AP CalculusExercisesBài tập · 0.1 Home 0.2

LessonsBài giảngReviewÔn tậpExercisesBài tậpExamsĐề thi

0.1 Linear Functions Hàm số tuyến tính

Find the coordinate increments, $\Delta x$ and $\Delta y,$ from $A$ to $B.$ Tìm các số gia tọa độ, $\Delta x$ và $\Delta y,$ đi từ $A$ đến $B.$

QuestionCâu 1

A(2, -3),

B(-4, 1)

A(2, -3),

B(-4, 1)

Find the coordinate increments, $\Delta x$ and $\Delta y,$ from $A$ to $B$ : $A(2, -3),$ $B(-4, 1)$ .

Vne

Tìm các số gia tọa độ, $\Delta x$ và $\Delta y,$ đi từ $A$ đến $B$ : $A(2, -3),$ $B(-4, 1)$ .

\Delta x

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

\Delta x

= -6

\Delta y

\Delta y

= 4

Model solutionLời giải mẫu

$\Delta x = x_B - x_A = -4 - 2 = -6,$ $\Delta y = y_B - y_A = 1 - (-3) = 4.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 2

A(4, -2),

B(-5, -2)

A(4, -2),

B(-5, -2)

Find the coordinate increments, $\Delta x$ and $\Delta y,$ from $A$ to $B$ : $A(4, -2),$ $B(-5, -2)$ .

Vne

Tìm các số gia tọa độ, $\Delta x$ và $\Delta y,$ đi từ $A$ đến $B$ : $A(4, -2),$ $B(-5, -2)$ .

\Delta x

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

\Delta x

= -9

\Delta y

\Delta y

= 0

Model solutionLời giải mẫu

$\Delta x = x_B - x_A = -5 - 4 = -9,$ $\Delta y = y_B - y_A = -2 - (-2) = 0.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 3

A(0, -3),

B(0, 5)

A(0, -3),

B(0, 5)

Find the coordinate increments, $\Delta x$ and $\Delta y,$ from $A$ to $B$ : $A(0, -3),$ $B(0, 5)$ .

Vne

Tìm các số gia tọa độ, $\Delta x$ và $\Delta y,$ đi từ $A$ đến $B$ : $A(0, -3),$ $B(0, 5)$ .

\Delta x

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

\Delta x

= 0

\Delta y

\Delta y

= 8

Model solutionLời giải mẫu

$\Delta x = x_B - x_A = 0 - 0 = 0,$ $\Delta y = y_B - y_A = 5 - (-3) = 8.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

Let $L$ be the line determined by points $A$ and $B.$ (a) Plot $A$ and $B.$ (b) Find the slope of $L.$ (c) Draw the graph of $L.$ Cho $L$ là đường thẳng xác định bởi hai điểm $A$ và $B.$ (a) Vẽ hai điểm $A$ và $B.$ (b) Tìm hệ số góc của $L.$ (c) Vẽ đồ thị của $L.$

QuestionCâu 4

A(-2, -3),

B(1, 3)

A(-2, -3),

B(1, 3)

Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Let $L$ be the line determined by points $A$ and $B$ : $A(-2, -3),$ $B(1, 3)$ .

(a) Plot $A$ and $B.$ (b) Find the slope of $L.$ (c) Draw the graph of $L.$

Vne

Cho $L$ là đường thẳng xác định bởi hai điểm $A$ và $B$ : $A(-2, -3),$ $B(1, 3)$ .

(a) Vẽ hai điểm $A$ và $B.$ (b) Tìm hệ số góc của $L.$ (c) Vẽ đồ thị của $L.$

(b) Slope of

L

(b) Hệ số góc của

L

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.(b) Slope of

L

(b) Hệ số góc của

L

2

Model solutionLời giải mẫu

$\Delta x = x_B - x_A = 1 - (-2) = 3,$ $\Delta y = y_B - y_A = 3 - (-3) = 6.$

$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{3 - (-3)}{1 - (-2)} = \dfrac{6}{3} = 2.$

(a), (c) Plot the two points and draw the line through them. The line rises from left to right, which matches a positive slope.

$\Delta x = x_B - x_A = 1 - (-2) = 3,$ $\Delta y = y_B - y_A = 3 - (-3) = 6.$

$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{3 - (-3)}{1 - (-2)} = \dfrac{6}{3} = 2.$

(a), (c) Vẽ hai điểm rồi vẽ đường thẳng đi qua chúng. Đường thẳng đi lên từ trái sang phải, khớp với hệ số góc dương.

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 5

A(-3, 2),

B(2, 0)

A(-3, 2),

B(2, 0)

Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Let $L$ be the line determined by points $A$ and $B$ : $A(-3, 2),$ $B(2, 0)$ .

(a) Plot $A$ and $B.$ (b) Find the slope of $L.$ (c) Draw the graph of $L.$

Vne

Cho $L$ là đường thẳng xác định bởi hai điểm $A$ và $B$ : $A(-3, 2),$ $B(2, 0)$ .

(a) Vẽ hai điểm $A$ và $B.$ (b) Tìm hệ số góc của $L.$ (c) Vẽ đồ thị của $L.$

(b) Slope of

L

(b) Hệ số góc của

L

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.(b) Slope of

L

(b) Hệ số góc của

L

-\frac{2}{5}

Model solutionLời giải mẫu

$\Delta x = x_B - x_A = 2 - (-3) = 5,$ $\Delta y = y_B - y_A = 0 - 2 = -2.$

$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{0 - (2)}{2 - (-3)} = \dfrac{-2}{5} = -\frac{2}{5}.$

(a), (c) Plot the two points and draw the line through them. The line falls from left to right, which matches a negative slope.

$\Delta x = x_B - x_A = 2 - (-3) = 5,$ $\Delta y = y_B - y_A = 0 - 2 = -2.$

$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{0 - (2)}{2 - (-3)} = \dfrac{-2}{5} = -\frac{2}{5}.$

(a), (c) Vẽ hai điểm rồi vẽ đường thẳng đi qua chúng. Đường thẳng đi xuống từ trái sang phải, khớp với hệ số góc âm.

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 6

A(-4, 5),

B(3, 5)

A(-4, 5),

B(3, 5)

Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Let $L$ be the line determined by points $A$ and $B$ : $A(-4, 5),$ $B(3, 5)$ .

(a) Plot $A$ and $B.$ (b) Find the slope of $L.$ (c) Draw the graph of $L.$

Vne

Cho $L$ là đường thẳng xác định bởi hai điểm $A$ và $B$ : $A(-4, 5),$ $B(3, 5)$ .

(a) Vẽ hai điểm $A$ và $B.$ (b) Tìm hệ số góc của $L.$ (c) Vẽ đồ thị của $L.$

(b) Slope of

L

(b) Hệ số góc của

L

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.(b) Slope of

L

(b) Hệ số góc của

L

0

Model solutionLời giải mẫu

$\Delta x = x_B - x_A = 3 - (-4) = 7,$ $\Delta y = y_B - y_A = 5 - 5 = 0.$

$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{5 - (5)}{3 - (-4)} = \dfrac{0}{7} = 0.$

(a), (c) Plot the two points and draw the line through them. The line is horizontal, which matches a slope of $0.$

$\Delta x = x_B - x_A = 3 - (-4) = 7,$ $\Delta y = y_B - y_A = 5 - 5 = 0.$

$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{5 - (5)}{3 - (-4)} = \dfrac{0}{7} = 0.$

(a), (c) Vẽ hai điểm rồi vẽ đường thẳng đi qua chúng. Đường thẳng nằm ngang, khớp với hệ số góc $0.$

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 7

A(-2, 4),

B(-2, -1)

A(-2, 4),

B(-2, -1)

Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Let $L$ be the line determined by points $A$ and $B$ : $A(-2, 4),$ $B(-2, -1)$ .

(a) Plot $A$ and $B.$ (b) Find the slope of $L.$ (c) Draw the graph of $L.$

Vne

Cho $L$ là đường thẳng xác định bởi hai điểm $A$ và $B$ : $A(-2, 4),$ $B(-2, -1)$ .

(a) Vẽ hai điểm $A$ và $B.$ (b) Tìm hệ số góc của $L.$ (c) Vẽ đồ thị của $L.$

(b) Slope of

L

(b) Hệ số góc của

L

A number, a fraction like 3/4, or a decimal. Write “undefined” if there is no slope.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân. Viết “undefined” nếu không xác định.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal. Write “undefined” if there is no slope.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân. Viết “undefined” nếu không xác định.(b) Slope of

L

(b) Hệ số góc của

L

undefined

Model solutionLời giải mẫu

$\Delta x = x_B - x_A = -2 - (-2) = 0,$ $\Delta y = y_B - y_A = -1 - 4 = -5.$

$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-1 - (4)}{-2 - (-2)} = \dfrac{-5}{0},$ which is undefined. The line is vertical.

(a), (c) Plot the two points and draw the line through them. The line is vertical, which matches an undefined slope.

$\Delta x = x_B - x_A = -2 - (-2) = 0,$ $\Delta y = y_B - y_A = -1 - 4 = -5.$

$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-1 - (4)}{-2 - (-2)} = \dfrac{-5}{0},$ không xác định. Đường thẳng thẳng đứng.

(a), (c) Vẽ hai điểm rồi vẽ đường thẳng đi qua chúng. Đường thẳng thẳng đứng, khớp với hệ số góc không xác định.

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

You are given a point $P$ on a line with slope $m.$ Find the $y$ -coordinate of the point with the given $x$ -coordinate.Cho điểm $P$ nằm trên một đường thẳng có hệ số góc $m.$ Hãy tìm tung độ của điểm có hoành độ cho trước.

QuestionCâu 8

P(2, -1),

m = 3,

x = 3.5

P(2, -1),

m = 3,

x = 3.5

You are given a point $P$ on a line with slope $m.$ Find the $y$ -coordinate of the point with the given $x$ -coordinate: $P(2, -1),$ $m = 3,$ $x = 3.5$ .

Vne

Cho điểm $P$ nằm trên một đường thẳng có hệ số góc $m.$ Hãy tìm tung độ của điểm có hoành độ cho trước: $P(2, -1),$ $m = 3,$ $x = 3.5$ .

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

3.5

Model solutionLời giải mẫu

Point-slope equation through $P(2, -1)$ with slope $m = 3$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y + 1 &= 3(x - 2)\\ y &= 3x - 7\end{aligned}

Substitute $x = 3.5$ : $y = 3(3.5) - 7 = 3.5.$ Answer: $y = 3.5.$

Phương trình dạng điểm – hệ số góc của đường thẳng đi qua $P(2, -1)$ với hệ số góc $m = 3$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y + 1 &= 3(x - 2)\\ y &= 3x - 7\end{aligned}

Thay $x = 3.5$ : $y = 3(3.5) - 7 = 3.5.$ Đáp số: $y = 3.5.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 9

P(-3, 2),

m = 2,

x = 1

P(-3, 2),

m = 2,

x = 1

You are given a point $P$ on a line with slope $m.$ Find the $y$ -coordinate of the point with the given $x$ -coordinate: $P(-3, 2),$ $m = 2,$ $x = 1$ .

Vne

Cho điểm $P$ nằm trên một đường thẳng có hệ số góc $m.$ Hãy tìm tung độ của điểm có hoành độ cho trước: $P(-3, 2),$ $m = 2,$ $x = 1$ .

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

10

Model solutionLời giải mẫu

Point-slope equation through $P(-3, 2)$ with slope $m = 2$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 2 &= 2(x + 3)\\ y &= 2x + 8\end{aligned}

Substitute $x = 1$ : $y = 2(1) + 8 = 10.$ Answer: $y = 10.$

Phương trình dạng điểm – hệ số góc của đường thẳng đi qua $P(-3, 2)$ với hệ số góc $m = 2$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 2 &= 2(x + 3)\\ y &= 2x + 8\end{aligned}

Thay $x = 1$ : $y = 2(1) + 8 = 10.$ Đáp số: $y = 10.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 10

P(-2, 4),

m = -2,

x = 3

P(-2, 4),

m = -2,

x = 3

You are given a point $P$ on a line with slope $m.$ Find the $y$ -coordinate of the point with the given $x$ -coordinate: $P(-2, 4),$ $m = -2,$ $x = 3$ .

Vne

Cho điểm $P$ nằm trên một đường thẳng có hệ số góc $m.$ Hãy tìm tung độ của điểm có hoành độ cho trước: $P(-2, 4),$ $m = -2,$ $x = 3$ .

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

-6

Model solutionLời giải mẫu

Point-slope equation through $P(-2, 4)$ with slope $m = -2$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 4 &= -2(x + 2)\\ y &= -2x\end{aligned}

Substitute $x = 3$ : $y = -2(3) = -6.$ Answer: $y = -6.$

Phương trình dạng điểm – hệ số góc của đường thẳng đi qua $P(-2, 4)$ với hệ số góc $m = -2$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 4 &= -2(x + 2)\\ y &= -2x\end{aligned}

Thay $x = 3$ : $y = -2(3) = -6.$ Đáp số: $y = -6.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 11

P(-2, 3),

m = 0.4,

x = 1

P(-2, 3),

m = 0.4,

x = 1

You are given a point $P$ on a line with slope $m.$ Find the $y$ -coordinate of the point with the given $x$ -coordinate: $P(-2, 3),$ $m = 0.4,$ $x = 1$ .

Vne

Cho điểm $P$ nằm trên một đường thẳng có hệ số góc $m.$ Hãy tìm tung độ của điểm có hoành độ cho trước: $P(-2, 3),$ $m = 0.4,$ $x = 1$ .

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

4.2

Model solutionLời giải mẫu

Point-slope equation through $P(-2, 3)$ with slope $m = 0.4$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 3 &= 0.4(x + 2)\\ y &= 0.4x + 3.8\end{aligned}

Substitute $x = 1$ : $y = 0.4(1) + 3.8 = 4.2.$ Answer: $y = 4.2.$

Phương trình dạng điểm – hệ số góc của đường thẳng đi qua $P(-2, 3)$ với hệ số góc $m = 0.4$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 3 &= 0.4(x + 2)\\ y &= 0.4x + 3.8\end{aligned}

Thay $x = 1$ : $y = 0.4(1) + 3.8 = 4.2.$ Đáp số: $y = 4.2.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

The position $d$ of a bicyclist (measured in kilometers) is a linear function of time $t$ (measured in minutes). At time $t = 5$ minutes, the position is $d = 4$ km. If the bicyclist travels 3 km for every 5 minutes, find the position of the bicyclist at each time $t.$ Vị trí $d$ của một người đi xe đạp (tính bằng km) là hàm số bậc nhất của thời gian $t$ (tính bằng phút). Tại thời điểm $t = 5$ phút, vị trí là $d = 4$ km. Nếu người đó đi được 3 km sau mỗi 5 phút, hãy tìm vị trí của người đi xe đạp tại mỗi thời điểm $t.$

QuestionCâu 12

t = 12

minutes

t = 12

phút

Vne

Vị trí $d$ của một người đi xe đạp (tính bằng km) là hàm số bậc nhất của thời gian $t$ (tính bằng phút). Tại thời điểm $t = 5$ phút, vị trí là $d = 4$ km. Nếu người đó đi được 3 km sau mỗi 5 phút, hãy tìm vị trí của người đi xe đạp tại thời điểm $t = 12$ phút.

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

8.2

Model solutionLời giải mẫu

The bicyclist covers $3$ km every $5$ minutes, so the speed is:

m = \dfrac{3\ \text{km}}{5\ \text{min}} = 0.6\ \text{km/min}.

Through $(t_0, d_0) = (5, 4),$ the position at time $t$ is:

\begin{aligned}d - d_0 &= m(t - t_0)\\ d - 4 &= 0.6(t - 5)\\ d &= 0.6t + 1\end{aligned}

Substitute $t = 12$ : $d = 0.6(12) + 1 = 8.2.$

Answer: at $t = 12$ minutes, $d = 8.2$ km.

Người đi xe đạp đi được $3$ km sau mỗi $5$ phút, nên tốc độ là:

m = \dfrac{3\ \text{km}}{5\ \text{min}} = 0.6\ \text{km/min}.

Đi qua $(t_0, d_0) = (5, 4),$ vị trí tại thời điểm $t$ là:

\begin{aligned}d - d_0 &= m(t - t_0)\\ d - 4 &= 0.6(t - 5)\\ d &= 0.6t + 1\end{aligned}

Thay $t = 12$ : $d = 0.6(12) + 1 = 8.2.$

Đáp án: tại $t = 12$ phút, $d = 8.2$ km.

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 13

t = 2

minutes

t = 2

phút

Vne

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

2.2

Model solutionLời giải mẫu

The bicyclist covers $3$ km every $5$ minutes, so the speed is:

m = \dfrac{3\ \text{km}}{5\ \text{min}} = 0.6\ \text{km/min}.

Through $(t_0, d_0) = (5, 4),$ the position at time $t$ is:

\begin{aligned}d - d_0 &= m(t - t_0)\\ d - 4 &= 0.6(t - 5)\\ d &= 0.6t + 1\end{aligned}

Substitute $t = 2$ : $d = 0.6(2) + 1 = 2.2.$

Answer: at $t = 2$ minutes, $d = 2.2$ km.

Người đi xe đạp đi được $3$ km sau mỗi $5$ phút, nên tốc độ là:

m = \dfrac{3\ \text{km}}{5\ \text{min}} = 0.6\ \text{km/min}.

Đi qua $(t_0, d_0) = (5, 4),$ vị trí tại thời điểm $t$ là:

\begin{aligned}d - d_0 &= m(t - t_0)\\ d - 4 &= 0.6(t - 5)\\ d &= 0.6t + 1\end{aligned}

Thay $t = 2$ : $d = 0.6(2) + 1 = 2.2.$

Đáp án: tại $t = 2$ phút, $d = 2.2$ km.

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 14

t = 18

minutes

t = 18

phút

Vne

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

11.8

Model solutionLời giải mẫu

The bicyclist covers $3$ km every $5$ minutes, so the speed is:

m = \dfrac{3\ \text{km}}{5\ \text{min}} = 0.6\ \text{km/min}.

Through $(t_0, d_0) = (5, 4),$ the position at time $t$ is:

\begin{aligned}d - d_0 &= m(t - t_0)\\ d - 4 &= 0.6(t - 5)\\ d &= 0.6t + 1\end{aligned}

Substitute $t = 18$ : $d = 0.6(18) + 1 = 11.8.$

Answer: at $t = 18$ minutes, $d = 11.8$ km.

Người đi xe đạp đi được $3$ km sau mỗi $5$ phút, nên tốc độ là:

m = \dfrac{3\ \text{km}}{5\ \text{min}} = 0.6\ \text{km/min}.

Đi qua $(t_0, d_0) = (5, 4),$ vị trí tại thời điểm $t$ là:

\begin{aligned}d - d_0 &= m(t - t_0)\\ d - 4 &= 0.6(t - 5)\\ d &= 0.6t + 1\end{aligned}

Thay $t = 18$ : $d = 0.6(18) + 1 = 11.8.$

Đáp án: tại $t = 18$ phút, $d = 11.8$ km.

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 15Find a linear equation that describes the position

d

of the bicyclist as a function of time

t.

Hãy tìm một phương trình bậc nhất mô tả vị trí

d

của người đi xe đạp như một hàm số của thời gian

t.

Vne

Vị trí $d$ của một người đi xe đạp (tính bằng km) là hàm số bậc nhất của thời gian $t$ (tính bằng phút). Tại thời điểm $t = 5$ phút, vị trí là $d = 4$ km. Nếu người đó đi được 3 km sau mỗi 5 phút, hãy tìm một phương trình bậc nhất mô tả vị trí $d$ của người đi xe đạp như một hàm số của thời gian $t.$

An equation in t and d, like d = 2t + 3. Any equivalent form is accepted.Một phương trình theo t và d, ví dụ d = 2t + 3. Mọi dạng tương đương đều được chấp nhận.iAn equation in t and d, like d = 2t + 3. Any equivalent form is accepted.Một phương trình theo t và d, ví dụ d = 2t + 3. Mọi dạng tương đương đều được chấp nhận.

d = 0.6t + 1

Model solutionLời giải mẫu

The position changes by $3$ km every $5$ minutes, so the speed is:

m = \dfrac{3\ \text{km}}{5\ \text{min}} = 0.6\ \text{km/min}.

Through $(t_0, d_0) = (5, 4),$ the position at time $t$ is:

\begin{aligned}d - d_0 &= m(t - t_0)\\ d - 4 &= 0.6(t - 5)\\ d &= 0.6t + 1\end{aligned}

Answer: $d = 0.6t + 1$ ( $d$ in km, $t$ in minutes).

