.73 + 21.87 + 17.07 = 86.67 \text{ km} \\ L &= 23.73 + 21.87 + 17.07 + 8.70 = 71.37 \text{ km} \end{aligned}

(c) Cùng quy tắc với các bước nhỏ hơn cho:

Bước (giờ)	Cận dưới (km)	Cận trên (km)
4	34.79	96.00
1	71.37	86.67
0.5	75.83	83.48
0.25	77.90	81.73
0.1	79.09	80.62

Với bước 0.1 h, quãng đường nằm trong khoảng từ 79.09 km đến 80.62 km.

3Finding Velocity

Tìm vận tốc

Average Velocity

Vận tốc trung bình

Why not distance over time?

At a single moment no distance has been traveled and no time has elapsed. Distance divided by time then gives $\dfrac{0}{0}$ , which means nothing. So we look at short time intervals close to the moment.

Vne

Vì sao không chia quãng đường cho thời gian?

Tại một thời điểm, chưa có quãng đường nào đi được và chưa có thời gian nào trôi qua. Khi đó quãng đường chia cho thời gian cho ra $\dfrac{0}{0}$ , không có nghĩa. Vì vậy ta xét các khoảng thời gian ngắn gần thời điểm đó.

Definition · Average velocity

Let $s(t)$ be the position at time $t$ . For a time interval from $t_1$ to $t_2$ , the average velocity is

\dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}.

Vne

Định nghĩa · Vận tốc trung bình

Gọi $s(t)$ là vị trí tại thời điểm $t$ . Với khoảng thời gian từ $t_1$ đến $t_2$ , vận tốc trung bình là

\dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}.

Averages over intervals just before and just after a moment give bounds on the velocity at that moment. If the velocity is increasing near the moment, the average before the moment is a lower bound and the average after it is an upper bound. If the velocity is decreasing, the two roles swap.

Vne

Vận tốc trung bình trên các khoảng ngay trước và ngay sau một thời điểm cho ta các cận của vận tốc tại thời điểm đó. Nếu vận tốc tăng quanh thời điểm đó, thì trung bình trước thời điểm là cận dưới và trung bình sau thời điểm là cận trên. Nếu vận tốc giảm, hai vai trò đổi chỗ.

Check the direction first

Do not assume the average before a moment is always the lower bound. Look at whether the velocity increases or decreases around the moment before you choose.

Vne

Kiểm tra chiều trước

Đừng giả định rằng trung bình trước một thời điểm luôn là cận dưới. Hãy xem vận tốc tăng hay giảm quanh thời điểm đó trước khi chọn.

Example 3Speed of a rocket at one moment

A rocket's height above ground, in kilometers, $t$ seconds after lift-off, is

h(t) = 1500\left(1 - \dfrac{150\sin(t/150)}{t}\right), \qquad t > 0.

Let $v(60)$ be the velocity at 60 seconds. The heights at some times are:

Time t (s)	40	60	80
Height h(t) (km)	17.71	39.68	70.11

(a) Find the average velocity from 40 to 60 seconds and from 60 to 80 seconds. (b) Use these to bound $v(60)$ . (c) Narrow the bounds with 1-second intervals.

(a)

\dfrac{39.68 - 17.71}{60 - 40} = 1.10 \text{ km/s}, \qquad \dfrac{70.11 - 39.68}{80 - 60} = 1.52 \text{ km/s}

(b) The averages increase, so the rocket speeds up around 60 seconds.

The average before 60 s is below $v(60)$ and the average after 60 s is above it:

1.10 \le v(60) \le 1.52 \text{ km/s}

(c) Use the heights at 59, 60 and 61 seconds: $h(59) = 38.38$ km, $h(60) = 39.68$ km and $h(61) = 41.00$ km.

Interval (s)	Average velocity (km/s)	Side of v(60)
59 to 60	1.30	lower bound
60 to 61	1.32	upper bound

So $1.30 \le v(60) \le 1.32$ km/s.

The average from 59 to 61 seconds is $\dfrac{41.00 - 38.38}{2} = 1.31$ km/s.

It lies between the two bounds, so it is a good estimate of $v(60)$ , and its error is at most 0.02 km/s.

Vne

Ví dụ 3Vận tốc của tên lửa tại một thời điểm

Độ cao của một tên lửa so với mặt đất, tính bằng km, sau $t$ giây kể từ lúc phóng, là

h(t) = 1500\left(1 - \dfrac{150\sin(t/150)}{t}\right), \qquad t > 0.

Gọi $v(60)$ là vận tốc tại thời điểm 60 giây. Độ cao tại một số thời điểm là:

Thời gian t (s)	40	60	80
Độ cao h(t) (km)	17.71	39.68	70.11

(a) Tìm vận tốc trung bình từ 40 đến 60 giây và từ 60 đến 80 giây. (b) Dùng các giá trị này để chặn $v(60)$ . (c) Thu hẹp các cận bằng các khoảng 1 giây.

(a)

\dfrac{39.68 - 17.71}{60 - 40} = 1.10 \text{ km/s}, \qquad \dfrac{70.11 - 39.68}{80 - 60} = 1.52 \text{ km/s}

(b) Các vận tốc trung bình tăng, nên tên lửa tăng tốc quanh 60 giây.

Trung bình trước 60 giây nhỏ hơn $v(60)$ , còn trung bình sau 60 giây lớn hơn $v(60)$ :

1.10 \le v(60) \le 1.52 \text{ km/s}

(c) Dùng độ cao tại 59, 60 và 61 giây: $h(59) = 38.38$ km, $h(60) = 39.68$ km và $h(61) = 41.00$ km.

Khoảng (s)	Vận tốc trung bình (km/s)	Vai trò với v(60)
59 đến 60	1.30	cận dưới
60 đến 61	1.32	cận trên

Vậy $1.30 \le v(60) \le 1.32$ km/s.

Vận tốc trung bình từ 59 đến 61 giây là $\dfrac{41.00 - 38.38}{2} = 1.31$ km/s.

Giá trị này nằm giữa hai cận, nên là một ước lượng tốt của $v(60)$ , và sai số không quá 0.02 km/s.

Definition · Instantaneous velocity

If the averages over short intervals just before and just after a moment all get closer to one number, that number is the instantaneous velocity at that moment. It is the velocity at that single instant.

Vne

Định nghĩa · Vận tốc tức thời

Nếu các vận tốc trung bình trên những khoảng ngắn ngay trước và ngay sau một thời điểm đều tiến gần đến cùng một số, thì số đó là vận tốc tức thời tại thời điểm ấy. Đó là vận tốc tại đúng một thời điểm.