Vị trí thay đổi $3$ km sau mỗi $5$ phút, nên tốc độ là:

m = \dfrac{3\ \text{km}}{5\ \text{min}} = 0.6\ \text{km/min}.

Đi qua $(t_0, d_0) = (5, 4),$ vị trí tại thời điểm $t$ là:

\begin{aligned}d - d_0 &= m(t - t_0)\\ d - 4 &= 0.6(t - 5)\\ d &= 0.6t + 1\end{aligned}

Đáp án: $d = 0.6t + 1$ ( $d$ tính bằng km, $t$ tính bằng phút).

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 16Club Fees. A tennis club charges a monthly fee of $50 and a rate of $15 for each half-hour of court time. Find a linear equation that gives the total monthly fee

F

for a club member who accumulates

t

hours of court time during the month.Phí câu lạc bộ. Một câu lạc bộ tennis thu phí hằng tháng $50 và $15 cho mỗi nửa giờ sử dụng sân. Hãy tìm một phương trình bậc nhất cho tổng phí hằng tháng

F

của một hội viên có tổng cộng

t

giờ sử dụng sân trong tháng.

Club Fees. A tennis club charges a monthly fee of $50 and a rate of $15 for each half-hour of court time. Find a linear equation that gives the total monthly fee $F$ for a club member who accumulates $t$ hours of court time during the month.

Vne

Phí câu lạc bộ. Một câu lạc bộ tennis thu phí hằng tháng $50 và $15 cho mỗi nửa giờ sử dụng sân. Hãy tìm một phương trình bậc nhất cho tổng phí hằng tháng $F$ của một hội viên có tổng cộng $t$ giờ sử dụng sân trong tháng.

An equation in t and F, like F = 2t + 3. Any equivalent form is accepted.Một phương trình theo t và F, ví dụ F = 2t + 3. Mọi dạng tương đương đều được chấp nhận.iAn equation in t and F, like F = 2t + 3. Any equivalent form is accepted.Một phương trình theo t và F, ví dụ F = 2t + 3. Mọi dạng tương đương đều được chấp nhận.

F = 30t + 50

Model solutionLời giải mẫu

The fee is a fixed part plus a part that grows with the time played.

Fixed part: $50 each month, whatever the court time.

Court time: each half-hour costs $15, so each hour costs $2 \cdot 15 = 30$ dollars. For $t$ hours that is $30t$ dollars.

Total fee: $F = 50 + 30t,$ that is $F = 30t + 50.$

Answer: $F = 30t + 50$ ( $F$ in dollars, $t$ in hours).

Phí gồm một phần cố định cộng với một phần tăng theo thời gian chơi.

Phần cố định: $50 mỗi tháng, dù chơi bao nhiêu giờ.

Tiền sân: mỗi nửa giờ tốn $15, nên mỗi giờ tốn $2 \cdot 15 = 30$ đô la. Với $t$ giờ thì tốn $30t$ đô la.

Tổng phí: $F = 50 + 30t,$ tức là $F = 30t + 50.$

Đáp án: $F = 30t + 50$ ( $F$ tính bằng đô la, $t$ tính bằng giờ).

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

Write the point-slope equation for the line through the point $P$ with slope $m.$ Viết phương trình điểm-hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm $P$ với hệ số góc $m.$

QuestionCâu 17

P(2, -1),

m = 3

P(2, -1),

m = 3

Write the point-slope equation for the line through the point $P$ with slope $m$ : $P(2, -1),$ $m = 3$ .

Vne

Viết phương trình điểm-hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm $P$ với hệ số góc $m$ : $P(2, -1),$ $m = 3$ .

An equation in x and y, like y = 2x + 3. Any equivalent form is accepted.Một phương trình theo x và y, ví dụ y = 2x + 3. Mọi dạng tương đương đều được chấp nhận.iAn equation in x and y, like y = 2x + 3. Any equivalent form is accepted.Một phương trình theo x và y, ví dụ y = 2x + 3. Mọi dạng tương đương đều được chấp nhận.

y + 1 = 3(x - 2)

Model solutionLời giải mẫu

Point-slope equation through $P(2, -1)$ with slope $m = 3$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - (-1) &= 3(x - 2)\\ y + 1 &= 3(x - 2)\end{aligned}

Answer: $y + 1 = 3(x - 2).$

Phương trình dạng điểm – hệ số góc của đường thẳng đi qua $P(2, -1)$ với hệ số góc $m = 3$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - (-1) &= 3(x - 2)\\ y + 1 &= 3(x - 2)\end{aligned}

Đáp án: $y + 1 = 3(x - 2).$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 18

P(-3, 2),

m = -1

P(-3, 2),

m = -1

Write the point-slope equation for the line through the point $P$ with slope $m$ : $P(-3, 2),$ $m = -1$ .

Vne

Viết phương trình điểm-hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm $P$ với hệ số góc $m$ : $P(-3, 2),$ $m = -1$ .

y - 2 = -(x + 3)

Model solutionLời giải mẫu

Point-slope equation through $P(-3, 2)$ with slope $m = -1$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 2 &= -1\bigl(x - (-3)\bigr)\\ y - 2 &= -(x + 3)\end{aligned}

Answer: $y - 2 = -(x + 3).$

Phương trình dạng điểm – hệ số góc của đường thẳng đi qua $P(-3, 2)$ với hệ số góc $m = -1$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 2 &= -1\bigl(x - (-3)\bigr)\\ y - 2 &= -(x + 3)\end{aligned}

Đáp án: $y - 2 = -(x + 3).$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 19

P(0, -4),

m = 3

P(0, -4),

m = 3

Write the point-slope equation for the line through the point $P$ with slope $m$ : $P(0, -4),$ $m = 3$ .

Vne

Viết phương trình điểm-hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm $P$ với hệ số góc $m$ : $P(0, -4),$ $m = 3$ .

y + 4 = 3(x - 0)

Model solutionLời giải mẫu

Point-slope equation through $P(0, -4)$ with slope $m = 3$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - (-4) &= 3(x - 0)\\ y + 4 &= 3x\end{aligned}

Answer: $y + 4 = 3x.$

Phương trình dạng điểm – hệ số góc của đường thẳng đi qua $P(0, -4)$ với hệ số góc $m = 3$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - (-4) &= 3(x - 0)\\ y + 4 &= 3x\end{aligned}

Đáp án: $y + 4 = 3x.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 20

P(-6, 0),

m = -3

P(-6, 0),

m = -3

Write the point-slope equation for the line through the point $P$ with slope $m$ : $P(-6, 0),$ $m = -3$ .

Vne

Viết phương trình điểm-hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm $P$ với hệ số góc $m$ : $P(-6, 0),$ $m = -3$ .

y - 0 = -3(x + 6)

Model solutionLời giải mẫu

Point-slope equation through $P(-6, 0)$ with slope $m = -3$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 0 &= -3\bigl(x - (-6)\bigr)\\ y &= -3(x + 6)\end{aligned}

Answer: $y = -3(x + 6).$

Phương trình dạng điểm – hệ số góc của đường thẳng đi qua $P(-6, 0)$ với hệ số góc $m = -3$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 0 &= -3\bigl(x - (-6)\bigr)\\ y &= -3(x + 6)\end{aligned}

Đáp án: $y = -3(x + 6).$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

The line contains the origin and the point in the upper right corner of the grapher screen. Write an equation for the line.Đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm ở góc trên bên phải của màn hình của máy vẽ đồ thị (grapher). Hãy viết một phương trình cho đường thẳng.

Window $[a, b]$ by $[c, d]$ : the screen shows $x$ from $a$ to $b$ and $y$ from $c$ to $d.$ Ký hiệu $[a, b]$ by $[c, d]$ (cửa sổ, window): màn hình hiển thị $x$ từ $a$ đến $b$ và $y$ từ $c$ đến $d.$

QuestionCâu 21Window

[-4, 4]

[-14, 14]

Cửa sổ:

x

từ

-4

đến

4

;

y

từ

-14

đến

14

The line contains the origin and the point in the upper right corner of the grapher screen. Write an equation for the line.

Window $[a, b]$ by $[c, d]$ : the screen shows

x

from

a

b

and

y

from

c

d.

Vne

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm ở góc trên bên phải của màn hình của máy vẽ đồ thị (grapher). Hãy viết một phương trình cho đường thẳng.

Ký hiệu $[a, b]$ by $[c, d]$ (cửa sổ, window): màn hình hiển thị

x

từ

a

đến

b

và

y

từ

c

đến

d.

y = 3.5x

Model solutionLời giải mẫu

The upper right corner of the window is the point $(4, 14).$ The slope of the line through the origin $(0, 0)$ and this point is:

m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{14 - 0}{4 - 0} = 3.5.

Point-slope equation through the origin:

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 0 &= 3.5(x - 0)\\ y &= 3.5x\end{aligned}

Answer: $y = 3.5x.$

Góc trên bên phải của cửa sổ là điểm $(4, 14).$ Hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ $(0, 0)$ và điểm này là:

m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{14 - 0}{4 - 0} = 3.5.

Phương trình dạng điểm – hệ số góc đi qua gốc tọa độ:

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 0 &= 3.5(x - 0)\\ y &= 3.5x\end{aligned}

Đáp án: $y = 3.5x.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 22Window

[-5, 5]

[-3, 3]

Cửa sổ:

x

từ

-5

đến

5

;

y

từ

-3

đến

3

The line contains the origin and the point in the upper right corner of the grapher screen. Write an equation for the line.

Window $[a, b]$ by $[c, d]$ : the screen shows

x

from

a

b

and

y

from

c

d.

Vne

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm ở góc trên bên phải của màn hình của máy vẽ đồ thị (grapher). Hãy viết một phương trình cho đường thẳng.

Ký hiệu $[a, b]$ by $[c, d]$ (cửa sổ, window): màn hình hiển thị

x

từ

a

đến

b

và

y

từ

c

đến

d.

y = 0.6x

Model solutionLời giải mẫu

The upper right corner of the window is the point $(5, 3).$ The slope of the line through the origin $(0, 0)$ and this point is:

m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{3 - 0}{5 - 0} = 0.6.

Point-slope equation through the origin:

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 0 &= 0.6(x - 0)\\ y &= 0.6x\end{aligned}

Answer: $y = 0.6x.$

Góc trên bên phải của cửa sổ là điểm $(5, 3).$ Hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ $(0, 0)$ và điểm này là:

m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{3 - 0}{5 - 0} = 0.6.

Phương trình dạng điểm – hệ số góc đi qua gốc tọa độ:

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 0 &= 0.6(x - 0)\\ y &= 0.6x\end{aligned}

Đáp án: $y = 0.6x.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

Find the (a) slope and (b) $y$ -intercept, and (c) graph the line.Tìm (a) hệ số góc và (b) tung độ gốc, và (c) vẽ đồ thị của đường thẳng.

QuestionCâu 23

3x + 2y = 12

3x + 2y = 12

Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Find the (a) slope and (b) $y$ -intercept, and (c) graph the line: $3x + 2y = 12.$

Vne

Tìm (a) hệ số góc và (b) tung độ gốc, và (c) vẽ đồ thị của đường thẳng: $3x + 2y = 12.$

(a) Slope(a) Hệ số góc

m

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.(a) Slope(a) Hệ số góc

m

= -\frac{3}{2}

(b)

y

-intercept(b) Tung độ gốc

b

(b)

y

-intercept(b) Tung độ gốc

b

= 6

Model solutionLời giải mẫu

Rewriting the equation in the form $y = mx + b,$ we have:

\begin{aligned}3x + 2y &= 12\\ 2y &= -3x + 12\\ y &= -\dfrac{3}{2}x + 6\end{aligned}

So the slope is $m = -\dfrac{3}{2}$ and the $y$ -intercept is $b = 6,$ that is the point $(0, 6).$

(c) Plot the $y$ -intercept $(0, 6),$ then go right 2 and down 3 to reach $(2, 3),$ and draw the line through the two points.

Biến đổi phương trình về dạng $y = mx + b,$ ta có:

\begin{aligned}3x + 2y &= 12\\ 2y &= -3x + 12\\ y &= -\dfrac{3}{2}x + 6\end{aligned}

Vậy hệ số góc là $m = -\dfrac{3}{2}$ và tung độ gốc là $b = 6,$ tức là điểm $(0, 6).$

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 24

x + y = 7

x + y = 7

Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Find the (a) slope and (b) $y$ -intercept, and (c) graph the line: $x + y = 7.$

Vne

Tìm (a) hệ số góc và (b) tung độ gốc, và (c) vẽ đồ thị của đường thẳng: $x + y = 7.$

(a) Slope(a) Hệ số góc

m

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.(a) Slope(a) Hệ số góc

m

= -1

(b)

y

-intercept(b) Tung độ gốc

b

(b)

y

-intercept(b) Tung độ gốc

b

= 7

Model solutionLời giải mẫu

Rewriting the equation in the form $y = mx + b,$ we have:

\begin{aligned}x + y &= 7\\ y &= -x + 7\end{aligned}

So the slope is $m = -1$ and the $y$ -intercept is $b = 7,$ that is the point $(0, 7).$

(c) Plot the $y$ -intercept $(0, 7),$ then go right 1 and down 1 to reach $(1, 6),$ and draw the line through the two points.

Biến đổi phương trình về dạng $y = mx + b,$ ta có:

\begin{aligned}x + y &= 7\\ y &= -x + 7\end{aligned}

Vậy hệ số góc là $m = -1$ và tung độ gốc là $b = 7,$ tức là điểm $(0, 7).$

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 25

\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 1

\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 1

Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Find the (a) slope and (b) $y$ -intercept, and (c) graph the line: $\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 1.$

Vne

Tìm (a) hệ số góc và (b) tung độ gốc, và (c) vẽ đồ thị của đường thẳng: $\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 1.$

(a) Slope(a) Hệ số góc

m

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.(a) Slope(a) Hệ số góc

m

= -\frac{3}{4}

(b)

y

-intercept(b) Tung độ gốc

b

(b)

y

-intercept(b) Tung độ gốc

b

= 3

Model solutionLời giải mẫu

Rewriting the equation in the form $y = mx + b,$ we have:

\begin{aligned}\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} &= 1\\ 3x + 4y &= 12\\ 4y &= -3x + 12\\ y &= -\dfrac{3}{4}x + 3\end{aligned}

So the slope is $m = -\dfrac{3}{4}$ and the $y$ -intercept is $b = 3,$ that is the point $(0, 3).$

(c) Plot the $y$ -intercept $(0, 3),$ then go right 4 and down 3 to reach $(4, 0),$ and draw the line through the two points.

Biến đổi phương trình về dạng $y = mx + b,$ ta có:

\begin{aligned}\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} &= 1\\ 3x + 4y &= 12\\ 4y &= -3x + 12\\ y &= -\dfrac{3}{4}x + 3\end{aligned}

Vậy hệ số góc là $m = -\dfrac{3}{4}$ và tung độ gốc là $b = 3,$ tức là điểm $(0, 3).$

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 26

y = 3x - 2

y = 3x - 2

Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Find the (a) slope and (b) $y$ -intercept, and (c) graph the line: $y = 3x - 2.$

Vne

Tìm (a) hệ số góc và (b) tung độ gốc, và (c) vẽ đồ thị của đường thẳng: $y = 3x - 2.$

(a) Slope(a) Hệ số góc

m

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.(a) Slope(a) Hệ số góc

m

= 3

(b)

y

-intercept(b) Tung độ gốc

b

(b)

y

-intercept(b) Tung độ gốc

b

= -2

Model solutionLời giải mẫu

The equation is already in the form $y = mx + b$ :

\begin{aligned}y &= 3x - 2\end{aligned}

So the slope is $m = 3$ and the $y$ -intercept is $b = -2,$ that is the point $(0, -2).$

(c) Plot the $y$ -intercept $(0, -2),$ then go right 1 and up 3 to reach $(1, 1),$ and draw the line through the two points.

Phương trình đã có dạng $y = mx + b$ :

\begin{aligned}y &= 3x - 2\end{aligned}

Vậy hệ số góc là $m = 3$ và tung độ gốc là $b = -2,$ tức là điểm $(0, -2).$

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

Write an equation for the line through $P$ that is (a) parallel to $L$ and (b) perpendicular to $L.$ Viết phương trình của đường thẳng đi qua $P$ mà (a) song song với $L$ và (b) vuông góc với $L.$

QuestionCâu 27

P(0, 0),

L

y = -2x + 3

P(0, 0),

L

y = -2x + 3

Write an equation for the line through $P$ that is (a) parallel to $L$ and (b) perpendicular to $L$ : $P(0, 0),$ $L$ : $y = -2x + 3$ .

Vne

Viết phương trình của đường thẳng đi qua $P$ mà (a) song song với $L$ và (b) vuông góc với $L$ : $P(0, 0),$ $L$ : $y = -2x + 3$ .

(a) parallel(a) song song

y = -2x

(b) perpendicular(b) vuông góc

y = \tfrac{1}{2}x

Model solutionLời giải mẫu

The slope of $L$ is $m_L = -2.$

(a) A parallel line has the same slope, $m = -2$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y &= -2x\end{aligned}

(b) A perpendicular line has slope $m = -\dfrac{1}{m_L} = \dfrac{1}{2}$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y &= \dfrac{1}{2}x\end{aligned}

Hệ số góc của $L$ là $m_L = -2.$

(a) Đường song song có cùng hệ số góc $m = -2$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y &= -2x\end{aligned}

(b) Đường vuông góc có hệ số góc $m = -\dfrac{1}{m_L} = \dfrac{1}{2}$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y &= \dfrac{1}{2}x\end{aligned}

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 28

P(3, -1),

L

3x + y = 5

P(3, -1),

L

3x + y = 5

Write an equation for the line through $P$ that is (a) parallel to $L$ and (b) perpendicular to $L$ : $P(3, -1),$ $L$ : $3x + y = 5$ .

Vne

Viết phương trình của đường thẳng đi qua $P$ mà (a) song song với $L$ và (b) vuông góc với $L$ : $P(3, -1),$ $L$ : $3x + y = 5$ .

(a) parallel(a) song song

y = -3x + 8

(b) perpendicular(b) vuông góc

y = \frac{1}{3}x - 2

Model solutionLời giải mẫu

Rewriting the equation of $L$ in the form $y = mx + b,$ we have:

\begin{aligned}3x + y &= 5\\ y &= -3x + 5\end{aligned}

So $m_L = -3.$

(a) A parallel line has the same slope, $m = -3$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y + 1 &= -3(x - 3)\\ y &= -3x + 8\end{aligned}

(b) A perpendicular line has slope $m = -\dfrac{1}{m_L} = \dfrac{1}{3}$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y + 1 &= \dfrac{1}{3}(x - 3)\\ y &= \dfrac{1}{3}x - 2\end{aligned}

Biến đổi phương trình của $L$ về dạng $y = mx + b,$ ta có:

\begin{aligned}3x + y &= 5\\ y &= -3x + 5\end{aligned}

Vậy $m_L = -3.$

(a) Đường song song có cùng hệ số góc $m = -3$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y + 1 &= -3(x - 3)\\ y &= -3x + 8\end{aligned}

(b) Đường vuông góc có hệ số góc $m = -\dfrac{1}{m_L} = \dfrac{1}{3}$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y + 1 &= \dfrac{1}{3}(x - 3)\\ y &= \dfrac{1}{3}x - 2\end{aligned}

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 29

P(3, -2),

L

x = -4

P(3, -2),

L

x = -4

Write an equation for the line through $P$ that is (a) parallel to $L$ and (b) perpendicular to $L$ : $P(3, -2),$ $L$ : $x = -4$ .

Vne

Viết phương trình của đường thẳng đi qua $P$ mà (a) song song với $L$ và (b) vuông góc với $L$ : $P(3, -2),$ $L$ : $x = -4$ .

(a) parallel(a) song song

x = 3

(b) perpendicular(b) vuông góc

y = -2

Model solutionLời giải mẫu

a) $L$ is the vertical line $x = -4,$ so a line parallel to $L$ has the equation $x = x_0.$ This line passes through $P(x_0, y_0) = P(3, -2),$ so its equation is $x = 3.$

b) $L$ is the vertical line $x = -4,$ so a line perpendicular to $L$ is a horizontal line and has the equation $y = y_0.$ This line passes through $P(x_0, y_0) = P(3, -2),$ so its equation is $y = -2.$

a) $L$ là đường thẳng đứng có phương trình $x = -4,$ nên đường thẳng song song với $L$ sẽ có phương trình là $x = x_0.$ Đường thẳng này đi qua điểm $P(x_0, y_0) = P(3, -2)$ nên có phương trình là $x = 3.$

b) $L$ là đường thẳng đứng có phương trình $x = -4,$ nên đường thẳng vuông góc với $L$ là đường nằm ngang, sẽ có phương trình là $y = y_0.$ Đường thẳng này đi qua điểm $P(x_0, y_0) = P(3, -2)$ nên có phương trình là $y = -2.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 30

P(2, 3/2),

L

y = -2

P(2, 3/2),

L

y = -2

Write an equation for the line through $P$ that is (a) parallel to $L$ and (b) perpendicular to $L$ : $P(2, 3/2),$ $L$ : $y = -2$ .

Vne

Viết phương trình của đường thẳng đi qua $P$ mà (a) song song với $L$ và (b) vuông góc với $L$ : $P(2, 3/2),$ $L$ : $y = -2$ .

(a) parallel(a) song song

y = \tfrac{3}{2}

(b) perpendicular(b) vuông góc

x = 2

Model solutionLời giải mẫu

a) $L$ is the horizontal line $y = -2,$ so a line parallel to $L$ has the equation $y = y_0.$ This line passes through $P(x_0, y_0) = P\left(2, \dfrac{3}{2}\right),$ so its equation is $y = \dfrac{3}{2}.$

b) $L$ is the horizontal line $y = -2,$ so a line perpendicular to $L$ is a vertical line and has the equation $x = x_0.$ This line passes through $P(x_0, y_0) = P\left(2, \dfrac{3}{2}\right),$ so its equation is $x = 2.$

a) $L$ là đường thẳng nằm ngang có phương trình $y = -2,$ nên đường thẳng song song với $L$ sẽ có phương trình là $y = y_0.$ Đường thẳng này đi qua điểm $P(x_0, y_0) = P\left(2, \dfrac{3}{2}\right)$ nên có phương trình là $y = \dfrac{3}{2}.$

b) $L$ là đường thẳng nằm ngang có phương trình $y = -2,$ nên đường thẳng vuông góc với $L$ là đường thẳng đứng, sẽ có phương trình là $x = x_0.$ Đường thẳng này đi qua điểm $P(x_0, y_0) = P\left(2, \dfrac{3}{2}\right)$ nên có phương trình là $x = 2.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

Find the unique pair $(x, y)$ that satisfies both equations simultaneously.Tìm cặp $(x, y)$ duy nhất thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình.

QuestionCâu 31

x - 3y = 14

and

2x + y = 7

x - 3y = 14

và

2x + y = 7

Find the unique pair $(x, y)$ that satisfies both equations simultaneously: $x - 3y = 14$ and $2x + y = 7.$

Vne

Tìm cặp $(x, y)$ duy nhất thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình: $x - 3y = 14$ và $2x + y = 7.$

A point like (2, -1).Một điểm dạng (2, -1).

iA point like (2, -1).Một điểm dạng (2, -1).

(5, -3)

Model solutionLời giải mẫu

(1) $x - 3y = 14,$ (2) $2x + y = 7.$

Method: substitution. The coefficient of $x$ in (1) is $1,$ so solve (1) for $x$ : $x = 14 + 3y$ (3). Substitute (3) into (2):

\begin{aligned}2(14 + 3y) + y &= 7\\ 28 + 7y &= 7\\ y &= -3\end{aligned}

Put $y = -3$ into (3): $x = 14 + 3(-3) = 5.$ Answer: $(5, -3).$

(1) $x - 3y = 14,$ (2) $2x + y = 7.$

Phương pháp thế. Hệ số của $x$ trong (1) bằng $1,$ nên rút $x$ từ (1): $x = 14 + 3y$ (3). Thế (3) vào (2):

\begin{aligned}2(14 + 3y) + y &= 7\\ 28 + 7y &= 7\\ y &= -3\end{aligned}

Thay $y = -3$ vào (3): $x = 14 + 3(-3) = 5.$ Đáp án: $(5, -3).$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 32

3x + y = 11

and

5x - y = 13

3x + y = 11

và

5x - y = 13

Find the unique pair $(x, y)$ that satisfies both equations simultaneously: $3x + y = 11$ and $5x - y = 13.$

Vne

Tìm cặp $(x, y)$ duy nhất thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình: $3x + y = 11$ và $5x - y = 13.$

A point like (2, -1).Một điểm dạng (2, -1).

iA point like (2, -1).Một điểm dạng (2, -1).

(3, 2)

Model solutionLời giải mẫu

(1) $3x + y = 11,$ (2) $5x - y = 13.$

Method: elimination. The coefficients of $y$ are opposite ( $1$ and $-1$ ), so add (1) and (2) to eliminate $y$ :

\begin{aligned}(3x + y) + (5x - y) &= 11 + 13\\ 8x &= 24\\ x &= 3\end{aligned}

Put $x = 3$ into (1): $3(3) + y = 11,$ so $y = 2.$ Answer: $(3, 2).$

(1) $3x + y = 11,$ (2) $5x - y = 13.$

Phương pháp cộng đại số. Hệ số của $y$ đối nhau ( $1$ và $-1$ ), nên cộng (1) với (2) để khử $y$ :

\begin{aligned}(3x + y) + (5x - y) &= 11 + 13\\ 8x &= 24\\ x &= 3\end{aligned}

Thay $x = 3$ vào (1): $3(3) + y = 11,$ nên $y = 2.$ Đáp án: $(3, 2).$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 33

15x + 4y = -10

and

-3x + y = 11

15x + 4y = -10

và

-3x + y = 11

Find the unique pair $(x, y)$ that satisfies both equations simultaneously: $15x + 4y = -10$ and $-3x + y = 11.$

Vne

Tìm cặp $(x, y)$ duy nhất thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình: $15x + 4y = -10$ và $-3x + y = 11.$

A point like (2, -1).Một điểm dạng (2, -1).

iA point like (2, -1).Một điểm dạng (2, -1).

(-2, 5)

Model solutionLời giải mẫu

(1) $15x + 4y = -10,$ (2) $-3x + y = 11.$

Method: substitution. The coefficient of $y$ in (2) is $1,$ so solve (2) for $y$ : $y = 3x + 11$ (3). Substitute (3) into (1):

\begin{aligned}15x + 4(3x + 11) &= -10\\ 27x + 44 &= -10\\ x &= -2\end{aligned}

Put $x = -2$ into (3): $y = 3(-2) + 11 = 5.$ Answer: $(-2, 5).$

(1) $15x + 4y = -10,$ (2) $-3x + y = 11.$

Phương pháp thế. Hệ số của $y$ trong (2) bằng $1,$ nên rút $y$ từ (2): $y = 3x + 11$ (3). Thế (3) vào (1):

\begin{aligned}15x + 4(3x + 11) &= -10\\ 27x + 44 &= -10\\ x &= -2\end{aligned}

Thay $x = -2$ vào (3): $y = 3(-2) + 11 = 5.$ Đáp án: $(-2, 5).$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 34

-4x + 3y = 0

and

5x + y = 38

-4x + 3y = 0

và

5x + y = 38

Find the unique pair $(x, y)$ that satisfies both equations simultaneously: $-4x + 3y = 0$ and $5x + y = 38.$

Vne

Tìm cặp $(x, y)$ duy nhất thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình: $-4x + 3y = 0$ và $5x + y = 38.$

A point like (2, -1).Một điểm dạng (2, -1).

iA point like (2, -1).Một điểm dạng (2, -1).

(6, 8)

Model solutionLời giải mẫu

(1) $-4x + 3y = 0,$ (2) $5x + y = 38.$

Method: substitution. The coefficient of $y$ in (2) is $1,$ so solve (2) for $y$ : $y = 38 - 5x$ (3). Substitute (3) into (1):

\begin{aligned}-4x + 3(38 - 5x) &= 0\\ -19x + 114 &= 0\\ x &= 6\end{aligned}

Put $x = 6$ into (3): $y = 38 - 5(6) = 8.$ Answer: $(6, 8).$

(1) $-4x + 3y = 0,$ (2) $5x + y = 38.$

Phương pháp thế. Hệ số của $y$ trong (2) bằng $1,$ nên rút $y$ từ (2): $y = 38 - 5x$ (3). Thế (3) vào (1):

\begin{aligned}-4x + 3(38 - 5x) &= 0\\ -19x + 114 &= 0\\ x &= 6\end{aligned}

Thay $x = 6$ vào (3): $y = 38 - 5(6) = 8.$ Đáp án: $(6, 8).$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 35

5x - y = 6

and

15x + 4y = -3

5x - y = 6

và

15x + 4y = -3

Find the unique pair $(x, y)$ that satisfies both equations simultaneously: $5x - y = 6$ and $15x + 4y = -3.$

Vne

Tìm cặp $(x, y)$ duy nhất thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình: $5x - y = 6$ và $15x + 4y = -3.$

A point like (2, -1).Một điểm dạng (2, -1).

iA point like (2, -1).Một điểm dạng (2, -1).

(\frac{3}{5}, -3)

Model solutionLời giải mẫu

(1) $5x - y = 6,$ (2) $15x + 4y = -3.$

Method: substitution. The coefficient of $y$ in (1) is $-1,$ so solve (1) for $y$ : $y = 5x - 6$ (3). Substitute (3) into (2):

\begin{aligned}15x + 4(5x - 6) &= -3\\ 35x - 24 &= -3\\ x &= \dfrac{3}{5}\end{aligned}

Put $x = \dfrac{3}{5}$ into (3): $y = 5\left(\dfrac{3}{5}\right) - 6 = -3.$ Answer: $\left(\dfrac{3}{5}, -3\right).$

(1) $5x - y = 6,$ (2) $15x + 4y = -3.$

Phương pháp thế. Hệ số của $y$ trong (1) bằng $-1,$ nên rút $y$ từ (1): $y = 5x - 6$ (3). Thế (3) vào (2):

\begin{aligned}15x + 4(5x - 6) &= -3\\ 35x - 24 &= -3\\ x &= \dfrac{3}{5}\end{aligned}

Thay $x = \dfrac{3}{5}$ vào (3): $y = 5\left(\dfrac{3}{5}\right) - 6 = -3.$ Đáp án: $\left(\dfrac{3}{5}, -3\right).$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 36

4x + 3y = 6

and

12x - 5y = 4

4x + 3y = 6

và

12x - 5y = 4

Find the unique pair $(x, y)$ that satisfies both equations simultaneously: $4x + 3y = 6$ and $12x - 5y = 4.$

Vne

Tìm cặp $(x, y)$ duy nhất thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình: $4x + 3y = 6$ và $12x - 5y = 4.$

A point like (2, -1).Một điểm dạng (2, -1).

iA point like (2, -1).Một điểm dạng (2, -1).

(\frac{3}{4}, 1)

Model solutionLời giải mẫu

(1) $4x + 3y = 6,$ (2) $12x - 5y = 4.$

Method: elimination. The coefficient of $x$ in (2) is $3$ times that in (1), so multiply (1) by $3$ to match them: $12x + 9y = 18$ (1′). Subtract (2) from (1′):

\begin{aligned}(12x + 9y) - (12x - 5y) &= 18 - 4\\ 14y &= 14\\ y &= 1\end{aligned}

Put $y = 1$ into (1): $4x + 3(1) = 6,$ so $x = \dfrac{3}{4}.$ Answer: $\left(\dfrac{3}{4}, 1\right).$

(1) $4x + 3y = 6,$ (2) $12x - 5y = 4.$

Phương pháp cộng đại số. Hệ số của $x$ trong (2) gấp $3$ lần trong (1), nên nhân (1) với $3$ để hai hệ số bằng nhau: $12x + 9y = 18$ (1′). Lấy (1′) trừ (2):

\begin{aligned}(12x + 9y) - (12x - 5y) &= 18 - 4\\ 14y &= 14\\ y &= 1\end{aligned}

Thay $y = 1$ vào (1): $4x + 3(1) = 6,$ nên $x = \dfrac{3}{4}.$ Đáp án: $\left(\dfrac{3}{4}, 1\right).$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 37Unit Pricing. If 4 burgers and 5 orders of fries cost $33.00, while 7 burgers and 3 orders of fries cost $43.95, what is the cost of a burger and what is the cost of an order of fries?Giá đơn vị. Nếu 4 chiếc burger và 5 phần khoai chiên có giá $33.00, trong khi 7 chiếc burger và 3 phần khoai chiên có giá $43.95, thì giá một chiếc burger và giá một phần khoai chiên là bao nhiêu?

Unit Pricing. If 4 burgers and 5 orders of fries cost $33.00, while 7 burgers and 3 orders of fries cost $43.95, what is the cost of a burger and what is the cost of an order of fries?

Vne

Giá đơn vị. Nếu 4 chiếc burger và 5 phần khoai chiên có giá $33.00, trong khi 7 chiếc burger và 3 phần khoai chiên có giá $43.95, thì giá một chiếc burger và giá một phần khoai chiên là bao nhiêu?

Burger ($)Burger ($)

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.Burger ($)Burger ($) $5.25

Fries ($)Khoai chiên ($)Fries ($)Khoai chiên ($) $2.40

Model solutionLời giải mẫu

Let $b$ be the cost of a burger and $f$ the cost of fries, both in dollars.

4 burgers and 5 orders of fries cost $33.00, so $4b + 5f = 33.$

7 burgers and 3 orders of fries cost $43.95, so $7b + 3f = 43.95.$

Multiply the first by $3$ and the second by $5$ : $12b + 15f = 99$ and $35b + 15f = 219.75.$ Subtract: $23b = 120.75,$ so $b = 5.25.$

Then $5f = 33 - 4(5.25) = 12,$ so $f = 2.40.$

Gọi $b$ là giá một chiếc burger và $f$ là giá một phần khoai chiên, cùng tính bằng đô la.

4 chiếc burger và 5 phần khoai chiên có giá $33.00, nên $4b + 5f = 33.$

7 chiếc burger và 3 phần khoai chiên có giá $43.95, nên $7b + 3f = 43.95.$

Nhân phương trình thứ nhất với $3$ và phương trình thứ hai với $5$ : $12b + 15f = 99$ và $35b + 15f = 219.75.$ Trừ hai vế: $23b = 120.75,$ nên $b = 5.25.$

Khi đó $5f = 33 - 4(5.25) = 12,$ nên $f = 2.40.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 38Writing to Learn $x$ - and $y$ -interceptsViết để hiểu: hoành độ gốc và tung độ gốcMCPhoto of your work requiredCần ảnh bài làm

Writing to Learn $x$ - and $y$ -intercepts

(a) Explain why $c$ and $d$ are the $x$ -intercept and $y$ -intercept, respectively, of the line $\dfrac{x}{c} + \dfrac{y}{d} = 1.$

(b) How are the $x$ -intercept and $y$ -intercept related to $c$ and $d$ in the line $\dfrac{x}{c} + \dfrac{y}{d} = 3\,?$

Vne

Viết để hiểu: hoành độ gốc và tung độ gốc

(a) Hãy giải thích vì sao $c$ và $d$ lần lượt là hoành độ gốc và tung độ gốc của đường thẳng $\dfrac{x}{c} + \dfrac{y}{d} = 1.$

(b) Hoành độ gốc và tung độ gốc liên hệ thế nào với $c$ và $d$ trong đường thẳng $\dfrac{x}{c} + \dfrac{y}{d} = 3\,?$

(b) Which statement is true?(b) Phát biểu nào đúng?

x

-intercept

c

and

y

-intercept

d

x

-intercept

\dfrac{c}{3}

and

y

-intercept

\dfrac{d}{3}

x

-intercept

3c

and

y

-intercept

3d

x

-intercept

\dfrac{3}{c}

and

y

-intercept

\dfrac{3}{d}

(b) Which statement is true?(b) Phát biểu nào đúng? C

Model solutionLời giải mẫu

(a) For the $x$ -intercept set $y = 0$ : $\dfrac{x}{c} = 1,$ so $x = c.$ For the $y$ -intercept set $x = 0$ : $\dfrac{y}{d} = 1,$ so $y = d.$

(b) Set $y = 0$ : $\dfrac{x}{c} = 3,$ so $x = 3c.$ Set $x = 0$ : $\dfrac{y}{d} = 3,$ so $y = 3d.$ The intercepts are $3c$ and $3d.$

(a) Để tìm hoành độ gốc, cho $y = 0$ : $\dfrac{x}{c} = 1,$ nên $x = c.$ Để tìm tung độ gốc, cho $x = 0$ : $\dfrac{y}{d} = 1,$ nên $y = d.$

(b) Cho $y = 0$ : $\dfrac{x}{c} = 3,$ nên $x = 3c.$ Cho $x = 0$ : $\dfrac{y}{d} = 3,$ nên $y = 3d.$ Các giao điểm với trục là $3c$ và $3d.$

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 39Parallel and Perpendicular Lines. For what value of

k

are the two lines

3x + ky = 8

and

x + y = 1

(a) parallel? (b) perpendicular?Đường thẳng song song và vuông góc. Với giá trị nào của

k

thì hai đường thẳng

3x + ky = 8

và

x + y = 1

(a) song song? (b) vuông góc?

Parallel and Perpendicular Lines. For what value of $k$ are the two lines $3x + ky = 8$ and $x + y = 1$ (a) parallel? (b) perpendicular?

Vne

Đường thẳng song song và vuông góc. Với giá trị nào của $k$ thì hai đường thẳng $3x + ky = 8$ và $x + y = 1$ (a) song song? (b) vuông góc?

(a) parallel(a) song song

k

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.(a) parallel(a) song song

k

= 3

(b) perpendicular(b) vuông góc

k

(b) perpendicular(b) vuông góc

k

= -3

Model solutionLời giải mẫu

(a) Rewriting the equations in the form $y = mx + b,$ we have:

\begin{aligned}3x + ky &= 8\\ ky &= -3x + 8\\ y &= -\dfrac{3}{k}x + \dfrac{8}{k}\end{aligned}

\begin{aligned}x + y &= 1\\ y &= -x + 1\end{aligned}

So the slope of the first line is $m_1 = -\dfrac{3}{k},$ and the slope of the second line is $m_2 = -1.$ Parallel lines have the same slope:

\begin{aligned}-\dfrac{3}{k} &= -1\\ k &= 3\end{aligned}

(b) The slopes are still $m_1 = -\dfrac{3}{k}$ and $m_2 = -1$ (as in (a)). Perpendicular lines satisfy $m_1 m_2 = -1$ :

\begin{aligned}\left(-\dfrac{3}{k}\right)(-1) &= -1\\ \dfrac{3}{k} &= -1\\ k &= -3\end{aligned}

(a) Biến đổi các phương trình về dạng $y = mx + b,$ ta có:

\begin{aligned}3x + ky &= 8\\ ky &= -3x + 8\\ y &= -\dfrac{3}{k}x + \dfrac{8}{k}\end{aligned}

\begin{aligned}x + y &= 1\\ y &= -x + 1\end{aligned}

Vậy $m_1 = -\dfrac{3}{k}$ và $m_2 = -1.$ Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc:

\begin{aligned}-\dfrac{3}{k} &= -1\\ k &= 3\end{aligned}

(b) Các hệ số góc là $m_1 = -\dfrac{3}{k}$ và $m_2 = -1$ (như ở ý a). Hai đường thẳng vuông góc thỏa $m_1 m_2 = -1$ :

\begin{aligned}\left(-\dfrac{3}{k}\right)(-1) &= -1\\ \dfrac{3}{k} &= -1\\ k &= -3\end{aligned}

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 40Insulation. By measuring slopes in the figure below, find the temperature change in degrees per inch for the following materials.Cách nhiệt. Bằng cách đo các hệ số góc trong hình dưới đây, hãy tìm sự thay đổi nhiệt độ (độ mỗi inch) của các vật liệu sau.Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Insulation. By measuring slopes in the figure below, find the temperature change in degrees per inch for the following materials.

(a) gypsum wallboard (b) fiberglass insulation (c) wood sheathing

(d) Writing to Learn Which of the materials in (a)–(c) is the best insulator? Which is the poorest? Explain.

Here the slope is the temperature change per inch: (change in °F) ÷ (change in inches). A negative slope means the temperature falls as you go through the wall.

Vne

Cách nhiệt. Bằng cách đo các hệ số góc trong hình dưới đây, hãy tìm sự thay đổi nhiệt độ (độ mỗi inch) của các vật liệu sau.

(a) tấm thạch cao (b) bông thủy tinh cách nhiệt (c) ván ốp gỗ

(d) Viết để hiểu Trong các vật liệu ở (a)–(c), vật liệu nào cách nhiệt tốt nhất? Vật liệu nào kém nhất? Hãy giải thích.

Ở đây hệ số góc là sự thay đổi nhiệt độ mỗi inch: (thay đổi °F) ÷ (thay đổi inch). Hệ số góc âm nghĩa là nhiệt độ giảm khi đi xuyên qua bức tường.

(a) Gypsum (°F per inch)(a) Thạch cao (°F mỗi inch)

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.(a) Gypsum (°F per inch)(a) Thạch cao (°F mỗi inch)

= -10

(b) Fiberglass (°F per inch)(b) Bông thủy tinh (°F mỗi inch)(b) Fiberglass (°F per inch)(b) Bông thủy tinh (°F mỗi inch)

= -12.5

= -5

(d) Which is the best insulator?(d) Vật liệu nào cách nhiệt tốt nhất?

AGypsum wallboardBFiberglass insulationCWood sheathing

(d) Which is the best insulator?(d) Vật liệu nào cách nhiệt tốt nhất? B

(d) Which is the poorest insulator?(d) Vật liệu nào cách nhiệt kém nhất?

AGypsum wallboardBFiberglass insulationCWood sheathing

(d) Which is the poorest insulator?(d) Vật liệu nào cách nhiệt kém nhất? C

Model solutionLời giải mẫu

Each layer is a straight piece of the graph, so its rate of change is $\dfrac{\Delta T}{\Delta x},$ the temperature change per inch. Read the two ends of each layer from the figure.

(a) Gypsum: the layer goes from $(0, 70)$ to $(0.5, 65).$

\begin{aligned}\dfrac{\Delta T}{\Delta x} &= \dfrac{65 - 70}{0.5 - 0}\\ &= \dfrac{-5}{0.5}\\ &= -10\end{aligned}

Answer: $-10$ °F per inch.

(b) Fiberglass: the layer goes from $(0.5, 65)$ to $(4.5, 15).$

\begin{aligned}\dfrac{\Delta T}{\Delta x} &= \dfrac{15 - 65}{4.5 - 0.5}\\ &= \dfrac{-50}{4}\\ &= -12.5\end{aligned}

Answer: $-12.5$ °F per inch.

\begin{aligned}\dfrac{\Delta T}{\Delta x} &= \dfrac{10 - 15}{5.5 - 4.5}\\ &= \dfrac{-5}{1}\\ &= -5\end{aligned}

Answer: $-5$ °F per inch.

(d) Heat flows through every layer at the same rate. A good insulator holds the heat back, so the temperature must fall by a large amount in each inch of it.

Compare the sizes of the rates and ignore the sign: $12.5 > 10 > 5.$

Answer: fiberglass falls the most ( $12.5$ °F per inch), so it is the best insulator. Sheathing falls the least ( $5$ °F per inch), so it is the poorest.

Mỗi lớp là một đoạn thẳng của đồ thị, nên tốc độ thay đổi của nó là $\dfrac{\Delta T}{\Delta x},$ tức là sự thay đổi nhiệt độ mỗi inch. Hãy đọc hai đầu của từng lớp trên hình.

(a) Thạch cao: lớp này đi từ $(0, 70)$ đến $(0.5, 65).$

\begin{aligned}\dfrac{\Delta T}{\Delta x} &= \dfrac{65 - 70}{0.5 - 0}\\ &= \dfrac{-5}{0.5}\\ &= -10\end{aligned}

Đáp án: $-10$ °F mỗi inch.

(b) Bông thủy tinh: lớp này đi từ $(0.5, 65)$ đến $(4.5, 15).$

\begin{aligned}\dfrac{\Delta T}{\Delta x} &= \dfrac{15 - 65}{4.5 - 0.5}\\ &= \dfrac{-50}{4}\\ &= -12.5\end{aligned}

Đáp án: $-12.5$ °F mỗi inch.

\begin{aligned}\dfrac{\Delta T}{\Delta x} &= \dfrac{10 - 15}{5.5 - 4.5}\\ &= \dfrac{-5}{1}\\ &= -5\end{aligned}

Đáp án: $-5$ °F mỗi inch.

(d) Nhiệt đi qua mọi lớp với cùng một mức. Vật liệu cách nhiệt tốt giữ nhiệt lại, nên nhiệt độ phải giảm nhiều qua mỗi inch của nó.

So sánh độ lớn của các tốc độ và bỏ qua dấu: $12.5 > 10 > 5.$

Đáp án: bông thủy tinh giảm nhiều nhất ( $12.5$ °F mỗi inch) nên cách nhiệt tốt nhất. Ván ốp giảm ít nhất ( $5$ °F mỗi inch) nên kém nhất.

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 41For the Birds. The level of seed in Anna’s bird feeder declines linearly over time. If the feeder is filled to the 14-inch level at 9:00 AM and is at the 8-inch level at 2:00 PM the same day, at approximately what time will the seed be completely gone?Cho lũ chim. Mực hạt trong máng ăn cho chim của Anna giảm tuyến tính theo thời gian. Nếu máng được đổ đầy đến mức 14 inch lúc 9:00 sáng và còn mức 8 inch lúc 2:00 chiều cùng ngày, thì khoảng mấy giờ hạt sẽ hết hoàn toàn?MC

For the Birds. The level of seed in Anna’s bird feeder declines linearly over time. If the feeder is filled to the 14-inch level at 9:00 AM and is at the 8-inch level at 2:00 PM the same day, at approximately what time will the seed be completely gone?

Vne

Cho lũ chim. Mực hạt trong máng ăn cho chim của Anna giảm tuyến tính theo thời gian. Nếu máng được đổ đầy đến mức 14 inch lúc 9:00 sáng và còn mức 8 inch lúc 2:00 chiều cùng ngày, thì khoảng mấy giờ hạt sẽ hết hoàn toàn?

A7:40 PMB8:00 PMC8:40 PMD9:20 PM

Model solutionLời giải mẫu

Let $t$ be the hours after 9:00 AM and $L$ the seed level in inches. Then 9:00 AM is $t = 0$ with $L = 14,$ and 2:00 PM is $t = 5$ with $L = 8.$

The level falls at a constant rate:

m = \dfrac{8 - 14}{5 - 0} = -1.2\ \text{in/h}.

Through $(t_0, L_0) = (0, 14),$ the level at time $t$ is:

\begin{aligned}L - L_0 &= m(t - t_0)\\ L - 14 &= -1.2(t - 0)\\ L &= -1.2t + 14\end{aligned}

The seed is gone when $L = 0$ :

\begin{aligned}-1.2t + 14 &= 0\\ t &= \dfrac{14}{1.2} \approx 11.67\end{aligned}

$0.67 \cdot 60 \approx 40$ minutes, so $t$ is $11$ h $40$ min after 9:00 AM.

Answer: the seed is gone at about 8:40 PM (choice C).

Gọi $t$ là số giờ kể từ 9:00 sáng và $L$ là mực hạt tính bằng inch. Khi đó 9:00 sáng là $t = 0$ với $L = 14,$ và 2:00 chiều là $t = 5$ với $L = 8.$

Mực hạt giảm đều với tốc độ:

m = \dfrac{8 - 14}{5 - 0} = -1.2\ \text{in/h}.

Đi qua $(t_0, L_0) = (0, 14),$ mực hạt tại thời điểm $t$ là:

\begin{aligned}L - L_0 &= m(t - t_0)\\ L - 14 &= -1.2(t - 0)\\ L &= -1.2t + 14\end{aligned}

Hạt hết khi $L = 0$ :

\begin{aligned}-1.2t + 14 &= 0\\ t &= \dfrac{14}{1.2} \approx 11.67\end{aligned}

$0.67 \cdot 60 \approx 40$ phút, nên $t$ là $11$ giờ $40$ phút sau 9:00 sáng.

Đáp án: hạt hết lúc khoảng 8:40 tối (đáp án C).

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 42Modeling Distance Traveled. A car starts from point

P

at time

t = 0

and travels at 55 mph.Mô hình quãng đường đi được. Một ô tô xuất phát từ điểm

P

tại thời điểm

t = 0

và chạy với vận tốc 55 mph.Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Modeling Distance Traveled. A car starts from point $P$ at time $t = 0$ and travels at 55 mph.

(a) Write an expression $d(t)$ for the distance the car travels from $P.$

(b) Graph $y = d(t).$

Vne

Mô hình quãng đường đi được. Một ô tô xuất phát từ điểm $P$ tại thời điểm $t = 0$ và chạy với vận tốc 55 mph.

(a) Viết một biểu thức $d(t)$ cho quãng đường ô tô đi được từ $P.$

(b) Vẽ đồ thị $y = d(t).$

(a) As an equation

d = \ldots

(a) Dưới dạng phương trình

d = \ldots

d = \ldots

(a) Dưới dạng phương trình

d = \ldots

d = 55t

A number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.

iA number, a fraction like 3/4, or a decimal.Một số, phân số dạng 3/4 hoặc số thập phân.(c) Slope(c) Hệ số góc

= 55

Model solutionLời giải mẫu

(a) Distance = speed × time, so $d(t) = 55t.$

(b) The graph is a line through the origin that rises $55$ miles for each $1$ hour.

(a) Quãng đường = vận tốc × thời gian, nên $d(t) = 55t.$

(b) Đồ thị là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ, tăng $55$ dặm cho mỗi $1$ giờ.

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 43Modeling Distance Traveled. A car starts from point

P

at time

t = 0

and travels at 55 mph.Mô hình quãng đường đi được. Một ô tô xuất phát từ điểm

P

tại thời điểm

t = 0

và chạy với vận tốc 55 mph.Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Modeling Distance Traveled. A car starts from point $P$ at time $t = 0$ and travels at 55 mph.

(d) Writing to Learn Create a scenario in which $t$ could have negative values.

(e) Writing to Learn Create a scenario in which the $y$ -intercept of $y = d(t)$ could be 40.

Vne

Mô hình quãng đường đi được. Một ô tô xuất phát từ điểm $P$ tại thời điểm $t = 0$ và chạy với vận tốc 55 mph.

(d) Viết để hiểu Hãy nghĩ ra một tình huống trong đó $t$ có thể nhận giá trị âm.

(e) Viết để hiểu Hãy nghĩ ra một tình huống trong đó tung độ gốc của $y = d(t)$ có thể bằng 40.

(d) A negative value of

t

from your scenario(d) Một giá trị âm của

t

trong tình huống của bạn

Any negative number is accepted, because your scenario can be anything that fits.Mọi số âm đều được chấp nhận, vì tình huống của bạn có thể là bất cứ điều gì hợp lý.

iAny negative number is accepted, because your scenario can be anything that fits.Mọi số âm đều được chấp nhận, vì tình huống của bạn có thể là bất cứ điều gì hợp lý.(d) A negative value of

t

from your scenario(d) Một giá trị âm của

t

trong tình huống của bạn any negative numbermột số âm bất kỳ

(e) The

y

-intercept of your

d(t)

(e) Tung độ gốc của

d(t)

của bạn(e) The

y

-intercept of your

d(t)

(e) Tung độ gốc của

d(t)

của bạn

= 40

Model solutionLời giải mẫu

Many answers are correct. Here is one example of each.

(d) Let $t = 0$ be noon. Then $t = -2$ means 10:00 AM, two hours before noon, so negative $t$ describes times before the clock started.

(e) The car passes a road sign at $t = 0$ that is already 40 miles from $P.$ Then $d(t) = 55t + 40,$ and the $y$ -intercept is $40.$

In (d), any negative $t$ that fits your scenario is accepted. In (e), the $y$ -intercept is $40.$

Có nhiều đáp án đúng. Dưới đây là một ví dụ cho mỗi ý.

(d) Cho $t = 0$ là 12 giờ trưa. Khi đó $t = -2$ nghĩa là 10 giờ sáng, trước trưa hai giờ, nên $t$ âm mô tả các thời điểm trước lúc bắt đầu tính giờ.

(e) Tại $t = 0$ ô tô đi qua một biển báo đã cách $P$ 40 dặm. Khi đó $d(t) = 55t + 40$ và tung độ gốc là $40.$

Ở (d), mọi giá trị $t$ âm phù hợp với tình huống của bạn đều được chấp nhận. Ở (e), tung độ gốc là $40.$

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 44True or False. The slope of a vertical line is zero. Justify your answer.Đúng hay Sai. Hệ số góc của một đường thẳng đứng bằng không. Hãy giải thích câu trả lời của bạn.MCPhoto of your work requiredCần ảnh bài làm

True or False. The slope of a vertical line is zero. Justify your answer.

Vne

Đúng hay Sai. Hệ số góc của một đường thẳng đứng bằng không. Hãy giải thích câu trả lời của bạn.

ATrueBFalse

Model solutionLời giải mẫu

False. On a vertical line every pair of points has $\Delta x = 0,$ so the slope $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ becomes $\dfrac{\Delta y}{0},$ which is undefined. It is a horizontal line whose slope is zero, because $\Delta y = 0.$

Sai. Trên một đường thẳng đứng, mọi cặp điểm đều có $\Delta x = 0,$ nên $m = \dfrac{\Delta y}{0}$ không xác định. Đường nằm ngang mới có hệ số góc bằng không, vì $\Delta y = 0.$

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 45True or False. The slope of a line perpendicular to the line

y = mx + b

1/m.

Justify your answer.Đúng hay Sai. Hệ số góc của đường thẳng vuông góc với đường thẳng

y = mx + b

là

1/m.

Hãy giải thích câu trả lời của bạn.MCPhoto of your work requiredCần ảnh bài làm

True or False. The slope of a line perpendicular to the line $y = mx + b$ is $1/m.$ Justify your answer.

Vne

Đúng hay Sai. Hệ số góc của đường thẳng vuông góc với đường thẳng $y = mx + b$ là $1/m.$ Hãy giải thích câu trả lời của bạn.

ATrueBFalse

Model solutionLời giải mẫu

False. The slope of a perpendicular line is the negative reciprocal, $-\dfrac{1}{m},$ not $\dfrac{1}{m}.$ For example, a line perpendicular to $y = 2x + 1$ has slope $-\dfrac{1}{2},$ not $\dfrac{1}{2}.$

Sai. Hệ số góc của đường thẳng vuông góc là nghịch đảo đổi dấu, $-\dfrac{1}{m},$ không phải $\dfrac{1}{m}.$ Ví dụ, đường thẳng vuông góc với $y = 2x + 1$ có hệ số góc $-\dfrac{1}{2},$ không phải $\dfrac{1}{2}.$

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 46Multiple Choice. Which of the following is an equation of the line through

(2, -5)

with slope

\dfrac{2}{3}

?Trắc nghiệm. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường thẳng đi qua

(2, -5)

với hệ số góc

\dfrac{2}{3}

?MC

Multiple Choice. Which of the following is an equation of the line through $(2, -5)$ with slope $\dfrac{2}{3}$ ?

Vne

Trắc nghiệm. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường thẳng đi qua $(2, -5)$ với hệ số góc $\dfrac{2}{3}$ ?

y = -5 + \dfrac{2}{3}(x - 2)

y = 2 + \dfrac{2}{3}(x + 5)

y = -5 + \dfrac{3}{2}(x - 2)

y = -5 + \dfrac{2}{3}(x + 2)

Model solutionLời giải mẫu

Point-slope form: $y - (-5) = \dfrac{2}{3}(x - 2),$ that is $y = -5 + \dfrac{2}{3}(x - 2).$ This is choice A.

B puts $2$ and $-5$ in the wrong places, C uses slope $\dfrac{3}{2},$ and D uses $x + 2$ instead of $x - 2.$

Dạng điểm-hệ số góc: $y - (-5) = \dfrac{2}{3}(x - 2),$ tức $y = -5 + \dfrac{2}{3}(x - 2).$ Đây là đáp án A.

B đặt $2$ và $-5$ sai chỗ, C dùng hệ số góc $\dfrac{3}{2},$ còn D dùng $x + 2$ thay cho $x - 2.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 47Multiple Choice. Which of the following is an equation of the vertical line through

(3, -1)

?Trắc nghiệm. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường thẳng đứng đi qua

(3, -1)

?MC

Multiple Choice. Which of the following is an equation of the vertical line through $(3, -1)$ ?

Vne

Trắc nghiệm. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường thẳng đứng đi qua $(3, -1)$ ?

y = 3

x = -3

y = -1

x = 3

Model solutionLời giải mẫu

A vertical line has the same $x$ -coordinate at every point, so its equation is $x = 3.$ This is choice D. The equations $y = 3$ and $y = -1$ are horizontal lines.

Đường thẳng đứng có cùng hoành độ tại mọi điểm, nên phương trình của nó là $x = 3.$ Đây là đáp án D. Các phương trình $y = 3$ và $y = -1$ là các đường nằm ngang.

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 48Multiple Choice. Which of the following is the

x

-intercept of the line

y = 4x - 6

?Trắc nghiệm. Đáp án nào sau đây là hoành độ gốc của đường thẳng

y = 4x - 6

?MC

Multiple Choice. Which of the following is the $x$ -intercept of the line $y = 4x - 6$ ?

Vne

Trắc nghiệm. Đáp án nào sau đây là hoành độ gốc của đường thẳng $y = 4x - 6$ ?

x = -6

x = 6

x = \dfrac{3}{2}

x = -\dfrac{3}{2}

Model solutionLời giải mẫu

Set $y = 0$ : $0 = 4x - 6,$ so $x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}.$ This is choice C. (The value $x = -6$ is not an intercept; $-6$ is the $y$ -intercept.)

Cho $y = 0$ : $0 = 4x - 6,$ nên $x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}.$ Đây là đáp án C. (Giá trị $-6$ là tung độ gốc, không phải hoành độ gốc.)

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 49Multiple Choice. Which of the following is an equation of the line through

(1, -3)

parallel to the line

y = 2 - 4(x + 3)

?Trắc nghiệm. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường thẳng đi qua

(1, -3)

và song song với đường thẳng

y = 2 - 4(x + 3)

?MC

Multiple Choice. Which of the following is an equation of the line through $(1, -3)$ parallel to the line $y = 2 - 4(x + 3)$ ?

Vne

Trắc nghiệm. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường thẳng đi qua $(1, -3)$ và song song với đường thẳng $y = 2 - 4(x + 3)$ ?

y = -3 + \dfrac{1}{4}(x - 1)

y = 1 + \dfrac{1}{4}(x + 3)

y = -3 - 4(x - 1)

y = 1 - 4(x + 3)

Model solutionLời giải mẫu

The given line has slope $-4,$ so the parallel line has slope $-4.$ Through $(1, -3)$ : $y = -3 - 4(x - 1).$ This is choice C.

A and B have slope $\dfrac{1}{4}.$ D has slope $-4$ but passes through $(-3, 1),$ not $(1, -3).$

Đường thẳng đã cho có hệ số góc $-4,$ nên đường song song cũng có hệ số góc $-4.$ Qua $(1, -3)$ : $y = -3 - 4(x - 1).$ Đây là đáp án C.

A và B có hệ số góc $\dfrac{1}{4}.$ D có hệ số góc $-4$ nhưng đi qua $(-3, 1),$ không đi qua $(1, -3).$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 50Tangent to a Circle. A circle with radius 13 centered at the origin passes through the point

(5, 12).

Find an equation for the line that is tangent to the circle at that point.Tiếp tuyến của đường tròn. Một đường tròn bán kính 13, tâm tại gốc tọa độ, đi qua điểm

(5, 12).

Hãy tìm phương trình của đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại điểm đó.

Tangent to a Circle. A circle with radius 13 centered at the origin passes through the point $(5, 12).$ Find an equation for the line that is tangent to the circle at that point.

Tangent line: a line that touches the circle at exactly one point.

Vne

Tiếp tuyến của đường tròn. Một đường tròn bán kính 13, tâm tại gốc tọa độ, đi qua điểm $(5, 12).$ Hãy tìm phương trình của đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại điểm đó.

Tiếp tuyến (tangent line): đường thẳng chỉ chạm đường tròn tại đúng một điểm.

5x + 12y = 169

Model solutionLời giải mẫu

The tangent line is perpendicular to the radius at the point of tangency. The slope of the radius from $(0, 0)$ to $(5, 12)$ is:

m_r = \dfrac{12 - 0}{5 - 0} = \dfrac{12}{5}.

So the tangent has slope $m = -\dfrac{1}{m_r} = -\dfrac{5}{12}.$ Point-slope equation through $(5, 12)$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 12 &= -\dfrac{5}{12}(x - 5)\\ 12y - 144 &= -5x + 25\\ 5x + 12y &= 169\end{aligned}

Answer: $5x + 12y = 169.$

Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Hệ số góc của bán kính từ $(0, 0)$ đến $(5, 12)$ là:

m_r = \dfrac{12 - 0}{5 - 0} = \dfrac{12}{5}.

Vậy tiếp tuyến có hệ số góc $m = -\dfrac{1}{m_r} = -\dfrac{5}{12}.$ Phương trình dạng điểm – hệ số góc đi qua $(5, 12)$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 12 &= -\dfrac{5}{12}(x - 5)\\ 12y - 144 &= -5x + 25\\ 5x + 12y &= 169\end{aligned}

Đáp án: $5x + 12y = 169.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 51Knowing Your Rights. The vertices of triangle

ABC

have coordinates

A(-4, 8),

B(0, 2),

and

C(12, 10).

Prove that it is a right triangle. Which side is the hypotenuse?Tam giác vuông. Các đỉnh của tam giác

ABC

có tọa độ

A(-4, 8),

B(0, 2)

và

C(12, 10).

Hãy chứng minh nó là tam giác vuông. Cạnh nào là cạnh huyền?MCPhoto of your work requiredCần ảnh bài làm

Knowing Your Rights. The vertices of triangle $ABC$ have coordinates $A(-4, 8),$ $B(0, 2),$ and $C(12, 10).$ Prove that it is a right triangle. Which side is the hypotenuse?

Hypotenuse: the side of a right triangle that is opposite the right angle.

Vne

Tam giác vuông. Các đỉnh của tam giác $ABC$ có tọa độ $A(-4, 8),$ $B(0, 2)$ và $C(12, 10).$ Hãy chứng minh nó là tam giác vuông. Cạnh nào là cạnh huyền?

Cạnh huyền (hypotenuse): cạnh của tam giác vuông nằm đối diện góc vuông.

HypotenuseCạnh huyền

AB

BC

AC

HypotenuseCạnh huyền C

Model solutionLời giải mẫu

Slope of $AB$ : $\dfrac{2 - 8}{0 - (-4)} = -\dfrac{3}{2}.$ Slope of $BC$ : $\dfrac{10 - 2}{12 - 0} = \dfrac{2}{3}.$

The product of the slopes is $-\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = -1,$ so $AB \perp BC$ and the angle at $B$ is a right angle.

The hypotenuse is the side opposite the right angle, which is $AC.$

Hệ số góc của $AB$ : $\dfrac{2 - 8}{0 - (-4)} = -\dfrac{3}{2}.$ Hệ số góc của $BC$ : $\dfrac{10 - 2}{12 - 0} = \dfrac{2}{3}.$

Tích hai hệ số góc là $-\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = -1,$ nên $AB \perp BC$ và góc tại $B$ là góc vuông.

Cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông, tức $AC.$

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 52Simultaneous Linear Equations Revisited. The two linear equations shown below are said to be dependent and inconsistent:Hệ phương trình bậc nhất, xét lại. Hai phương trình bậc nhất dưới đây được gọi là phụ thuộc và không nhất quán (dependent and inconsistent):Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Simultaneous Linear Equations Revisited. The two linear equations shown below are said to be dependent and inconsistent:

$2x - 3y = 5$ $-6x + 9y = 4$

(a) Solve the equations simultaneously by an algebraic method, either substitution or elimination. What is your conclusion?

(b) What happens if you use a graphical method?

(c) Writing to Learn Explain in algebraic and graphical terms what happens when two linear equations are dependent and inconsistent.

Terms: consistent means the system has at least one solution, inconsistent means it has none, and dependent means the left sides of the two equations are multiples of each other.

Vne

Hệ phương trình bậc nhất, xét lại. Hai phương trình bậc nhất dưới đây được gọi là phụ thuộc và không nhất quán (dependent and inconsistent):

$2x - 3y = 5$ $-6x + 9y = 4$

(a) Giải đồng thời hai phương trình bằng một phương pháp đại số, thế hoặc khử. Kết luận của bạn là gì?

(b) Điều gì xảy ra nếu bạn dùng phương pháp đồ thị?

(c) Viết để hiểu Hãy giải thích bằng đại số và đồ thị điều gì xảy ra khi hai phương trình bậc nhất là phụ thuộc và không nhất quán.

Thuật ngữ: nhất quán (consistent) nghĩa là hệ có ít nhất một nghiệm, không nhất quán (inconsistent) nghĩa là hệ vô nghiệm, và phụ thuộc (dependent) nghĩa là vế trái của hai phương trình là bội của nhau.

(a) Conclusion(a) Kết luận

AThe system has exactly one solutionBThe system has no solutionCThe system has infinitely many solutionsDThe system has exactly two solutions

(a) Conclusion(a) Kết luận B

(b) Graphical method(b) Phương pháp đồ thị

AThe lines cross at exactly one pointBThe lines are parallel and never meetCThe two equations give the same line

(b) Graphical method(b) Phương pháp đồ thị B

Model solutionLời giải mẫu

(a) Multiply the first equation by $3$ : $6x - 9y = 15.$ Add the second equation: $0 = 19.$ This is never true, so the system has no solution.

(b) Solved for $y,$ the first line is $y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3}$ and the second is $y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{9}.$ They have the same slope but different $y$ -intercepts, so the lines are parallel and never meet.

(c) Dependent and inconsistent: one equation is a multiple of the other on the left side (same slope), but the right sides do not match (different intercepts). Algebraically, elimination ends with a false statement such as $0 = 19.$ Graphically, the lines are parallel and distinct, so there is no point on both.

(a) Nhân phương trình thứ nhất với $3$ : $6x - 9y = 15.$ Cộng phương trình thứ hai: $0 = 19.$ Điều này không bao giờ đúng, nên hệ vô nghiệm.

(b) Giải theo $y,$ đường thứ nhất là $y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3}$ và đường thứ hai là $y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{9}.$ Chúng có cùng hệ số góc nhưng khác tung độ gốc, nên hai đường song song và không bao giờ cắt nhau.

(c) Phụ thuộc và không nhất quán: vế trái của hai phương trình tỉ lệ với nhau (cùng hệ số góc) nhưng vế phải không khớp (khác tung độ gốc). Về đại số, phép khử kết thúc bằng một mệnh đề sai như $0 = 19.$ Về đồ thị, hai đường song song và phân biệt, nên không có điểm chung.

The lines are parallel: they never meet, so there is no solution.Hai đường thẳng song song: không bao giờ cắt nhau nên hệ vô nghiệm.

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 53Simultaneous Linear Equations Revisited Again. The two linear equations shown below are said to be dependent and consistent:Hệ phương trình bậc nhất, xét lại lần nữa. Hai phương trình bậc nhất dưới đây được gọi là phụ thuộc và nhất quán (dependent and consistent):Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Simultaneous Linear Equations Revisited Again. The two linear equations shown below are said to be dependent and consistent:

$3x - 2y = 4$ $9x - 6y = 12$

(a) Solve the equations simultaneously by an algebraic method, either substitution or elimination. What is your conclusion?

(b) What happens if you use a graphical method?

(c) Writing to Learn Explain in algebraic and graphical terms what happens when two linear equations are dependent and consistent.

Terms: consistent means the system has at least one solution, inconsistent means it has none, and dependent means the left sides of the two equations are multiples of each other.

Vne

Hệ phương trình bậc nhất, xét lại lần nữa. Hai phương trình bậc nhất dưới đây được gọi là phụ thuộc và nhất quán (dependent and consistent):

$3x - 2y = 4$ $9x - 6y = 12$

(a) Giải đồng thời hai phương trình bằng một phương pháp đại số, thế hoặc khử. Kết luận của bạn là gì?

(b) Điều gì xảy ra nếu bạn dùng phương pháp đồ thị?

(c) Viết để hiểu Hãy giải thích bằng đại số và đồ thị điều gì xảy ra khi hai phương trình bậc nhất là phụ thuộc và nhất quán.

(a) Conclusion(a) Kết luận

AThe system has no solutionBThe system has exactly one solutionCThe system has infinitely many solutionsDThe system has exactly two solutions

(a) Conclusion(a) Kết luận C

(b) Graphical method(b) Phương pháp đồ thị

AThe lines are parallel and never meetBThe lines cross at exactly one pointCThe two equations give the same line

(b) Graphical method(b) Phương pháp đồ thị C

Model solutionLời giải mẫu

(a) Multiply the first equation by $3$ : $9x - 6y = 12.$ This is exactly the second equation. Subtracting gives $0 = 0,$ which is always true, so the system has infinitely many solutions: every $(x, y)$ with $3x - 2y = 4.$

(b) Both equations give $y = \dfrac{3}{2}x - 2,$ so the two graphs are the same line.

(c) Dependent and consistent: one equation is a multiple of the other, including the right side. Algebraically, elimination ends with a true statement such as $0 = 0.$ Graphically, the two equations describe the same line, so every point on it is a solution.

(a) Nhân phương trình thứ nhất với $3$ : $9x - 6y = 12.$ Đây chính là phương trình thứ hai. Trừ hai vế cho $0 = 0,$ luôn đúng, nên hệ có vô số nghiệm: mọi $(x, y)$ thỏa $3x - 2y = 4.$

(b) Cả hai phương trình đều cho $y = \dfrac{3}{2}x - 2,$ nên hai đồ thị là cùng một đường thẳng.

(c) Phụ thuộc và nhất quán: một phương trình là bội của phương trình kia, kể cả vế phải. Về đại số, phép khử kết thúc bằng một mệnh đề đúng như $0 = 0.$ Về đồ thị, hai phương trình mô tả cùng một đường thẳng, nên mọi điểm trên đó đều là nghiệm.

Both equations give the same line: every point on it is a solution.Hai phương trình cho cùng một đường thẳng: mọi điểm trên đường đó đều là nghiệm.

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 54Parallelogram. Three different parallelograms have vertices at

(-3, 0),

(1, -2),

and

(1, 2).

Draw the three and give the coordinates of the missing vertices.Hình bình hành. Ba hình bình hành khác nhau có các đỉnh tại

(-3, 0),

(1, -2)

và

(1, 2).

Hãy vẽ ba hình đó và cho tọa độ các đỉnh còn thiếu.Photo of your work requiredCần ảnh bài làm

Parallelogram. Three different parallelograms have vertices at $(-3, 0),$ $(1, -2),$ and $(1, 2).$ Draw the three and give the coordinates of the missing vertices.

Vne

Hình bình hành. Ba hình bình hành khác nhau có các đỉnh tại $(-3, 0),$ $(1, -2)$ và $(1, 2).$ Hãy vẽ ba hình đó và cho tọa độ các đỉnh còn thiếu.

Missing vertices (any order)Các đỉnh còn thiếu (thứ tự tùy ý)

Each point like (2, -1), in any order.Mỗi điểm dạng (2, -1), thứ tự tùy ý.

iEach point like (2, -1), in any order.Mỗi điểm dạng (2, -1), thứ tự tùy ý.Missing vertices (any order)Các đỉnh còn thiếu (thứ tự tùy ý)

(-3, -4),\ (-3, 4),\ (5, 0)

Model solutionLời giải mẫu

In a parallelogram the diagonals bisect each other, so the missing vertex equals the sum of the two vertices on the other diagonal minus the vertex opposite to it.

The three given vertices are $A(-3, 0),$ $B(1, -2),$ $C(1, 2).$

If $A$ and $B$ are opposite: $(-3, 0) + (1, -2) - (1, 2) = (-3, -4).$

If $A$ and $C$ are opposite: $(-3, 0) + (1, 2) - (1, -2) = (-3, 4).$

If $B$ and $C$ are opposite: $(1, -2) + (1, 2) - (-3, 0) = (5, 0).$

The missing vertices are $(-3, -4),$ $(-3, 4)$ and $(5, 0).$

Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên đỉnh còn thiếu bằng tổng hai đỉnh nằm trên đường chéo còn lại trừ đi đỉnh đối diện với nó.

Ba đỉnh đã cho là $A(-3, 0),$ $B(1, -2),$ $C(1, 2).$

Nếu $A$ và $B$ đối diện: $(-3, 0) + (1, -2) - (1, 2) = (-3, -4).$

Nếu $A$ và $C$ đối diện: $(-3, 0) + (1, 2) - (1, -2) = (-3, 4).$

Nếu $B$ và $C$ đối diện: $(1, -2) + (1, 2) - (-3, 0) = (5, 0).$

Các đỉnh còn thiếu là $(-3, -4),$ $(-3, 4)$ và $(5, 0).$

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 55Parallelogram. Show that if the midpoints of consecutive sides of any quadrilateral are connected, the result is a parallelogram.Hình bình hành. Chứng minh rằng nếu nối các trung điểm của các cạnh liên tiếp của một tứ giác bất kỳ thì được một hình bình hành.MCPhoto of your work requiredCần ảnh bài làm

Parallelogram. Show that if the midpoints of consecutive sides of any quadrilateral are connected, the result is a parallelogram.

Vne

Hình bình hành. Chứng minh rằng nếu nối các trung điểm của các cạnh liên tiếp của một tứ giác bất kỳ thì được một hình bình hành.

Let $ABCD$ be the quadrilateral and $P, Q, R, S$ the midpoints of $AB, BC, CD, DA.$ Using your proof, which statement is true?Gọi $ABCD$ là tứ giác và $P, Q, R, S$ là trung điểm của $AB, BC, CD, DA.$ Dựa vào chứng minh của bạn, phát biểu nào đúng?

PQ

is parallel to

QR

PQ

is perpendicular to

SR

PQ

and

SR

are both parallel to the side

AB

PQ

and

SR

are both parallel to the diagonal

AC

and half as long as it

Let

ABCD

be the quadrilateral and

P, Q, R, S

the midpoints of

AB, BC, CD, DA.

Using your proof, which statement is true?Gọi

ABCD

là tứ giác và

P, Q, R, S

là trung điểm của

AB, BC, CD, DA.

Dựa vào chứng minh của bạn, phát biểu nào đúng? D

Model solutionLời giải mẫu

Place the quadrilateral $ABCD$ in the coordinate plane with $A(a_1, a_2),$ $B(b_1, b_2),$ $C(c_1, c_2),$ $D(d_1, d_2).$ Let $P, Q, R, S$ be the midpoints of $AB, BC, CD, DA$ :

$P\left(\dfrac{a_1 + b_1}{2}, \dfrac{a_2 + b_2}{2}\right),$ $Q\left(\dfrac{b_1 + c_1}{2}, \dfrac{b_2 + c_2}{2}\right),$ $R\left(\dfrac{c_1 + d_1}{2}, \dfrac{c_2 + d_2}{2}\right),$ $S\left(\dfrac{d_1 + a_1}{2}, \dfrac{d_2 + a_2}{2}\right).$

Going from $P$ to $Q$ : $\Delta x = \dfrac{c_1 - a_1}{2},$ $\Delta y = \dfrac{c_2 - a_2}{2}.$ Going from $S$ to $R$ : $\Delta x = \dfrac{c_1 - a_1}{2},$ $\Delta y = \dfrac{c_2 - a_2}{2}.$

So $PQ$ and $SR$ have the same increments, which means they are parallel and equal in length. In the same way, going from $Q$ to $R$ and from $P$ to $S$ both give $\Delta x = \dfrac{d_1 - b_1}{2},$ $\Delta y = \dfrac{d_2 - b_2}{2},$ so $QR \parallel PS.$

Both pairs of opposite sides are parallel, so $PQRS$ is a parallelogram.

The diagonal $AC$ has increments $c_1 - a_1$ and $c_2 - a_2,$ which are twice those of $PQ.$ So $PQ$ and $SR$ are both parallel to the diagonal $AC$ and half as long as it (choice D). In the same way $QR$ and $PS$ are parallel to the diagonal $BD.$

Đặt tứ giác $ABCD$ trong mặt phẳng tọa độ với $A(a_1, a_2),$ $B(b_1, b_2),$ $C(c_1, c_2),$ $D(d_1, d_2).$ Gọi $P, Q, R, S$ là trung điểm của $AB, BC, CD, DA$ :

Đi từ $P$ đến $Q$ : $\Delta x = \dfrac{c_1 - a_1}{2},$ $\Delta y = \dfrac{c_2 - a_2}{2}.$ Đi từ $S$ đến $R$ : $\Delta x = \dfrac{c_1 - a_1}{2},$ $\Delta y = \dfrac{c_2 - a_2}{2}.$

Vậy $PQ$ và $SR$ có cùng số gia, nghĩa là chúng song song và bằng nhau. Tương tự, đi từ $Q$ đến $R$ và từ $P$ đến $S$ đều cho $\Delta x = \dfrac{d_1 - b_1}{2},$ $\Delta y = \dfrac{d_2 - b_2}{2},$ nên $QR \parallel PS.$

Hai cặp cạnh đối đều song song, nên $PQRS$ là hình bình hành.

Đường chéo $AC$ có số gia $c_1 - a_1$ và $c_2 - a_2,$ gấp đôi số gia của $PQ.$ Vậy $PQ$ và $SR$ cùng song song với đường chéo $AC$ và dài bằng một nửa nó (đáp án D). Tương tự, $QR$ và $PS$ song song với đường chéo $BD.$

An example with numbers: PQRS is a parallelogram.Ví dụ bằng số: PQRS là hình bình hành.

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 56Tangent Line. Consider the circle of radius 10 centered at

(2, 1).

Find an equation of the line tangent to the circle at the point

(-6, 7).

Tiếp tuyến. Xét đường tròn bán kính 10 có tâm

(2, 1).

Hãy tìm phương trình của đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại điểm

(-6, 7).

Tangent Line. Consider the circle of radius 10 centered at $(2, 1).$ Find an equation of the line tangent to the circle at the point $(-6, 7).$

Tangent line: a line that touches the circle at exactly one point.

Vne

Tiếp tuyến. Xét đường tròn bán kính 10 có tâm $(2, 1).$ Hãy tìm phương trình của đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại điểm $(-6, 7).$

Tiếp tuyến (tangent line): đường thẳng chỉ chạm đường tròn tại đúng một điểm.

y = \tfrac{4}{3}x + 15

Model solutionLời giải mẫu

The tangent line is perpendicular to the radius at the point of tangency. The slope of the radius from $(2, 1)$ to $(-6, 7)$ is:

m_r = \dfrac{7 - 1}{-6 - 2} = -\dfrac{3}{4}.

So the tangent has slope $m = -\dfrac{1}{m_r} = \dfrac{4}{3}.$ Point-slope equation through $(-6, 7)$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 7 &= \dfrac{4}{3}(x + 6)\\ y - 7 &= \dfrac{4}{3}x + 8\\ y &= \dfrac{4}{3}x + 15\end{aligned}

Answer: $y = \dfrac{4}{3}x + 15.$

Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Hệ số góc của bán kính từ $(2, 1)$ đến $(-6, 7)$ là:

m_r = \dfrac{7 - 1}{-6 - 2} = -\dfrac{3}{4}.

Vậy tiếp tuyến có hệ số góc $m = -\dfrac{1}{m_r} = \dfrac{4}{3}.$ Phương trình dạng điểm – hệ số góc đi qua $(-6, 7)$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 7 &= \dfrac{4}{3}(x + 6)\\ y - 7 &= \dfrac{4}{3}x + 8\\ y &= \dfrac{4}{3}x + 15\end{aligned}

Đáp án: $y = \dfrac{4}{3}x + 15.$

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

QuestionCâu 57Group Activity Distance from a Point to a Line. This activity investigates how to find the distance from a point

P(a, b)

to a line

L

Ax + By = C.

Hoạt động nhóm: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Hoạt động này tìm cách tính khoảng cách từ điểm

P(a, b)

đến đường thẳng

L

Ax + By = C.

MCPhoto of your work requiredCần ảnh bài làm

Group Activity Distance from a Point to a Line. This activity investigates how to find the distance from a point $P(a, b)$ to a line $L$ : $Ax + By = C.$

(a) Write an equation for the line $M$ through $P$ perpendicular to $L.$

(b) Find the coordinates of the point $Q$ in which $M$ and $L$ intersect.

Vne

Hoạt động nhóm: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Hoạt động này tìm cách tính khoảng cách từ điểm $P(a, b)$ đến đường thẳng $L$ : $Ax + By = C.$

(a) Viết phương trình của đường thẳng $M$ đi qua $P$ và vuông góc với $L.$

(b) Tìm tọa độ điểm $Q$ là giao điểm của $M$ và $L.$

(d) Using your work, which formula gives the distance from $P(a, b)$ to $L$ ?(d) Dựa vào bài làm của bạn, công thức nào cho khoảng cách từ $P(a, b)$ đến $L$ ?

\dfrac{Aa + Bb - C}{A^2 + B^2}

\dfrac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

\dfrac{|Aa + Bb - C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

\dfrac{|Aa - Bb - C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

(d) Using your work, which formula gives the distance from

P(a, b)

L

?(d) Dựa vào bài làm của bạn, công thức nào cho khoảng cách từ

P(a, b)

đến

L

? C

Model solutionLời giải mẫu

(Assume $A \neq 0$ and $B \neq 0.$ )

(a) $L$ has slope $-\dfrac{A}{B},$ so $M$ has slope $\dfrac{B}{A}.$ Through $P(a, b)$ : $y - b = \dfrac{B}{A}(x - a),$ which gives $Bx - Ay = Ba - Ab.$

(b) Solve $Ax + By = C$ and $Bx - Ay = Ba - Ab.$ Multiply the first by $A$ and the second by $B,$ then add: $(A^2 + B^2)x = AC + B(Ba - Ab).$ Multiply the first by $B$ and the second by $A,$ then subtract: $(A^2 + B^2)y = BC - A(Ba - Ab).$ So

$Q\left(\dfrac{AC + B^2a - ABb}{A^2 + B^2},\ \dfrac{BC + A^2b - ABa}{A^2 + B^2}\right).$

(c) The increments from $P$ to $Q$ are $\Delta x = \dfrac{A(C - Aa - Bb)}{A^2 + B^2}$ and $\Delta y = \dfrac{B(C - Aa - Bb)}{A^2 + B^2}.$ Then

$PQ = \dfrac{|C - Aa - Bb|\sqrt{A^2 + B^2}}{A^2 + B^2} = \dfrac{|Aa + Bb - C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

(d) This is choice C.

(Giả sử $A \neq 0$ và $B \neq 0.$ )

(a) $L$ có hệ số góc $-\dfrac{A}{B},$ nên $M$ có hệ số góc $\dfrac{B}{A}.$ Qua $P(a, b)$ : $y - b = \dfrac{B}{A}(x - a),$ tức $Bx - Ay = Ba - Ab.$

(b) Giải hệ $Ax + By = C$ và $Bx - Ay = Ba - Ab.$ Nhân phương trình đầu với $A,$ phương trình sau với $B$ rồi cộng: $(A^2 + B^2)x = AC + B(Ba - Ab).$ Nhân phương trình đầu với $B,$ phương trình sau với $A$ rồi trừ: $(A^2 + B^2)y = BC - A(Ba - Ab).$ Vậy

$Q\left(\dfrac{AC + B^2a - ABb}{A^2 + B^2},\ \dfrac{BC + A^2b - ABa}{A^2 + B^2}\right).$

(c) Các số gia từ $P$ đến $Q$ là $\Delta x = \dfrac{A(C - Aa - Bb)}{A^2 + B^2}$ và $\Delta y = \dfrac{B(C - Aa - Bb)}{A^2 + B^2}.$ Khi đó

$PQ = \dfrac{|C - Aa - Bb|\sqrt{A^2 + B^2}}{A^2 + B^2} = \dfrac{|Aa + Bb - C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

(d) Đây là đáp án C.

Illustration with L: x + 2y = 4 and P(4, 3); then Q(2.8, 0.6).Minh họa với L: x + 2y = 4 và P(4, 3); khi đó Q(2,8; 0,6).

Compare your paper work with the solution. Did you get the method right?Hãy đối chiếu bài làm trên giấy với lời giải. Bạn làm đúng cách chưa?

After checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

iAfter checking, your answer is locked and the solution is available.Sau khi kiểm tra, đáp án bị khóa và lời giải sẵn sàng để xem.

Hint · Slope of the line through two pointsGợi ý · Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm

Theory. The slope of the line through $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ is

m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

Lý thuyết. Hệ số góc của đường thẳng đi qua $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$ là

m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

Review the lesson: Increments and SlopeXem lại bài học: Số gia và hệ số góc ↗

Hint · Find y on a line from a point and the slopeGợi ý · Tìm y trên đường thẳng khi biết một điểm và hệ số góc

Theory. A line is fixed by one of its points and its slope. Its equation is written in the point-slope form.

Step 1. Write the point-slope equation of the line through $P(x_0, y_0)$ with slope $m$ : $y - y_0 = m(x - x_0).$

Step 2. Substitute the given value of $x$ and solve for $y.$

Example

A line passes through $P(-1, 2)$ with slope $m = 4.$ Find $y$ when $x = 2.$

Step 1.

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 2 &= 4\bigl(x - (-1)\bigr)\\ y - 2 &= 4(x + 1)\\ y - 2 &= 4x + 4\\ y &= 4x + 6\end{aligned}

Step 2. Substitute $x = 2$ : $y = 4(2) + 6 = 14.$

Answer: $y = 14.$

Lý thuyết. Một đường thẳng được xác định bởi một điểm của nó và hệ số góc. Phương trình của nó viết ở dạng điểm – hệ số góc.

Bước 1. Viết phương trình dạng điểm – hệ số góc của đường thẳng đi qua $P(x_0, y_0)$ với hệ số góc $m$ : $y - y_0 = m(x - x_0).$

Bước 2. Thay giá trị $x$ đã cho vào và giải tìm $y.$

Ví dụ

Một đường thẳng đi qua $P(-1, 2)$ với hệ số góc $m = 4.$ Tìm $y$ khi $x = 2.$

Bước 1.

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 2 &= 4\bigl(x - (-1)\bigr)\\ y - 2 &= 4(x + 1)\\ y - 2 &= 4x + 4\\ y &= 4x + 6\end{aligned}

Bước 2. Thay $x = 2$ : $y = 4(2) + 6 = 14.$

Đáp số: $y = 14.$

Review the lesson: Point-Slope EquationXem lại bài học: Phương trình dạng điểm – hệ số góc ↗

Hint · A linear model from a rate and one valueGợi ý · Lập hàm bậc nhất từ tốc độ thay đổi và một giá trị

Theory. A quantity that changes at a constant rate is a linear function. Its rate of change is the slope of its graph.

Step 1. The rate of change of $d$ with respect to $t$ gives the slope: $m = \dfrac{\Delta d}{\Delta t} = \dfrac{a}{b}$ (with units).

Step 2. Write the equation of the line through the known value $(t_0, d_0)$ with the known slope $m$ : $d - d_0 = m(t - t_0).$

Step 3. Substitute the given value of $t$ and solve for $d.$

Example

The temperature $T$ (°C) of a pan is a linear function of time $t$ (minutes). At $t = 2$ the temperature is $30$ °C, and it rises $15$ °C every $3$ minutes. Find $T$ at $t = 8.$

Step 1. The rate of change of the temperature $T$ with respect to the time $t$ gives the slope:

m = \dfrac{\Delta T}{\Delta t} = \dfrac{15\ ^\circ\text{C}}{3\ \text{min}} = 5\ ^\circ\text{C/min}.

Step 2. The linear equation relating the temperature $T$ and the time $t$ is:

\begin{aligned}T - T_0 &= m(t - t_0)\\ T - 30 &= 5(t - 2)\\ T - 30 &= 5t - 10\\ T &= 5t + 20\end{aligned}

Step 3. Substitute $t = 8$ : $T = 5(8) + 20 = 60.$

Answer: at $t = 8$ minutes, $T = 60$ °C.

Lý thuyết. Đại lượng thay đổi với tốc độ không đổi là hàm bậc nhất. Tốc độ thay đổi của nó là hệ số góc của đồ thị.

B1. Tốc độ thay đổi của đại lượng $d$ trên sự thay đổi của đại lượng $t$ cho ta hệ số góc $m = \dfrac{\Delta d}{\Delta t} = \dfrac{a}{b}$ (kèm đơn vị).

B2. Viết phương trình đường thẳng đi qua giá trị đã biết $(t_0, d_0)$ và có hệ số góc đã biết $m$ : $d - d_0 = m(t - t_0).$

B3. Thay giá trị $t$ đã cho vào và giải tìm $d.$

Ví dụ

Nhiệt độ $T$ (°C) của một chiếc chảo là hàm bậc nhất của thời gian $t$ (phút). Tại $t = 2$ nhiệt độ là $30$ °C, và cứ sau $3$ phút nhiệt độ tăng $15$ °C. Tìm $T$ tại $t = 8.$

B1. Tốc độ thay đổi nhiệt độ $T$ trên sự thay đổi của thời gian $t$ cho ta hệ số góc:

m = \dfrac{\Delta T}{\Delta t} = \dfrac{15\ ^\circ\text{C}}{3\ \text{min}} = 5\ ^\circ\text{C/min}.

B2. Phương trình tuyến tính của mối quan hệ giữa nhiệt độ $T$ và thời gian $t$ là:

\begin{aligned}T - T_0 &= m(t - t_0)\\ T - 30 &= 5(t - 2)\\ T - 30 &= 5t - 10\\ T &= 5t + 20\end{aligned}

B3. Thay $t = 8,$ ta có $T = 5(8) + 20 = 60.$

Đáp án: tại $t = 8$ phút, $T = 60$ °C.

Review the lesson: Applications of Linear FunctionsXem lại bài học: Ứng dụng của hàm số tuyến tính ↗

Hint · A linear model: a fixed part plus a part that growsGợi ý · Mô hình tuyến tính: phần cố định cộng phần tăng theo biến

Theory. When a total is a fixed amount plus a rate times the amount used, it is a linear function: total $=$ fixed part $+$ rate $\times$ quantity. In $y = mx + b,$ the fixed part is $b$ and the rate per ONE unit of $x$ is $m.$

Step 1. Name the unknowns with their units.

Step 2. Find the fixed part and the rate per one unit of the variable (convert units if needed).

Step 3. Write the equation.

Example

A gym charges a sign-up fee of $30 and $4 for each half-hour of pool time. Find an equation for the total cost $C$ (dollars) after $t$ hours of pool time.

Step 1. $C$ is the total cost in dollars and $t$ the pool time in hours.

Step 2. Fixed part: $30. Each half-hour costs $4, so each hour costs $2 \cdot 4 = 8$ dollars.

Step 3. $C = 30 + 8t,$ that is $C = 8t + 30.$

Answer: $C = 8t + 30.$

Lý thuyết. Khi một tổng bằng một khoản cố định cộng với tốc độ nhân với số lượng đã dùng thì đó là hàm bậc nhất: tổng $=$ phần cố định $+$ tốc độ $\times$ số lượng. Trong $y = mx + b,$ phần cố định là $b$ và mức tính cho MỘT đơn vị của $x$ là $m.$

B1. Đặt tên các ẩn kèm đơn vị.

B2. Tìm phần cố định và mức tính cho một đơn vị của biến (đổi đơn vị nếu cần).

B3. Viết phương trình.

Ví dụ

Một phòng tập thu phí đăng ký $30 và $4 cho mỗi nửa giờ dùng hồ bơi. Tìm phương trình cho tổng chi phí $C$ (đô la) sau $t$ giờ dùng hồ bơi.

B1. $C$ là tổng chi phí tính bằng đô la và $t$ là thời gian dùng hồ bơi tính bằng giờ.

B2. Phần cố định: $30. Mỗi nửa giờ tốn $4, nên mỗi giờ tốn $2 \cdot 4 = 8$ đô la.

B3. $C = 30 + 8t,$ tức là $C = 8t + 30.$

Đáp án: $C = 8t + 30.$

Review the lesson: Applications of Linear FunctionsXem lại bài học: Ứng dụng của hàm số tuyến tính ↗

Hint · Write the point-slope equation of a lineGợi ý · Viết phương trình dạng điểm – hệ số góc

Theory. The line through $P(x_0, y_0)$ with slope $m$ has the point-slope equation $y - y_0 = m(x - x_0).$

Step 1. Read $x_0,$ $y_0$ and $m$ from the problem.

Step 2. Substitute them into $y - y_0 = m(x - x_0),$ putting negative numbers in brackets, then simplify the signs.

Example

Write the point-slope equation of the line through $P(3, -5)$ with slope $m = -2.$

Step 1. $x_0 = 3,$ $y_0 = -5,$ $m = -2.$

Step 2. Substitute into the formula:

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - (-5) &= -2(x - 3)\\ y + 5 &= -2(x - 3)\end{aligned}

Answer: $y + 5 = -2(x - 3).$

Lý thuyết. Đường thẳng đi qua $P(x_0, y_0)$ với hệ số góc $m$ có phương trình dạng điểm – hệ số góc $y - y_0 = m(x - x_0).$

B1. Xác định $x_0,$ $y_0$ và $m$ từ đề bài.

B2. Thay vào $y - y_0 = m(x - x_0),$ số âm đặt trong ngoặc, rồi rút gọn dấu.

Ví dụ

Viết phương trình dạng điểm – hệ số góc của đường thẳng đi qua $P(3, -5)$ với hệ số góc $m = -2.$

B1. $x_0 = 3,$ $y_0 = -5,$ $m = -2.$

B2. Thay vào công thức:

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - (-5) &= -2(x - 3)\\ y + 5 &= -2(x - 3)\end{aligned}

Đáp án: $y + 5 = -2(x - 3).$

Review the lesson: Point-Slope EquationXem lại bài học: Phương trình dạng điểm – hệ số góc ↗

Hint · Equation of the line through two pointsGợi ý · Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Theory. A line is determined by two points $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2).$ Its slope is $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},$ and the point-slope equation through either point gives the line. A line through the origin has the form $y = mx.$

Step 1. Find the slope from the two points.

Step 2. Write the point-slope equation through one of the points: $y - y_0 = m(x - x_0).$

Example

Find an equation of the line through $A(2, 3)$ and $B(6, 11).$

Step 1.

m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{11 - 3}{6 - 2} = 2.

Step 2. Through $A(2, 3)$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 3 &= 2(x - 2)\\ y - 3 &= 2x - 4\\ y &= 2x - 1\end{aligned}

Answer: $y = 2x - 1.$

Lý thuyết. Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2).$ Hệ số góc là $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},$ rồi phương trình dạng điểm – hệ số góc đi qua một trong hai điểm cho ta đường thẳng. Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng $y = mx.$

B1. Tìm hệ số góc từ hai điểm.

B2. Viết phương trình dạng điểm – hệ số góc đi qua một trong hai điểm: $y - y_0 = m(x - x_0).$

Ví dụ

Tìm phương trình đường thẳng đi qua $A(2, 3)$ và $B(6, 11).$

B1.

m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{11 - 3}{6 - 2} = 2.

B2. Đi qua $A(2, 3)$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 3 &= 2(x - 2)\\ y - 3 &= 2x - 4\\ y &= 2x - 1\end{aligned}

Đáp án: $y = 2x - 1.$

Review the lesson: Point-Slope EquationXem lại bài học: Phương trình dạng điểm – hệ số góc ↗

Hint · Slope and y-intercept from an equationGợi ý · Tìm hệ số góc và tung độ gốc từ phương trình

To find the slope and the $y$ -intercept of a line from its equation, rewrite the equation in the form $y = mx + b,$ where $m$ is the slope and $b$ is the $y$ -intercept, that is the point $(x, y) = (0, b).$

Example

Find the slope and the $y$ -intercept of the line $5x + 2y = 8.$

Solve for $y$ :

\begin{aligned}5x + 2y &= 8\\ 2y &= -5x + 8\\ y &= -\dfrac{5}{2}x + 4\end{aligned}

So the slope is $m = -\dfrac{5}{2}$ and the $y$ -intercept is $b = 4,$ that is the point $(0, 4).$

Muốn tìm hệ số góc và tung độ gốc của phương trình đồ thị, ta biến đổi phương trình về dạng $y = mx + b,$ trong đó $m$ là hệ số góc, $b$ là tung độ gốc, tức là điểm $(x, y) = (0, b).$

Ví dụ

Tìm hệ số góc và tung độ gốc của đường thẳng $5x + 2y = 8.$

Giải tìm $y$ :

\begin{aligned}5x + 2y &= 8\\ 2y &= -5x + 8\\ y &= -\dfrac{5}{2}x + 4\end{aligned}

Vậy hệ số góc là $m = -\dfrac{5}{2}$ và tung độ gốc là $b = 4,$ tức là điểm $(0, 4).$

Review the lesson: Other Linear Equation FormsXem lại bài học: Các dạng khác của phương trình đường thẳng ↗

Hint · Parallel and perpendicular linesGợi ý · Đường thẳng song song và vuông góc

Theory.

Two non-vertical lines are parallel when they have the same slope: $m = m_L.$
Two non-vertical lines are perpendicular when the product of their slopes is $-1$ : $m = -\dfrac{1}{m_L}.$
If $L$ is vertical ( $x = a$ ) or horizontal ( $y = b$ ), slopes are not used: a parallel line is of the same kind as $L,$ a perpendicular line is of the other kind.

Step 1. Find the slope $m_L$ of $L$ (rewrite it in the form $y = mx + b$ if needed).

Step 2. Find the slope to use: parallel gives $m = m_L,$ perpendicular gives $m = -\dfrac{1}{m_L}.$

Step 3. Write the point-slope equation through $P(x_0, y_0)$ : $y - y_0 = m(x - x_0).$

Example

Write an equation of the line through $P(1, 4)$ that is (a) parallel and (b) perpendicular to $L$ : $x - 2y = 6.$

(a) Parallel

Step 1. Find the slope of $L.$ Rewriting the equation in the form $y = mx + b,$ we have:

\begin{aligned}x - 2y &= 6\\ -2y &= -x + 6\\ y &= \dfrac{1}{2}x - 3\end{aligned}

So $m_L = \dfrac{1}{2}.$

Step 2. A parallel line has the same slope: $m = m_L = \dfrac{1}{2}.$

Step 3. The point-slope equation through $P(1, 4)$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 4 &= \dfrac{1}{2}(x - 1)\\ y &= \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}\end{aligned}

(b) Perpendicular

Step 1. As in (a), the slope of $L$ is $m_L = \dfrac{1}{2}.$

Step 2. A perpendicular line has the negative reciprocal slope: $m = -\dfrac{1}{m_L} = -2.$

Step 3. The point-slope equation through $P(1, 4)$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 4 &= -2(x - 1)\\ y &= -2x + 6\end{aligned}

Lý thuyết.

Hai đường thẳng không thẳng đứng song song khi có cùng hệ số góc: $m = m_L.$
Hai đường thẳng không thẳng đứng vuông góc khi tích hai hệ số góc bằng $-1$ : $m = -\dfrac{1}{m_L}.$
Nếu $L$ là đường thẳng đứng ( $x = a$ ) hoặc đường nằm ngang ( $y = b$ ) thì không dùng hệ số góc: đường song song cùng loại với $L,$ đường vuông góc là loại còn lại.

B1. Tìm hệ số góc $m_L$ của $L$ (biến đổi về dạng $y = mx + b$ nếu cần).

B2. Tìm hệ số góc cần dùng: song song thì $m = m_L,$ vuông góc thì $m = -\dfrac{1}{m_L}.$

B3. Viết phương trình dạng điểm – hệ số góc đi qua $P(x_0, y_0)$ : $y - y_0 = m(x - x_0).$

Ví dụ

Viết phương trình đường thẳng đi qua $P(1, 4),$ (a) song song và (b) vuông góc với $L$ : $x - 2y = 6.$

(a) Song song

B1. Tìm hệ số góc của $L.$ Biến đổi phương trình về dạng $y = mx + b,$ ta có:

\begin{aligned}x - 2y &= 6\\ -2y &= -x + 6\\ y &= \dfrac{1}{2}x - 3\end{aligned}

Vậy $m_L = \dfrac{1}{2}.$

B2. Đường song song có cùng hệ số góc: $m = m_L = \dfrac{1}{2}.$

B3. Phương trình dạng điểm – hệ số góc đi qua $P(1, 4)$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 4 &= \dfrac{1}{2}(x - 1)\\ y &= \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}\end{aligned}

(b) Vuông góc

B1. Như ở ý (a), hệ số góc của $L$ là $m_L = \dfrac{1}{2}.$

B2. Đường vuông góc có hệ số góc là số đối nghịch đảo: $m = -\dfrac{1}{m_L} = -2.$

B3. Phương trình dạng điểm – hệ số góc đi qua $P(1, 4)$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 4 &= -2(x - 1)\\ y &= -2x + 6\end{aligned}

Review the lesson: Parallel and Perpendicular LinesXem lại bài học: Đường thẳng song song và vuông góc ↗

Hint · Solving a system of two linear equationsGợi ý · Giải hệ hai phương trình bậc nhất

Theory. Solving a system of two linear equations means finding the pair $(x, y)$ that satisfies both equations.

Substitution: solve one equation for one variable, then substitute into the other equation.
Elimination: multiply the equations so that the coefficients of one variable are equal or opposite, then add or subtract to eliminate that variable.
Graphical: draw both lines; the intersection point is the solution.

Example

Solve the system:

\begin{aligned}3x + y &= 6 &&\text{(1)}\\ x + 2y &= 7 &&\text{(2)}\end{aligned}

Method 1 · Substitution

Step 1. Solve (1) for $y$ : $y = 6 - 3x$ (3).

Step 2. Substitute (3) into (2) and solve for $x$ :

\begin{aligned}x + 2(6 - 3x) &= 7\\ -5x + 12 &= 7\\ x &= 1\end{aligned}

Step 3. Put $x = 1$ into (3): $y = 6 - 3(1) = 3.$ Answer: $(1, 3).$

Method 2 · Elimination

Step 1. Multiply (1) by $2$ : $6x + 2y = 12$ (1′).

Step 2. Subtract (2) from (1′) and solve for $x$ :

\begin{aligned}(6x + 2y) - (x + 2y) &= 12 - 7\\ 5x &= 5\\ x &= 1\end{aligned}

Step 3. Put $x = 1$ into (1): $3(1) + y = 6,$ so $y = 3.$ Answer: $(1, 3).$

Method 3 · Graphical

Draw the lines $3x + y = 6$ and $x + 2y = 7$ ; they cross at $(1, 3).$ This is the slowest way in an exam, so use it only to check an answer.

Lý thuyết. Giải hệ hai phương trình bậc nhất là tìm cặp $(x, y)$ thỏa cả hai phương trình.

Phương pháp thế: rút một ẩn từ một phương trình, rồi thế vào phương trình còn lại.
Phương pháp cộng đại số: nhân các vế để hệ số của một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau, rồi cộng hoặc trừ hai phương trình để khử ẩn đó.
Đồ thị: vẽ hai đường thẳng; giao điểm của chúng là nghiệm.

Ví dụ

Giải hệ phương trình:

\begin{aligned}3x + y &= 6 &&\text{(1)}\\ x + 2y &= 7 &&\text{(2)}\end{aligned}

Cách 1 · Phương pháp thế

B1. Từ (1) rút $y$ : $y = 6 - 3x$ (3).

B2. Thế (3) vào (2) và giải tìm $x$ :

\begin{aligned}x + 2(6 - 3x) &= 7\\ -5x + 12 &= 7\\ x &= 1\end{aligned}

B3. Thay $x = 1$ vào (3): $y = 6 - 3(1) = 3.$ Đáp án: $(1, 3).$

Cách 2 · Phương pháp cộng đại số

B1. Nhân (1) với $2$ : $6x + 2y = 12$ (1′).

B2. Lấy (1′) trừ (2) và giải tìm $x$ :

\begin{aligned}(6x + 2y) - (x + 2y) &= 12 - 7\\ 5x &= 5\\ x &= 1\end{aligned}

B3. Thay $x = 1$ vào (1): $3(1) + y = 6,$ nên $y = 3.$ Đáp án: $(1, 3).$

Cách 3 · Đồ thị

Vẽ hai đường thẳng $3x + y = 6$ và $x + 2y = 7$ ; chúng cắt nhau tại $(1, 3).$ Đây là cách chậm nhất khi đi thi, chỉ nên dùng để kiểm tra lại đáp án.

Review the lesson: Solving Two Linear Equations SimultaneouslyXem lại bài học: Giải hệ hai phương trình bậc nhất ↗

Hint · Setting up two equations from a word problemGợi ý · Lập hệ hai phương trình từ bài toán đố

Theory. When a word problem asks for two unknown quantities and gives two pieces of information, turn it into a system of two linear equations in two variables, then solve the system.

Name the unknowns. Pick a letter for each quantity you are asked to find, and write what it means with its unit.
Write one equation for each piece of information. Translate the sentence into symbols. For prices: (number of items) × (price of one item), added up over all kinds of items, equals the total cost.
Solve the system by substitution or elimination, as in Exercises 31–36.
Check the answer in both original statements, then answer the question with units.

Example

Two pens and 3 notebooks cost $9.00, while 4 pens and 1 notebook cost $8.00. What is the cost of a pen and the cost of a notebook?

Step 1 · Unknowns. Let $p$ be the cost of one pen and $n$ the cost of one notebook, both in dollars.

Step 2 · Equations. The first purchase gives $2p + 3n = 9$ (1). The second purchase gives $4p + n = 8$ (2).

Step 3 · Solve. From (2): $n = 8 - 4p$ (3). Substitute (3) into (1):

\begin{aligned}2p + 3(8 - 4p) &= 9\\ -10p + 24 &= 9\\ p &= 1.5\end{aligned}

Put $p = 1.5$ into (3): $n = 8 - 4(1.5) = 2.$

Step 4 · Check. $2(1.5) + 3(2) = 9$ and $4(1.5) + 2 = 8.$ Answer: a pen costs $1.50 and a notebook costs $2.00.

In this exercise

There are two unknowns, the cost of a burger and the cost of an order of fries, and two pieces of information, the two purchases. So write two equations in these two unknowns and solve the system.

Lý thuyết. Khi một bài toán đố hỏi hai đại lượng chưa biết và cho hai thông tin, ta chuyển nó thành hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải hệ.

Đặt ẩn. Chọn một chữ cái cho mỗi đại lượng cần tìm, ghi rõ nó nghĩa là gì và đơn vị.
Mỗi thông tin viết thành một phương trình. Dịch câu chữ sang ký hiệu. Với bài toán giá tiền: (số lượng) × (giá một món), cộng lại cho mọi loại món, bằng tổng số tiền.
Giải hệ bằng phương pháp thế hoặc khử, như ở các bài 31–36.
Kiểm tra đáp án trong cả hai dữ kiện ban đầu, rồi trả lời câu hỏi kèm đơn vị.

Ví dụ

Hai cây bút và 3 quyển vở có giá $9.00, trong khi 4 cây bút và 1 quyển vở có giá $8.00. Giá một cây bút và giá một quyển vở là bao nhiêu?

Bước 1 · Đặt ẩn. Gọi $p$ là giá một cây bút và $n$ là giá một quyển vở, cùng tính bằng đô la.

Bước 2 · Lập phương trình. Lần mua thứ nhất cho $2p + 3n = 9$ (1). Lần mua thứ hai cho $4p + n = 8$ (2).

Bước 3 · Giải hệ. Từ (2): $n = 8 - 4p$ (3). Thế (3) vào (1):

\begin{aligned}2p + 3(8 - 4p) &= 9\\ -10p + 24 &= 9\\ p &= 1.5\end{aligned}

Thay $p = 1.5$ vào (3): $n = 8 - 4(1.5) = 2.$

Bước 4 · Kiểm tra. $2(1.5) + 3(2) = 9$ và $4(1.5) + 2 = 8.$ Đáp số: một cây bút giá $1.50 và một quyển vở giá $2.00.

Áp dụng cho bài này

Bài có hai ẩn là giá một chiếc burger và giá một phần khoai chiên, cùng hai thông tin là hai lần mua hàng. Vì vậy hãy viết hai phương trình theo hai ẩn này rồi giải hệ.

Review the lesson: Solving Two Linear Equations SimultaneouslyXem lại bài học: Giải hệ hai phương trình bậc nhất ↗

Hint · Finding the x- and y-interceptsGợi ý · Tìm hoành độ gốc và tung độ gốc

Theory. The $x$ -intercept of a line is where it crosses the $x$ -axis, the point $(a, 0).$ The $y$ -intercept is where it crosses the $y$ -axis, the point $(0, b).$

To find the $x$ -intercept, set $y = 0$ and solve for $x.$
To find the $y$ -intercept, set $x = 0$ and solve for $y.$

This works for any form of the equation, so there is no special formula to memorize.

Example

Find the intercepts of the line $2x + 3y = 12.$

$x$ -intercept. Set $y = 0$ : $2x = 12,$ so $x = 6,$ the point $(6, 0).$

$y$ -intercept. Set $x = 0$ : $3y = 12,$ so $y = 4,$ the point $(0, 4).$

Use the same two substitutions on the lines in this exercise.

Lý thuyết. Hoành độ gốc ( $x$ -intercept) của một đường thẳng là chỗ nó cắt trục Ox, tức là điểm $(a, 0).$ Tung độ gốc ( $y$ -intercept) là chỗ nó cắt trục Oy, tức là điểm $(0, b).$

Muốn tìm hoành độ gốc, cho $y = 0$ rồi giải tìm $x.$
Muốn tìm tung độ gốc, cho $x = 0$ rồi giải tìm $y.$

Cách này đúng với mọi dạng phương trình, nên không cần nhớ công thức riêng.

Ví dụ

Tìm các giao điểm với trục của đường thẳng $2x + 3y = 12.$

Hoành độ gốc. Cho $y = 0$ : $2x = 12,$ nên $x = 6,$ tức là điểm $(6, 0).$

Tung độ gốc. Cho $x = 0$ : $3y = 12,$ nên $y = 4,$ tức là điểm $(0, 4).$

Hãy làm hai phép thế tương tự với các đường thẳng trong bài này.

Review the lesson: Other Linear Equation FormsXem lại bài học: Các dạng khác của phương trình đường thẳng ↗

Hint · Parallel and perpendicular lines with an unknown kGợi ý · Song song và vuông góc khi có tham số k

Theory.

Two lines are parallel when they have the same slope: $m_1 = m_2.$
Two lines are perpendicular when the product of their slopes is $-1$ : $m_1 m_2 = -1.$

Step 1. Rewrite both equations in the form $y = mx + b$ to read the slopes (one of them contains $k$ ).

Step 2. Parallel: set $m_1 = m_2.$ Perpendicular: set $m_1 m_2 = -1.$

Step 3. Solve for $k.$

Example

For what value of $k$ are the lines $2x + ky = 5$ and $x - y = 3$ (a) parallel? (b) perpendicular?

(a) Parallel

Step 1. Rewriting the equations in the form $y = mx + b,$ we have:

\begin{aligned}2x + ky &= 5\\ ky &= -2x + 5\\ y &= -\dfrac{2}{k}x + \dfrac{5}{k}\end{aligned}

\begin{aligned}x - y &= 3\\ y &= x - 3\end{aligned}

So $m_1 = -\dfrac{2}{k}$ and $m_2 = 1.$

Step 2. Parallel lines have the same slope: $-\dfrac{2}{k} = 1.$

Step 3. Solving: $k = -2.$

(b) Perpendicular

Step 1. As in (a), $m_1 = -\dfrac{2}{k}$ and $m_2 = 1.$

Step 2. Perpendicular lines: $m_1 m_2 = -1,$ so $-\dfrac{2}{k} \cdot 1 = -1.$

Step 3. Solving: $\dfrac{2}{k} = 1,$ so $k = 2.$

Lý thuyết.

Hai đường thẳng song song khi có cùng hệ số góc: $m_1 = m_2.$
Hai đường thẳng vuông góc khi tích hai hệ số góc bằng $-1$ : $m_1 m_2 = -1.$

B1. Biến đổi cả hai phương trình về dạng $y = mx + b$ để đọc hệ số góc (một trong hai có chứa $k$ ).

B2. Song song: cho $m_1 = m_2.$ Vuông góc: cho $m_1 m_2 = -1.$

B3. Giải tìm $k.$

Ví dụ

Với giá trị nào của $k$ thì hai đường thẳng $2x + ky = 5$ và $x - y = 3$ (a) song song? (b) vuông góc?

(a) Song song

B1. Biến đổi các phương trình về dạng $y = mx + b,$ ta có:

\begin{aligned}2x + ky &= 5\\ ky &= -2x + 5\\ y &= -\dfrac{2}{k}x + \dfrac{5}{k}\end{aligned}

\begin{aligned}x - y &= 3\\ y &= x - 3\end{aligned}

Vậy $m_1 = -\dfrac{2}{k}$ và $m_2 = 1.$

B2. Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc: $-\dfrac{2}{k} = 1.$

B3. Giải ra: $k = -2.$

(b) Vuông góc

B1. Như ở ý (a), $m_1 = -\dfrac{2}{k}$ và $m_2 = 1.$

B2. Hai đường thẳng vuông góc: $m_1 m_2 = -1,$ nên $-\dfrac{2}{k} \cdot 1 = -1.$

B3. Giải ra: $\dfrac{2}{k} = 1,$ nên $k = 2.$

Review the lesson: Parallel and Perpendicular LinesXem lại bài học: Đường thẳng song song và vuông góc ↗

Hint · Rate of change from a graphGợi ý · Tốc độ thay đổi đọc từ đồ thị

Theory. On a straight piece of a graph, the rate of change (the slope) is

\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\text{change in the vertical quantity}}{\text{change in the horizontal quantity}}.

Its unit is the vertical unit per horizontal unit, for example °F per inch. A negative value means the quantity goes down as you move to the right. To compare two pieces, compare the sizes of their rates and ignore the sign: the larger size is the steeper piece.

Step 1. Pick one straight piece and read the coordinates of its two ends from the grid.

Step 2. Subtract in the same order: $\Delta y = y_2 - y_1$ and $\Delta x = x_2 - x_1.$

Step 3. Divide $\Delta y$ by $\Delta x$ and write the unit.

Example

A hiker's altitude is graphed against time. One straight piece goes from $(1\text{ h}, 300\text{ m})$ to $(4\text{ h}, 750\text{ m}).$ The next piece goes from $(4\text{ h}, 750\text{ m})$ to $(6\text{ h}, 650\text{ m}).$ Find the rate of change of each piece and say which is steeper.

First piece.

Step 1. The ends are $(1, 300)$ and $(4, 750).$

Step 2. $\Delta y = 750 - 300 = 450$ and $\Delta x = 4 - 1 = 3.$

Step 3. $\dfrac{450}{3} = 150$ m per hour.

Second piece.

Step 1. The ends are $(4, 750)$ and $(6, 650).$

Step 2. $\Delta y = 650 - 750 = -100$ and $\Delta x = 6 - 4 = 2.$

Step 3. $\dfrac{-100}{2} = -50$ m per hour, so the altitude goes down.

Comparison. The sizes are $150$ and $50.$ Since $150 > 50,$ the first piece is steeper.

In this exercise

Each layer of the wall is one straight piece of the graph. Read the two ends of each layer, find its temperature change per inch, then compare the sizes to answer (d).

Lý thuyết. Trên một đoạn thẳng của đồ thị, tốc độ thay đổi (hệ số góc) là

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}.

Trong đó Δy là thay đổi của đại lượng ở trục đứng và Δx là thay đổi của đại lượng ở trục ngang.

Đơn vị của nó là đơn vị trục đứng trên đơn vị trục ngang, ví dụ °F mỗi inch. Giá trị âm nghĩa là đại lượng giảm khi đi sang phải. Muốn so sánh hai đoạn, ta so độ lớn của tốc độ và bỏ qua dấu: độ lớn càng lớn thì đoạn càng dốc.

B1. Chọn một đoạn thẳng và đọc tọa độ hai đầu của nó trên lưới.

B2. Trừ theo cùng một thứ tự: $\Delta y = y_2 - y_1$ và $\Delta x = x_2 - x_1.$

B3. Chia $\Delta y$ cho $\Delta x$ và ghi đơn vị.

Ví dụ

Độ cao của một người đi bộ đường dài được vẽ theo thời gian. Một đoạn thẳng đi từ $(1\text{ h}, 300\text{ m})$ đến $(4\text{ h}, 750\text{ m}).$ Đoạn tiếp theo đi từ $(4\text{ h}, 750\text{ m})$ đến $(6\text{ h}, 650\text{ m}).$ Tìm tốc độ thay đổi của mỗi đoạn và cho biết đoạn nào dốc hơn.

Đoạn thứ nhất.

B1. Hai đầu là $(1, 300)$ và $(4, 750).$

B2. $\Delta y = 750 - 300 = 450$ và $\Delta x = 4 - 1 = 3.$

B3. $\dfrac{450}{3} = 150$ m mỗi giờ.

Đoạn thứ hai.

B1. Hai đầu là $(4, 750)$ và $(6, 650).$

B2. $\Delta y = 650 - 750 = -100$ và $\Delta x = 6 - 4 = 2.$

B3. $\dfrac{-100}{2} = -50$ m mỗi giờ, nên độ cao giảm.

So sánh. Độ lớn lần lượt là $150$ và $50.$ Vì $150 > 50$ nên đoạn thứ nhất dốc hơn.

Áp dụng cho bài này

Mỗi lớp của bức tường là một đoạn thẳng của đồ thị. Hãy đọc hai đầu của từng lớp, tìm sự thay đổi nhiệt độ mỗi inch, rồi so sánh độ lớn để trả lời (d).

Review the lesson: Increments and SlopeXem lại bài học: Số gia và hệ số góc ↗

Hint · When does a quantity that changes at a constant rate reach a value?Gợi ý · Khi nào đại lượng thay đổi đều đạt một giá trị cho trước?

Theory. A quantity that changes at a constant rate is a linear function of time. From two of its values we find the rate (the slope), write the equation of the line, then set the quantity equal to the wanted value and solve for $t.$

Step 1. Let $t$ be the hours after the first given time, then find the rate (slope) with its units.

Step 2. Write the equation of the line through a known value.

Step 3. Replace the quantity by the wanted value and solve for $t.$

Step 4. Turn $t$ back into a clock time: the decimal part of an hour times $60$ gives the minutes.

Example

A tank holds $50$ L of water at 10:00 AM and $38$ L at 12:00 noon, and the level falls at a constant rate. When will the tank be empty?

Step 1. Let $t$ be the hours after 10:00 AM. Then 10:00 AM is $t = 0$ with $V = 50,$ and 12:00 noon is $t = 2$ with $V = 38.$

m = \dfrac{\Delta V}{\Delta t} = \dfrac{38 - 50}{2 - 0} = -6\ \text{L/h}.

Step 2. Through $(t_0, V_0) = (0, 50)$ :

\begin{aligned}V - V_0 &= m(t - t_0)\\ V - 50 &= -6(t - 0)\\ V &= -6t + 50\end{aligned}

Step 3. The tank is empty when $V = 0$ :

\begin{aligned}-6t + 50 &= 0\\ t &= \dfrac{50}{6} \approx 8.33\end{aligned}

Step 4. $0.33 \cdot 60 \approx 20$ minutes, so $t$ is $8$ h $20$ min after 10:00 AM.

Answer: the tank is empty at about 6:20 PM.

Lý thuyết. Đại lượng thay đổi đều theo thời gian là hàm bậc nhất của thời gian. Từ hai giá trị của nó ta tìm tốc độ thay đổi (hệ số góc), viết phương trình đường thẳng, rồi cho đại lượng bằng giá trị cần tìm và giải tìm $t.$

B1. Gọi $t$ là số giờ kể từ mốc thời gian đầu tiên, rồi tìm tốc độ thay đổi (hệ số góc) kèm đơn vị.

B2. Viết phương trình đường thẳng đi qua một giá trị đã biết.

B3. Thay đại lượng bằng giá trị cần tìm và giải tìm $t.$

B4. Đổi $t$ về giờ trên đồng hồ: phần thập phân của giờ nhân $60$ cho ra số phút.

Ví dụ

Một bể chứa $50$ L nước lúc 10:00 sáng và $38$ L lúc 12:00 trưa, mực nước giảm đều. Khi nào bể cạn?

B1. Gọi $t$ là số giờ kể từ 10:00 sáng. Khi đó 10:00 sáng là $t = 0$ với $V = 50,$ và 12:00 trưa là $t = 2$ với $V = 38.$

m = \dfrac{\Delta V}{\Delta t} = \dfrac{38 - 50}{2 - 0} = -6\ \text{L/h}.

B2. Đi qua $(t_0, V_0) = (0, 50)$ :

\begin{aligned}V - V_0 &= m(t - t_0)\\ V - 50 &= -6(t - 0)\\ V &= -6t + 50\end{aligned}

B3. Bể cạn khi $V = 0$ :

\begin{aligned}-6t + 50 &= 0\\ t &= \dfrac{50}{6} \approx 8.33\end{aligned}

B4. $0.33 \cdot 60 \approx 20$ phút, nên $t$ là $8$ giờ $20$ phút sau 10:00 sáng.

Đáp án: bể cạn lúc khoảng 6:20 chiều.

Review the lesson: Applications of Linear FunctionsXem lại bài học: Ứng dụng của hàm số tuyến tính ↗

Hint · What the slope and the y-intercept mean in a modelGợi ý · Hệ số góc và tung độ gốc có ý nghĩa gì trong một mô hình

Theory. A quantity that starts at an amount $b$ and changes at a constant rate $m$ is a linear function of time: $y = mt + b.$

The slope $m$ is the rate, with its units (for example miles per hour).
The $y$ -intercept $b$ is the value at $t = 0,$ the moment the clock starts.
A negative $t$ is a time before the clock started.

Example

A pool holds $100$ L when the clock starts ( $t = 0,$ in minutes) and a hose adds $40$ L every minute. Write $V(t),$ then say what the slope, the $V$ -intercept and $t = -2$ mean.

(a) Write the model.

Step 1. The rate is $40$ L per minute and the starting amount is $100$ L.

Step 2. $V(t) = 40t + 100.$

(b) Read the meaning.

Step 1. The slope $40$ is the number of litres the hose adds each minute.

Step 2. The $V$ -intercept $100$ is the water in the pool at $t = 0.$ For $t = -2$ : $V(-2) = 40(-2) + 100 = 20,$ so $2$ minutes before the clock started the pool held $20$ L.

In this exercise

The speed of the car is the rate. Ask yourself what $t = 0$ means in your own story and how far from $P$ the car is at that moment.

Lý thuyết. Một đại lượng bắt đầu từ giá trị $b$ và thay đổi với tốc độ không đổi $m$ là hàm bậc nhất của thời gian: $y = mt + b.$

Hệ số góc $m$ là tốc độ thay đổi, kèm đơn vị (ví dụ dặm mỗi giờ).
Tung độ gốc $b$ là giá trị tại $t = 0,$ lúc bắt đầu tính giờ.
$t$ âm là thời điểm trước lúc bắt đầu tính giờ.

Ví dụ

Một bể bơi chứa $100$ L nước lúc bắt đầu tính giờ ( $t = 0,$ tính bằng phút) và một vòi bơm thêm $40$ L mỗi phút. Hãy viết $V(t),$ rồi nói hệ số góc, tung độ gốc và $t = -2$ có nghĩa là gì.

(a) Viết mô hình.

B1. Tốc độ là $40$ L mỗi phút và lượng nước ban đầu là $100$ L.

B2. $V(t) = 40t + 100.$

(b) Đọc ý nghĩa.

B1. Hệ số góc $40$ là số lít nước vòi bơm thêm mỗi phút.

B2. Tung độ gốc $100$ là lượng nước trong bể tại $t = 0.$ Với $t = -2$ : $V(-2) = 40(-2) + 100 = 20,$ nên $2$ phút trước lúc bắt đầu tính giờ bể có $20$ L.

Áp dụng cho bài này

Vận tốc của ô tô là tốc độ thay đổi. Hãy tự hỏi $t = 0$ nghĩa là gì trong câu chuyện của bạn và lúc đó ô tô cách $P$ bao xa.

Review the lesson: Applications of Linear FunctionsXem lại bài học: Ứng dụng của hàm số tuyến tính ↗

Hint · Vertical and horizontal linesGợi ý · Đường thẳng đứng và đường nằm ngang

Theory. A vertical line has equation $x = a$ : all its points have the same $x,$ so $\Delta x = 0$ and the slope $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ is undefined. A horizontal line has equation $y = b$ : all its points have the same $y,$ so $\Delta y = 0$ and the slope is $0.$

Step 1. Decide whether the line is vertical (same $x$ ) or horizontal (same $y$ ).

Step 2. Write $x = a$ or $y = b$ with the shared coordinate.

Example

Write the equations of the vertical and the horizontal line through $P(-2, 5)$ and give their slopes.

Vertical. Every point has $x = -2,$ so the equation is $x = -2$ and the slope is undefined ( $\Delta x = 0$ ).

Horizontal. Every point has $y = 5,$ so the equation is $y = 5$ and the slope is $0$ ( $\Delta y = 0$ ).

Lý thuyết. Đường thẳng đứng có phương trình $x = a$ : mọi điểm của nó có cùng $x,$ nên $\Delta x = 0$ và hệ số góc $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ không xác định. Đường thẳng nằm ngang có phương trình $y = b$ : mọi điểm của nó có cùng $y,$ nên $\Delta y = 0$ và hệ số góc bằng $0.$

B1. Xác định đường thẳng đứng (cùng $x$ ) hay nằm ngang (cùng $y$ ).

B2. Viết $x = a$ hoặc $y = b$ với tọa độ chung.

Ví dụ

Viết phương trình đường thẳng đứng và đường nằm ngang đi qua $P(-2, 5)$ và cho biết hệ số góc của chúng.

Đường đứng. Mọi điểm có $x = -2,$ nên phương trình là $x = -2$ và hệ số góc không xác định ( $\Delta x = 0$ ).

Đường nằm ngang. Mọi điểm có $y = 5,$ nên phương trình là $y = 5$ và hệ số góc bằng $0$ ( $\Delta y = 0$ ).

Review the lesson: Increments and SlopeXem lại bài học: Số gia và hệ số góc ↗

Hint · Tangent line to a circleGợi ý · Tiếp tuyến của đường tròn

Theory. A tangent line to a circle is perpendicular to the radius at the point of tangency, so its slope is the negative reciprocal of the slope of the radius.

Step 1. Find the slope $m_r$ of the radius from the center to the point of tangency.

Step 2. The tangent has slope $m = -\dfrac{1}{m_r}.$

Step 3. Write the point-slope equation through the point of tangency and simplify.

Example

A circle with radius $5$ is centered at the origin and passes through $(3, 4).$ Find the tangent line at that point.

Step 1.

m_r = \dfrac{4 - 0}{3 - 0} = \dfrac{4}{3}.

Step 2. $m = -\dfrac{1}{m_r} = -\dfrac{3}{4}.$

Step 3. Through $(3, 4)$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 4 &= -\dfrac{3}{4}(x - 3)\\ 4y - 16 &= -3x + 9\\ 3x + 4y &= 25\end{aligned}

Answer: $3x + 4y = 25.$

Lý thuyết. Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm, nên hệ số góc của nó là số đối nghịch đảo của hệ số góc bán kính.

B1. Tìm hệ số góc $m_r$ của bán kính từ tâm đến tiếp điểm.

B2. Tiếp tuyến có hệ số góc $m = -\dfrac{1}{m_r}.$

B3. Viết phương trình dạng điểm – hệ số góc đi qua tiếp điểm rồi rút gọn.

Ví dụ

Một đường tròn bán kính $5$ có tâm tại gốc tọa độ và đi qua $(3, 4).$ Tìm tiếp tuyến tại điểm đó.

B1.

m_r = \dfrac{4 - 0}{3 - 0} = \dfrac{4}{3}.

B2. $m = -\dfrac{1}{m_r} = -\dfrac{3}{4}.$

B3. Đi qua $(3, 4)$ :

\begin{aligned}y - y_0 &= m(x - x_0)\\ y - 4 &= -\dfrac{3}{4}(x - 3)\\ 4y - 16 &= -3x + 9\\ 3x + 4y &= 25\end{aligned}

Đáp án: $3x + 4y = 25.$

Review the lesson: Parallel and Perpendicular LinesXem lại bài học: Đường thẳng song song và vuông góc ↗

Hint · Prove that a triangle is a right triangleGợi ý · Chứng minh một tam giác là tam giác vuông

Theory. A triangle has a right angle at vertex $B$ when the sides $BA$ and $BC$ are perpendicular, that is, when the product of their slopes is $-1.$ The side opposite the right angle is the hypotenuse.

Step 1. Compute the slopes of the sides.

Step 2. Find the two sides whose slopes multiply to $-1$ ; the right angle is at the vertex they share.

Step 3. The hypotenuse is the third side.

Example

Show that the triangle with vertices $A(1, 1),$ $B(3, 5),$ $C(7, 3)$ is a right triangle and name its hypotenuse.

Step 1.

m_{AB} = \dfrac{5 - 1}{3 - 1} = 2, \qquad m_{BC} = \dfrac{3 - 5}{7 - 3} = -\dfrac{1}{2}.

Step 2. $m_{AB} \cdot m_{BC} = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1,$ so $AB \perp BC$ and the right angle is at $B.$

Step 3. The hypotenuse is $AC.$

Lý thuyết. Tam giác có góc vuông tại đỉnh $B$ khi hai cạnh $BA$ và $BC$ vuông góc, tức là tích hai hệ số góc của chúng bằng $-1.$ Cạnh đối diện với góc vuông là cạnh huyền.

B1. Tính hệ số góc của các cạnh.

B2. Tìm hai cạnh có tích hệ số góc bằng $-1$ ; góc vuông nằm ở đỉnh chung của chúng.

B3. Cạnh huyền là cạnh còn lại.

Ví dụ

Chứng minh tam giác có các đỉnh $A(1, 1),$ $B(3, 5),$ $C(7, 3)$ là tam giác vuông và cho biết cạnh huyền.

B1.

m_{AB} = \dfrac{5 - 1}{3 - 1} = 2, \qquad m_{BC} = \dfrac{3 - 5}{7 - 3} = -\dfrac{1}{2}.

B2. $m_{AB} \cdot m_{BC} = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1,$ nên $AB \perp BC$ và góc vuông ở $B.$

B3. Cạnh huyền là $AC.$

Review the lesson: Parallel and Perpendicular LinesXem lại bài học: Đường thẳng song song và vuông góc ↗

Hint · Systems with no solution or infinitely many solutionsGợi ý · Hệ vô nghiệm và hệ vô số nghiệm

Theory. After eliminating a variable from a system of two linear equations:

a false statement such as $0 = -2$ means no solution (the lines are parallel and different);
a true statement such as $0 = 0$ means infinitely many solutions (both equations give the same line);
otherwise there is exactly one solution (the lines cross at one point).

Step 1. Eliminate one variable.

Step 2. Read the result: false or true.

Step 3. Say what it means for the lines.

Example

Solve (a) $x + y = 3$ and $2x + 2y = 8$ ; (b) $x - y = 1$ and $3x - 3y = 3.$

(a)

Step 1. Multiply (1) by $2$ : $2x + 2y = 6$ (1′). Subtract (2) from (1′):

\begin{aligned}(2x + 2y) - (2x + 2y) &= 6 - 8\\ 0 &= -2\end{aligned}

Step 2. $0 = -2$ is false.

Step 3. No solution: the lines $y = -x + 3$ and $y = -x + 4$ have the same slope and different $y$ -intercepts, so they are parallel.

(b)

Step 1. Multiply (1) by $3$ : $3x - 3y = 3$ (1′). Subtract (2) from (1′):

\begin{aligned}(3x - 3y) - (3x - 3y) &= 3 - 3\\ 0 &= 0\end{aligned}

Step 2. $0 = 0$ is true.

Step 3. Infinitely many solutions: both equations give the same line $y = x - 1.$

Lý thuyết. Sau khi khử một ẩn của hệ hai phương trình bậc nhất:

kết quả sai như $0 = -2$ nghĩa là vô nghiệm (hai đường thẳng song song và phân biệt);
kết quả đúng như $0 = 0$ nghĩa là vô số nghiệm (hai phương trình cho cùng một đường thẳng);
còn lại là có đúng một nghiệm (hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm).

B1. Khử một ẩn.

B2. Đọc kết quả: sai hay đúng.

B3. Cho biết ý nghĩa đối với hai đường thẳng.

Ví dụ

Giải (a) $x + y = 3$ và $2x + 2y = 8$ ; (b) $x - y = 1$ và $3x - 3y = 3.$

(a)

B1. Nhân (1) với $2$ : $2x + 2y = 6$ (1′). Lấy (1′) trừ (2):

\begin{aligned}(2x + 2y) - (2x + 2y) &= 6 - 8\\ 0 &= -2\end{aligned}

B2. $0 = -2$ là sai.

B3. Vô nghiệm: hai đường thẳng $y = -x + 3$ và $y = -x + 4$ có cùng hệ số góc và khác tung độ gốc, nên song song.

(b)

B1. Nhân (1) với $3$ : $3x - 3y = 3$ (1′). Lấy (1′) trừ (2):

\begin{aligned}(3x - 3y) - (3x - 3y) &= 3 - 3\\ 0 &= 0\end{aligned}

B2. $0 = 0$ là đúng.

B3. Vô số nghiệm: hai phương trình cho cùng một đường thẳng $y = x - 1.$

Review the lesson: Solving Two Linear Equations SimultaneouslyXem lại bài học: Giải hệ hai phương trình bậc nhất ↗

Hint · Find the missing vertex of a parallelogramGợi ý · Tìm đỉnh còn thiếu của hình bình hành

Theory. The diagonals of a parallelogram bisect each other, so they have the same midpoint. If $D$ is the vertex opposite $B,$ then $A + C = B + D$ coordinate by coordinate, that is $D = A + C - B.$

Step 1. Choose which given vertex is opposite the missing one.

Step 2. Missing vertex $=$ (sum of the other two given vertices) $-$ (the opposite given vertex).

Step 3. Repeat for each choice: three given points give three parallelograms.

Example

Three vertices are $A(0, 0),$ $B(4, 0),$ $C(5, 3).$ Find the missing vertex of each parallelogram.

Opposite $A$ : $B + C - A = (4 + 5 - 0,\ 0 + 3 - 0) = (9, 3).$

Opposite $B$ : $A + C - B = (0 + 5 - 4,\ 0 + 3 - 0) = (1, 3).$

Opposite $C$ : $A + B - C = (0 + 4 - 5,\ 0 + 0 - 3) = (-1, -3).$

Answer: $(9, 3),$ $(1, 3)$ and $(-1, -3).$

Lý thuyết. Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên có cùng trung điểm. Nếu $D$ là đỉnh đối diện $B$ thì $A + C = B + D$ theo từng tọa độ, tức là $D = A + C - B.$

B1. Chọn đỉnh đã cho nào đối diện với đỉnh còn thiếu.

B2. Đỉnh còn thiếu $=$ (tổng hai đỉnh đã cho còn lại) $-$ (đỉnh đã cho đối diện).

B3. Lặp lại cho từng cách chọn: ba điểm đã cho tạo ra ba hình bình hành.

Ví dụ

Ba đỉnh là $A(0, 0),$ $B(4, 0),$ $C(5, 3).$ Tìm đỉnh còn thiếu của mỗi hình bình hành.

Đối diện $A$ : $B + C - A = (4 + 5 - 0,\ 0 + 3 - 0) = (9, 3).$

Đối diện $B$ : $A + C - B = (0 + 5 - 4,\ 0 + 3 - 0) = (1, 3).$

Đối diện $C$ : $A + B - C = (0 + 4 - 5,\ 0 + 0 - 3) = (-1, -3).$

Đáp án: $(9, 3),$ $(1, 3)$ và $(-1, -3).$

Review the lesson: Increments and SlopeXem lại bài học: Số gia và hệ số góc ↗

Hint · Prove a statement with coordinatesGợi ý · Chứng minh bằng tọa độ

Theory. To prove something about every figure of one kind, give its vertices general coordinates and compute. Two facts help. The midpoint of $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ is $\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$ (see the midpoint in the lesson). Two segments with the same increments $(\Delta x, \Delta y)$ are parallel and equally long; if the increments of one are $k$ times those of the other, they are parallel and one is $k$ times as long.

Step 1. Name the vertices and write the midpoints.

Step 2. Find the increments $\Delta x$ and $\Delta y$ of the segments to compare.

Step 3. Compare them: equal or proportional increments mean parallel segments. State the conclusion.

Example

Triangle $ABC$ has $A(0, 0),$ $B(6, 2),$ $C(2, 8).$ Show that the segment joining the midpoints of $AB$ and $AC$ is parallel to $BC$ and half as long.

Step 1. The midpoint of $AB$ is $M(3, 1)$ and the midpoint of $AC$ is $N(1, 4).$

Step 2. For $MN$ : $\Delta x = 1 - 3 = -2$ and $\Delta y = 4 - 1 = 3.$ For $BC$ : $\Delta x = 2 - 6 = -4$ and $\Delta y = 8 - 2 = 6.$

Step 3. The increments of $BC$ are twice those of $MN,$ so $MN \parallel BC$ and $MN$ is half as long as $BC.$

In this exercise

Write the four midpoints of the sides, find the increments of two opposite sides and compare them. Then compare those increments with the ones of a diagonal.

Lý thuyết. Muốn chứng minh một điều đúng cho mọi hình cùng loại, ta cho các đỉnh tọa độ tổng quát rồi tính. Hai điều hay dùng: trung điểm của $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$ là $\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right).$ Hai đoạn thẳng có cùng số gia $(\Delta x, \Delta y)$ thì song song và dài bằng nhau; nếu số gia của đoạn này gấp $k$ lần số gia của đoạn kia thì chúng song song và đoạn này dài gấp $k$ lần đoạn kia.

B1. Đặt tên các đỉnh và viết các trung điểm.

B2. Tính số gia $\Delta x$ và $\Delta y$ của các đoạn cần so sánh.

B3. So sánh: số gia bằng nhau hoặc tỉ lệ thì hai đoạn song song. Nêu kết luận.

Ví dụ

Tam giác $ABC$ có $A(0, 0),$ $B(6, 2),$ $C(2, 8).$ Chứng tỏ đoạn nối trung điểm của $AB$ và $AC$ song song với $BC$ và bằng một nửa $BC.$

B1. Trung điểm của $AB$ là $M(3, 1)$ và trung điểm của $AC$ là $N(1, 4).$

B2. Với $MN$ : $\Delta x = 1 - 3 = -2$ và $\Delta y = 4 - 1 = 3.$ Với $BC$ : $\Delta x = 2 - 6 = -4$ và $\Delta y = 8 - 2 = 6.$

B3. Số gia của $BC$ gấp đôi số gia của $MN,$ nên $MN \parallel BC$ và $MN$ bằng một nửa $BC.$

Áp dụng cho bài này

Hãy viết bốn trung điểm của các cạnh, tính số gia của hai cạnh đối và so sánh. Sau đó so sánh các số gia ấy với số gia của một đường chéo.

Review the lesson: Parallel and Perpendicular LinesXem lại bài học: Đường thẳng song song và vuông góc ↗

Hint · Distance from a point to a lineGợi ý · Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Theory. The distance from a point $P$ to a line $L$ is the length $PQ,$ where $Q$ is the point of $L$ closest to $P.$ The segment $PQ$ lies on the line $M$ through $P$ perpendicular to $L,$ so its slope is the negative reciprocal of the slope of $L.$ The point $Q$ is where $M$ and $L$ meet, found by solving a system of two equations. The length comes from the Pythagorean theorem: $PQ = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.$

Step 1. Write the equation of $M$ : slope the negative reciprocal of the slope of $L,$ through $P.$

Step 2. Solve the system of $L$ and $M$ to get $Q.$

Step 3. Find $\Delta x$ and $\Delta y$ from $P$ to $Q,$ then $PQ = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.$

Example

Find the distance from $P(1, 2)$ to the line $L$ : $x + y = 7.$

Step 1. $L$ has slope $-1,$ so $M$ has slope $1.$ Through $P(1, 2)$ : $y - 2 = 1(x - 1),$ so $y = x + 1.$

Step 2. Substitute $y = x + 1$ into $x + y = 7$ : $2x + 1 = 7,$ so $x = 3$ and $y = 4.$ Then $Q(3, 4).$

Step 3. $\Delta x = 3 - 1 = 2$ and $\Delta y = 4 - 2 = 2,$ so $PQ = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$

Answer: the distance is $2\sqrt{2}.$

In this exercise

Do the same three stages with the letters $A,$ $B,$ $C,$ $a,$ $b$ in place of numbers, then pick the choice that matches your final expression.

Lý thuyết. Khoảng cách từ điểm $P$ đến đường thẳng $L$ là độ dài $PQ,$ trong đó $Q$ là điểm của $L$ gần $P$ nhất. Đoạn $PQ$ nằm trên đường thẳng $M$ đi qua $P$ và vuông góc với $L,$ nên hệ số góc của nó là số đối của nghịch đảo hệ số góc của $L.$ Điểm $Q$ là giao điểm của $M$ và $L,$ tìm bằng cách giải hệ hai phương trình. Độ dài tính theo định lý Pythagore: $PQ = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.$

B1. Viết phương trình của $M$ : hệ số góc là số đối của nghịch đảo hệ số góc của $L,$ đi qua $P.$

B2. Giải hệ gồm $L$ và $M$ để tìm $Q.$

B3. Tìm $\Delta x$ và $\Delta y$ từ $P$ đến $Q,$ rồi $PQ = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.$

Ví dụ

Tìm khoảng cách từ $P(1, 2)$ đến đường thẳng $L$ : $x + y = 7.$

B1. $L$ có hệ số góc $-1,$ nên $M$ có hệ số góc $1.$ Qua $P(1, 2)$ : $y - 2 = 1(x - 1),$ nên $y = x + 1.$

B2. Thế $y = x + 1$ vào $x + y = 7$ : $2x + 1 = 7,$ nên $x = 3$ và $y = 4.$ Vậy $Q(3, 4).$

B3. $\Delta x = 3 - 1 = 2$ và $\Delta y = 4 - 2 = 2,$ nên $PQ = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$

Đáp án: khoảng cách là $2\sqrt{2}.$

Áp dụng cho bài này

Làm đúng ba giai đoạn ấy với các chữ $A,$ $B,$ $C,$ $a,$ $b$ thay cho số, rồi chọn đáp án khớp với biểu thức cuối cùng của bạn.

Review the lesson: Parallel and Perpendicular LinesXem lại bài học: Đường thẳng song song và vuông góc ↗